Análisis de la capacitancia y capacitores. Basado en el libro "Elementos de Electromagnetismo de Sadiku"

1. Campo electrico estático en dieléctricos.

2. Un capacitor consta de dos o mas conductores que
portan cargas iguales en magnitud pero de signo
contrario.
Las líneas de flujo o campo electrico que salen de un
conductor deben de terminar en la superficie del otro
conductor.
Las placas de un capacitor que también se les suele
llamar así a los conductores están separadas por el vacío
o por algún dieléctrico.

3. En la figura se
muestra un
capacitor formado
por don
conductores que
están conectados a
un mismo
potencial V.

4. E en la ecuación anterior representa la intensidad de
campo electrico existente entre conductores y de
acuerdo a la figura el conductor 1 porta carga +Q y el
conductor 2 porta una carga –Q.
La capacitancia es la razón de la magnitud de la carga en
una de las placas a la diferencia de potencial entre ellas:

5. La eliminación del signo en la diferencia de potencial se
debe a que nos interesara la magnitud o valor absoluto
de V.
La capacitancia se mide en Farads y se puede obtener
mediante los siguientes métodos:
a. Se presupone Q y se calcula V en términos de Q (lo
que implica hacer uso de la ley de Gauss).
b. Se presupone V y se calcula Q en términos de V (lo
que implica la ecuación de Gauss).

6. Si se presupone Q y se calcula V en términos de Q (lo
que implica hacer uso de la ley de Gauss).
Pasos de resolución:
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se acepta que las dos placas conductoras portan
cargas +Q y –Q.

7. Si se presupone Q y se calcula V en términos de Q (lo
que implica hacer uso de la ley de Gauss).
Pasos de resolución:
3. Se determina E con base en la ley de Coulomb o de
Gauss y se halla V a partir de 𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙. el signo
negativo puede ignorarse en este caso, ya que lo que
interesara es el valor absoluto de V.
4. Se obtiene C a partir de C=Q/V.

9. Cada placa del capacitor tiene un área “S” y están separadas
por una distancia “d”. Las placas 1 y 2 portan cargas +Q y –Q ,
la densidad de carga viene definida de esta manera por 𝜌 𝑆 =
𝑄
𝑆
Si la distancia d es bastante pequeña podemos ignorar el
efecto de borde en el capacitor. La densidad de flujo electrico
es
𝐷 = −𝜌 𝑆 𝑎 𝑥
𝐸 =
𝜌 𝑆
𝜀
−𝑎 𝑥 = −
𝑄
𝜀𝑆
𝑎 𝑥

10. La diferencia de potencial del capacitor será:
𝑉 = −
2
1
𝐸. 𝑑𝑙 = −
0
𝑑
𝑄
𝜀𝑆
𝑎 𝑥 . 𝑑𝑥𝑎 𝑥 =
𝑄𝑑
𝜀𝑆
𝐶 =
𝑄
𝑉
=
𝜀𝑆
𝑑

12. Se considera la longitud L de ambos conductores
coaxiales de radio interno “a” y radio externo “b”. El
espacio entre ambos conductores lo ocupa un dieléctrico
homogéneo con permitividad ε y los conductores 1 y 2
portan cargas +Q y –Q. aplicando la ley de Gauss
obtenemos la carga:
𝑄 = 𝜀 𝐸. 𝑑𝑆 = 𝜀𝐸𝜌2𝜋𝜌𝐿

13. 𝐸 =
𝑄
2𝜋𝜀𝜌𝐿
𝑎 𝜌
𝑉 = −
2
1
𝐸. 𝑑𝑙 = −
𝑏
𝑎
𝑄
2𝜋𝜀𝜌𝐿
𝑎 𝜌 . 𝑑𝜌𝑎 𝜌 =
𝑄
2𝜋𝜀𝐿
ln(
𝑏
𝑎
)
𝐶 =
𝑄
𝑉
=
2𝜋𝜀𝐿
ln(
𝑏
𝑎
)

15. Consideraremos la esfera de radio interno “a” y la esfera
de radio externo “b” separados por un medio dieléctrico
con permitividad ε y su portación de cargas +Q y –Q
como se muestra en la figura. Utilizando una superficie
gaussiana tipo esfera obtenemos la carga total:
𝑄 = 𝜀 𝐸. 𝑑𝑆 = 𝜀𝐸𝑟4𝜋𝑟2

16. 𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀𝑟2
𝑎 𝑟
𝑉 = −
2
1
𝐸. 𝑑𝑙 = −
𝑏
𝑎
𝑄
4𝜋𝜀𝑟2
𝑎 𝑟 . 𝑑𝑟𝑎 𝑟 =
𝑄
4𝜋𝜀
1
𝑎
−
1
𝑏
𝐶 =
𝑄
𝑉
=
4𝜋𝜀
1
𝑎
−
1
𝑏

17. Serie : 𝐶 =
𝐶1 𝐶2
𝐶1+𝐶2
paralelo: 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2