Teoría de Campos Electromagnéticos Tema 4: Problemas electrostática con valor en frontera - Ecuaciones de Poisson y Laplace - Teorema de unicidad - Resistencia y capacitancia Métodos de imágenes

1. Problemas de electrostática con
valor en la frontera
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco Sandoval

2. Agenda
 Flashback
 Introducción
 Ecuaciones de Poisson y de Laplace
 Teorema de Unicidad
 Procedimiento general para resolver la ecuación de
Poisson o de Laplace
 Resistencia y capacitancia
 Método de imágenes

3. Quadrinho

4. Introducción

5. Introducción
 Considerar problemas prácticos de electrostática, sólo se
conocen condiciones electrostáticas (carga y potencial)
en algunas fronteras y se desea hallar 𝑬 y 𝑉 en toda la
región (problemas con valor en la frontera).
 Ecuación de Poisson o Laplace
 Método de imágenes
 Deducir resistencia y capacitancia
 Ecuación de Laplace.

6. Ecuaciones de Poisson y de
Laplace

7. Ecuaciones de Poisson y Laplace
 Se deducen de ley de Gauss (caso medio material lineal)
 Y
 Para un medio no homogéneo
 En una región sin carga
Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace

8. Operador Laplaciano

9. Teorema de Unicidad

10. Teorema de Unicidad
 Las diversas soluciones que es posible obtener de la
ecuación de Laplace son diferentes entre sí?
 Si una solución de la ecuación de Laplace satisface un conjunto
dado de condiciones en la frontera, ¿ Es la única solución
posible?
 Si, solo hay una solución
 El teorema de unicidad se comprueba por contradicción.
Se parte del supuesto de que dos soluciones 𝑉1 y 𝑉2 de la
Ec. de Laplace satisfacen las condiciones en la frontera
prescrita.
Teorema de unicidad: Si se puede determinar que una solución de la ecuación
de Laplace satisface las condiciones en la frontera, esa solución es la única.

11. Teorema de Unicidad
 Cosas que describen inequívocamente a un problema:
 La ecuación diferencial apropiada (para este caso, de Laplace o
Poisson)
 La región de la solución
 Las condiciones en la frontera

12. Procedimiento general para
resolver la ecuación de Poisson

13. Procedimiento general para resolver la
ecuación de Poisson
1. Se resuelve la ec. de Laplace (si 𝜌 𝑣 = 0) o la de Poisson
(si 𝜌 𝑣 ≠ 0) mediante:
1. Integración directa cuando 𝑉 es una función de una variable.
2. Separación de variables cuando 𝑉 es una función de más de
una variable.
2. Se aplican las condiciones en la frontera para
determinar la solución única de 𝑉.
3. Se halla 𝑬 mediante 𝑬 = −𝛻𝑉 y 𝑫 mediante 𝑫 = 𝜀𝑬
4. Si se desea, se calcula 𝑄 inducida en un conductor
mediante 𝑄 = ‫׬‬ 𝜌𝑠 𝑑𝑆, donde 𝜌𝑠 = 𝐷 𝑛 y 𝐷 𝑛 es la
componente de 𝑫 normal al conductor.
 La capacitancia entre dos conductores 𝐶 = 𝑄/𝑉

14. Ejemplo 1: Máquina fotocopiadora

15. Ejemplo 2: Planos conductores semiinfinitos

16. Ejemplo 3: Dos conos conductores de
extensión infinita

17. Ejercicio 4: Potencial dependiente de 𝑥 y 𝑦

18. Resistencia y Capacitancia

19. Resistencia
 El cálculo de la resistencia de un conductor de sección
transversal no uniforme puede considerarse un problema
con valor en la frontera.
Pasos para hallar la resistencia de un conductor:
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se presupone 𝑉0 como la diferencia de potencial entre las terminales del
conductor.
3. Se resuelve la ecuación de Laplace 𝛻2 𝑉 para obtener 𝑉. Después se calcula 𝑬
a partir de 𝑬 = −𝛻𝑉 e 𝐼 a partir de 𝐼 = ‫׬‬ 𝜎𝑬 ∙ 𝑑𝑺.
4. Se obtiene 𝑅 como Τ𝑉0 𝐼

20. Capacitor I
 Un capacitor consta de dos (o más) conductores
portadores de cargas iguales pero de signo contrario.
 Todas las líneas que salen de un conductor deben
terminar necesariamente en la superficie del otro.
 Las placas (conductores) pueden estar separadas por el
vacío o un dieléctrico.

