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Problemas de electrostática con
valor en la frontera
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco Sandoval
Agenda
 Flashback
 Introducción
 Ecuaciones de Poisson y de Laplace
 Teorema de Unicidad
 Procedimiento general para resolver la ecuación de
Poisson o de Laplace
 Resistencia y capacitancia
 Método de imágenes
Quadrinho
Introducción
Introducción
 Considerar problemas prácticos de electrostática, sólo se
conocen condiciones electrostáticas (carga y potencial)
en algunas fronteras y se desea hallar 𝑬 y 𝑉 en toda la
región (problemas con valor en la frontera).
 Ecuación de Poisson o Laplace
 Método de imágenes
 Deducir resistencia y capacitancia
 Ecuación de Laplace.
Ecuaciones de Poisson y de
Laplace
Ecuaciones de Poisson y Laplace
 Se deducen de ley de Gauss (caso medio material lineal)
 Y
 Para un medio no homogéneo
 En una región sin carga
Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace
Operador Laplaciano
Teorema de Unicidad
Teorema de Unicidad
 Las diversas soluciones que es posible obtener de la
ecuación de Laplace son diferentes entre sí?
 Si una solución de la ecuación de Laplace satisface un conjunto
dado de condiciones en la frontera, ¿ Es la única solución
posible?
 Si, solo hay una solución
 El teorema de unicidad se comprueba por contradicción.
Se parte del supuesto de que dos soluciones 𝑉1 y 𝑉2 de la
Ec. de Laplace satisfacen las condiciones en la frontera
prescrita.
Teorema de unicidad: Si se puede determinar que una solución de la ecuación
de Laplace satisface las condiciones en la frontera, esa solución es la única.
Teorema de Unicidad
 Cosas que describen inequívocamente a un problema:
 La ecuación diferencial apropiada (para este caso, de Laplace o
Poisson)
 La región de la solución
 Las condiciones en la frontera
Procedimiento general para
resolver la ecuación de Poisson
Procedimiento general para resolver la
ecuación de Poisson
1. Se resuelve la ec. de Laplace (si 𝜌 𝑣 = 0) o la de Poisson
(si 𝜌 𝑣 ≠ 0) mediante:
1. Integración directa cuando 𝑉 es una función de una variable.
2. Separación de variables cuando 𝑉 es una función de más de
una variable.
2. Se aplican las condiciones en la frontera para
determinar la solución única de 𝑉.
3. Se halla 𝑬 mediante 𝑬 = −𝛻𝑉 y 𝑫 mediante 𝑫 = 𝜀𝑬
4. Si se desea, se calcula 𝑄 inducida en un conductor
mediante 𝑄 = ‫׬‬ 𝜌𝑠 𝑑𝑆, donde 𝜌𝑠 = 𝐷 𝑛 y 𝐷 𝑛 es la
componente de 𝑫 normal al conductor.
 La capacitancia entre dos conductores 𝐶 = 𝑄/𝑉
Ejemplo 1: Máquina fotocopiadora
Ejemplo 2: Planos conductores semiinfinitos
Ejemplo 3: Dos conos conductores de
extensión infinita
Ejercicio 4: Potencial dependiente de 𝑥 y 𝑦
Resistencia y Capacitancia
Resistencia
 El cálculo de la resistencia de un conductor de sección
transversal no uniforme puede considerarse un problema
con valor en la frontera.
Pasos para hallar la resistencia de un conductor:
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se presupone 𝑉0 como la diferencia de potencial entre las terminales del
conductor.
3. Se resuelve la ecuación de Laplace 𝛻2 𝑉 para obtener 𝑉. Después se calcula 𝑬
a partir de 𝑬 = −𝛻𝑉 e 𝐼 a partir de 𝐼 = ‫׬‬ 𝜎𝑬 ∙ 𝑑𝑺.
4. Se obtiene 𝑅 como Τ𝑉0 𝐼
Capacitor I
 Un capacitor consta de dos (o más) conductores
portadores de cargas iguales pero de signo contrario.
 Todas las líneas que salen de un conductor deben
terminar necesariamente en la superficie del otro.
 Las placas (conductores) pueden estar separadas por el
vacío o un dieléctrico.
Capacitor II
 Conductores se mantiene a diferencia de potencial:
𝑬 es el campo eléctrico
que existe entre
conductores (normal a
la superficie)
Capacitor III
 La capacitancia del capacitor es la razón de la magnitud
de la carga en una de las placas a la diferencia de
potencial entre ellas.
 La capacitancia 𝐶 es una propiedad física del capacitor,
medida en farads (F).
Capacitor IV
 Métodos para obtener 𝐶
1. Se presupone 𝑄 y se calcula 𝑉 en términos de 𝑄 (implica ley de Gauss)
2. Se presupone 𝑉 y se calcula 𝑄 en términos de 𝑉 (implica ecuación de Laplace)
Primer Método: Pasos
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se acepta que las dos placas conductoras portan cargas +𝑄 y −𝑄.
3. Se determina 𝑬 con base en la ley de Coulomb o de Gauss y se halla 𝑉 a partir
de 𝑉 = ‫׬‬ 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 . El signo negativo puede ignorarse en este caso, ya que lo que
nos interesa es le valor absoluto de 𝑉.
4. Se obtiene 𝐶 a partir de 𝐶 = 𝑄/𝑉.
Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas
Considere un capacitor de placas paralelas. Cada placa posee un área 𝑆 y que están
separadas por una distancia 𝑑. Las placas 1 y 2 portan respectivamente cargas +𝑄 y
− 𝑄 distribuidas de manera uniforme.
Capacitor de placas paralelas
Efecto de borde debido a un capacitor de
placas paralelas
Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas
 Puede demostrarse que la energía almacenada en un capacitor
está dada por:
Ejemplo 2: Capacitor coaxial
Considérese la longitud 𝐿 de los dos conductores coaxiales de radio interno 𝑎 y
radio externo 𝑏 (𝑏 > 𝑎). El espacio entre los conductores está ocupado por un
dieléctrico homogéneo con permitividad 𝜀. Los conductores 1 y 2 portan
respectivamente +𝑄 y −𝑄 distribuidas de manera uniforme.
Ejemplo 2: Capacitor coaxial
Ejemplo 3: Capacitor esférico
Dos conductores esféricos concéntricos. Considérese la esfera interna de radio 𝑎 y la
esfera externa de radio 𝑏 (𝑏 > 𝑎) separadas por un medio dieléctrico con
permitividad 𝜀. Suponer cargas +𝑄 y −𝑄 en las esferas interna y externa,
respectivamente.
Ejemplo 3: Capacitor esférico
Capacitores en Serie y Paralelo
Capacitores en serie
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Tiempo de relajación
 El producto de estas expresiones es el tiempo de
relajación 𝑇𝑟 del medio que separa a los conductores.
Válida para medios homogéneos
Tiempo de relajación
 Capacitor de placas paralelas
 Capacitor cilíndrico
 Capacitor esférico
Ejercicios
 Ejemplo 6.10, pág. 234
 Ejercicio 6.10, pág 236
 Ejemplo 6.12, pág 238
Método de imágenes
Método de imágenes
La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un
plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la
propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución
del plano conductor.
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Condiciones para aplicación del método de imágenes
1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora.
2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o
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Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
 El campo eléctrico en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧):
Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
Referencias
Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.
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Tema 4: Problemas electrostática con valor en frontera

  • 1. Problemas de electrostática con valor en la frontera Teoría de Campos Electromagnéticos Francisco Sandoval
  • 2. Agenda  Flashback  Introducción  Ecuaciones de Poisson y de Laplace  Teorema de Unicidad  Procedimiento general para resolver la ecuación de Poisson o de Laplace  Resistencia y capacitancia  Método de imágenes
  • 5. Introducción  Considerar problemas prácticos de electrostática, sólo se conocen condiciones electrostáticas (carga y potencial) en algunas fronteras y se desea hallar 𝑬 y 𝑉 en toda la región (problemas con valor en la frontera).  Ecuación de Poisson o Laplace  Método de imágenes  Deducir resistencia y capacitancia  Ecuación de Laplace.
  • 6. Ecuaciones de Poisson y de Laplace
  • 7. Ecuaciones de Poisson y Laplace  Se deducen de ley de Gauss (caso medio material lineal)  Y  Para un medio no homogéneo  En una región sin carga Ecuación de Poisson Ecuación de Laplace
  • 10. Teorema de Unicidad  Las diversas soluciones que es posible obtener de la ecuación de Laplace son diferentes entre sí?  Si una solución de la ecuación de Laplace satisface un conjunto dado de condiciones en la frontera, ¿ Es la única solución posible?  Si, solo hay una solución  El teorema de unicidad se comprueba por contradicción. Se parte del supuesto de que dos soluciones 𝑉1 y 𝑉2 de la Ec. de Laplace satisfacen las condiciones en la frontera prescrita. Teorema de unicidad: Si se puede determinar que una solución de la ecuación de Laplace satisface las condiciones en la frontera, esa solución es la única.