21. Capacitor II
 Conductores se mantiene a diferencia de potencial:
𝑬 es el campo eléctrico
que existe entre
conductores (normal a
la superficie)

22. Capacitor III
 La capacitancia del capacitor es la razón de la magnitud
de la carga en una de las placas a la diferencia de
potencial entre ellas.
 La capacitancia 𝐶 es una propiedad física del capacitor,
medida en farads (F).

23. Capacitor IV
 Métodos para obtener 𝐶
1. Se presupone 𝑄 y se calcula 𝑉 en términos de 𝑄 (implica ley de Gauss)
2. Se presupone 𝑉 y se calcula 𝑄 en términos de 𝑉 (implica ecuación de Laplace)
Primer Método: Pasos
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se acepta que las dos placas conductoras portan cargas +𝑄 y −𝑄.
3. Se determina 𝑬 con base en la ley de Coulomb o de Gauss y se halla 𝑉 a partir
de 𝑉 = ‫׬‬ 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 . El signo negativo puede ignorarse en este caso, ya que lo que
nos interesa es le valor absoluto de 𝑉.
4. Se obtiene 𝐶 a partir de 𝐶 = 𝑄/𝑉.

24. Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas
Considere un capacitor de placas paralelas. Cada placa posee un área 𝑆 y que están
separadas por una distancia 𝑑. Las placas 1 y 2 portan respectivamente cargas +𝑄 y
− 𝑄 distribuidas de manera uniforme.
Capacitor de placas paralelas
Efecto de borde debido a un capacitor de
placas paralelas

25. Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas
 Puede demostrarse que la energía almacenada en un capacitor
está dada por:

26. Ejemplo 2: Capacitor coaxial
Considérese la longitud 𝐿 de los dos conductores coaxiales de radio interno 𝑎 y
radio externo 𝑏 (𝑏 > 𝑎). El espacio entre los conductores está ocupado por un
dieléctrico homogéneo con permitividad 𝜀. Los conductores 1 y 2 portan
respectivamente +𝑄 y −𝑄 distribuidas de manera uniforme.

27. Ejemplo 2: Capacitor coaxial

28. Ejemplo 3: Capacitor esférico
Dos conductores esféricos concéntricos. Considérese la esfera interna de radio 𝑎 y la
esfera externa de radio 𝑏 (𝑏 > 𝑎) separadas por un medio dieléctrico con
permitividad 𝜀. Suponer cargas +𝑄 y −𝑄 en las esferas interna y externa,
respectivamente.

29. Ejemplo 3: Capacitor esférico

30. Capacitores en Serie y Paralelo
Capacitores en serie
Capacitores en paralelo

31. Tiempo de relajación
 El producto de estas expresiones es el tiempo de
relajación 𝑇𝑟 del medio que separa a los conductores.
Válida para medios homogéneos

32. Tiempo de relajación
 Capacitor de placas paralelas
 Capacitor cilíndrico
 Capacitor esférico

33. Ejercicios
 Ejemplo 6.10, pág. 234
 Ejercicio 6.10, pág 236
 Ejemplo 6.12, pág 238

34. Método de imágenes

35. Método de imágenes
La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un
plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la
propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución
del plano conductor.

36. Método de imágenes
Condiciones para aplicación del método de imágenes
1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora.
2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o
superficies conductoras el potencial sea de cero o constante.

37. Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
 El campo eléctrico en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧):

38. Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra

39. Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra

40. Referencias

41. Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.

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