  • 11. Teorema de Unicidad  Cosas que describen inequívocamente a un problema:  La ecuación diferencial apropiada (para este caso, de Laplace o Poisson)  La región de la solución  Las condiciones en la frontera
  • 12. Procedimiento general para resolver la ecuación de Poisson
  • 13. Procedimiento general para resolver la ecuación de Poisson 1. Se resuelve la ec. de Laplace (si 𝜌 𝑣 = 0) o la de Poisson (si 𝜌 𝑣 ≠ 0) mediante: 1. Integración directa cuando 𝑉 es una función de una variable. 2. Separación de variables cuando 𝑉 es una función de más de una variable. 2. Se aplican las condiciones en la frontera para determinar la solución única de 𝑉. 3. Se halla 𝑬 mediante 𝑬 = −𝛻𝑉 y 𝑫 mediante 𝑫 = 𝜀𝑬 4. Si se desea, se calcula 𝑄 inducida en un conductor mediante 𝑄 = ‫׬‬ 𝜌𝑠 𝑑𝑆, donde 𝜌𝑠 = 𝐷 𝑛 y 𝐷 𝑛 es la componente de 𝑫 normal al conductor.  La capacitancia entre dos conductores 𝐶 = 𝑄/𝑉
  • 14. Ejemplo 1: Máquina fotocopiadora
  • 15. Ejemplo 2: Planos conductores semiinfinitos
  • 16. Ejemplo 3: Dos conos conductores de extensión infinita
  • 17. Ejercicio 4: Potencial dependiente de 𝑥 y 𝑦
  • 19. Resistencia  El cálculo de la resistencia de un conductor de sección transversal no uniforme puede considerarse un problema con valor en la frontera. Pasos para hallar la resistencia de un conductor: 1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado. 2. Se presupone 𝑉0 como la diferencia de potencial entre las terminales del conductor. 3. Se resuelve la ecuación de Laplace 𝛻2 𝑉 para obtener 𝑉. Después se calcula 𝑬 a partir de 𝑬 = −𝛻𝑉 e 𝐼 a partir de 𝐼 = ‫׬‬ 𝜎𝑬 ∙ 𝑑𝑺. 4. Se obtiene 𝑅 como Τ𝑉0 𝐼
  • 20. Capacitor I  Un capacitor consta de dos (o más) conductores portadores de cargas iguales pero de signo contrario.  Todas las líneas que salen de un conductor deben terminar necesariamente en la superficie del otro.  Las placas (conductores) pueden estar separadas por el vacío o un dieléctrico.
  • 21. Capacitor II  Conductores se mantiene a diferencia de potencial: 𝑬 es el campo eléctrico que existe entre conductores (normal a la superficie)
  • 22. Capacitor III  La capacitancia del capacitor es la razón de la magnitud de la carga en una de las placas a la diferencia de potencial entre ellas.  La capacitancia 𝐶 es una propiedad física del capacitor, medida en farads (F).
  • 23. Capacitor IV  Métodos para obtener 𝐶 1. Se presupone 𝑄 y se calcula 𝑉 en términos de 𝑄 (implica ley de Gauss) 2. Se presupone 𝑉 y se calcula 𝑄 en términos de 𝑉 (implica ecuación de Laplace) Primer Método: Pasos 1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado. 2. Se acepta que las dos placas conductoras portan cargas +𝑄 y −𝑄. 3. Se determina 𝑬 con base en la ley de Coulomb o de Gauss y se halla 𝑉 a partir de 𝑉 = ‫׬‬ 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 . El signo negativo puede ignorarse en este caso, ya que lo que nos interesa es le valor absoluto de 𝑉. 4. Se obtiene 𝐶 a partir de 𝐶 = 𝑄/𝑉.
  • 24. Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas Considere un capacitor de placas paralelas. Cada placa posee un área 𝑆 y que están separadas por una distancia 𝑑. Las placas 1 y 2 portan respectivamente cargas +𝑄 y − 𝑄 distribuidas de manera uniforme. Capacitor de placas paralelas Efecto de borde debido a un capacitor de placas paralelas
  • 25. Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas  Puede demostrarse que la energía almacenada en un capacitor está dada por:
  • 26. Ejemplo 2: Capacitor coaxial Considérese la longitud 𝐿 de los dos conductores coaxiales de radio interno 𝑎 y radio externo 𝑏 (𝑏 > 𝑎). El espacio entre los conductores está ocupado por un dieléctrico homogéneo con permitividad 𝜀. Los conductores 1 y 2 portan respectivamente +𝑄 y −𝑄 distribuidas de manera uniforme.
  • 28. Ejemplo 3: Capacitor esférico Dos conductores esféricos concéntricos. Considérese la esfera interna de radio 𝑎 y la esfera externa de radio 𝑏 (𝑏 > 𝑎) separadas por un medio dieléctrico con permitividad 𝜀. Suponer cargas +𝑄 y −𝑄 en las esferas interna y externa, respectivamente.
  • 29. Ejemplo 3: Capacitor esférico
  • 30. Capacitores en Serie y Paralelo Capacitores en serie Capacitores en paralelo
  • 31. Tiempo de relajación  El producto de estas expresiones es el tiempo de relajación 𝑇𝑟 del medio que separa a los conductores. Válida para medios homogéneos
  • 32. Tiempo de relajación  Capacitor de placas paralelas  Capacitor cilíndrico  Capacitor esférico
  • 33. Ejercicios  Ejemplo 6.10, pág. 234  Ejercicio 6.10, pág 236  Ejemplo 6.12, pág 238
  • 35. Método de imágenes La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del plano conductor.
  • 36. Método de imágenes Condiciones para aplicación del método de imágenes 1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora. 2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o superficies conductoras el potencial sea de cero o constante.
  • 37. Carga puntual sobre un plano conductor a tierra  El campo eléctrico en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧):
  • 38. Carga puntual sobre un plano conductor a tierra
  • 39. Carga puntual sobre un plano conductor a tierra
  • 41. Bibliografía y Referencias  Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo», Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.
  • 42. Esta obra esta bajo licencia Creative Commons de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras Derivadas, Ecuador 3.0 www.creativecommons.org