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GUIA DE EJERCICIOS INECUACIONES

1)      INECUACIONES DE PRIMER GRADO

a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8               R.   ]-∞,0[
b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8                      R.   ] - ∞ , 7/2 [
c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5                            R.   [ 14/5 , + ∞ [
d) 3x - 5 - x - 6 < 1                               R.   ] - ∞ , 21/8 [
       4         12
e) 1 - x - 5 < 9 + x                                R. ] -67/10 , + ∞ [
          9
f) x + 6 - x + 6 ≤ x .                              R. [ 120/11 , +∞ [
      3                15

g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada
   expresión represente un número real.

i) x + 5                          ii)
                                               2                                  x2 − 1
                                                                      iii)
                                              x+6                                 x −1
R. [ -5 , +∞ [                    R. ] - 6 , +∞ [                     R. [ - 1 , 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [


2)      INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

a) x2 ≥ 16                                          R.    IR - ] -4 , 4[
b) 9x2 < 25                                         R.    ] - 5/3 , 5/3 [
c) 36 > ( x - 1) 2                                  R.    ]-5,7[
d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2              R.   IR - ] 0 , 8 [
e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)                         R.   ]-2,6[
f) x2 - 3x > 3x - 9                                 R.   IR - 3
g) 4 ( x - 1) > x2 + 9                              R.   ∅
h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 )                          R.   5
i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1)                     R.   IR
j) 3 > x ( 2x + 1)                                  R.   ] -3/2 , 1 [
k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 )                         R.   IR - ] -1 , 15/16 [
l) ( x - 2 ) 2 > 0                                  R.   IR - 2
m) ( x - 2)2 ≥ 0                                    R.    IR
n) ( x - 2)2 < 0                                    R.   ∅
o) ( x - 2)2 ≤ 0                                    R.   2



p) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x tal que:

INECUACIONES                                                                                        1
i)     x 2 + 1 ∈ IR                  R. ] - ∞. + ∞ [

ii)     x 2 + 4 x + 4 ∈ IR           R. ] - ∞. + ∞ [
            1                        R. IR - [ 0 , 1 ]
iii)                ∈ IR
         x2 − x
iv)     x 2 − 6 x − 7 ∉ IR           R. ] -1 , 7 [


3)       INECUACIONES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR.

        x                            R. IR - [ 0 , 1 ]
3.1)        >0
      x −1
      x+6                            R. IR - [ -6 , 3 ]
3.2)         <0
      3− x
        x                            R. [ 5 , 10 ]
3.3)         −2≥ 0
      x−5
      2x − 1                         R. ] - ∞ , -5 [
3.4)          >2
      x+5
      x −1                           R. ] -11 , -5 [
3.5)         >2
      x+5
        1                            R. ] - ∞ , 3 [
3.6)         ≤0
      x−3
      x −1                           R. IR - [ -1 , 1 [
3.7)        ≥0
      x +1
      −1                             R. ] - 1/2 , 0 [
3.8)      >2
       x
         x         x                 R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[
3.9)          ≤
       x − 3 x +1
        x2 + 2                       R. IR - [ - 2/3 , 3 ]
3.10)           >x
         x+3
         x2                          R. IR - ]-3/2 , 3 ]
3.11)          ≥ x +1
        x−3
       x2 − 4                        R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [
3.12)          ≥0
       x+6
           ( x + 1)( x − 7)          R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [
3.13)                           >0
       ( x − 1)( x − 6)( x + 3)



         4                           R. IR - ] -2 , 2 [
3.14)       ≤1
         x2

INECUACIONES                                                                   2
x2 + 1                                  R. ] - ∞ , 5 [
3.15)          <0
        x −5
                         1                      R. ] -2 , -1/3 ] ∪ ] 0, + ∞ [
3.16) 3 ( x + 3) ≥ 2(1 − )
                         x
                 5                              R. ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 0. 5 [
3.17) x − 4 <
                 x
           15                                   R. ] 0 , 3 [ ∪ [5 , + ∞ [
3.18) x +       ≥8
             x
       x2 + 1                                   R. ] 0 , + ∞ [
3.19)            ≥1
           x
         1                                    R. ] - ∞ , -3 [ ∪ ] 0 , 1/5 [
3.20) 3  − 3 > 5( x + 1)
         x       
           x                                    R. ] - ∞ , - 1[ ∪ ] 0 , 1 [
3.21)            <0
       x2 − 1
                      84                        R. ] -12 , -7 [ ∪ ] 0 , + ∞ [
3.22) x + 20 > 1 −
                       x
             25                                 R. ] - ∞ , 0 [
3.23) x +        < 10
              x
               9                                R. ] 0 , + ∞ [ ∪ -3
3.24) 2 x + ≥ x − 6
               x
             1 1                                R. ] -1 /2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [
3.25) x + > + 2
             2 x

3.26) Determine el intervalo real para x tal que:

        x−4                                               2x − 1
h)          ∈ IR                                ii)              ∈ IR
        x+5                                               x−6

R. IR - [ -5 , 4 [                              R. IR - ] 1/2 , 6 ]




4)      MODULOS O VALOR ABSOLUTO.

4.1)    Resuelva las siguientes inecuaciones:

INECUACIONES                                                                     3
a)  4x - 1 = 5                                  R. {-1 , 3/2 }
         x                                        R. { 0 , 12 }
b) 2 − = 2
         3
     x +1                                         R. { 2 }
c)         =1
    x−5
    2x − 3                                        R. { 5/4 }
d)          =2
     1− x
    3x                                            R. { -4 , 20/3 }
e)      −1 = 4
     4
    4− x                                          R. { -1/2 , 2/5 }
f)         =3
      3x
        x2                                        R. { 2 , -2 + 2 2 , -2 - 2 2 }
g)          =4
       x −1
h)     3x − 1 + 4 = 0                             R. { ∅ }

4.2)     Resuelva cada una de las siguientes situaciones que se plantean:

a)       Si 2 > x > y . Calcule el valor de "y" si : x - y + x - 2 = 3.
         R. y = -1.
b)       Si y > x ; x2 - y2 = 27 ; x + y = 3 ¿ Cuál es el valor de " x - y "?.
         R. x - y = 9.
c)       Si x > 1 ¿Cuál es el valor de "x" en la ecuación :
                                                        x2 + 2x +1 - 1 + x - 1 - x = 10
         R. { -3 , 3 }.
d)       Si 3x + 15 = 0. Determine el valor de:
                   x+5                                         x−8 x +6
          i)                                      ii)     x−
                   x−5                                             1 − 2x


          R. 0                                    R. 42 /11




4.3)     Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:



INECUACIONES                                                                            4
a) 2x - 1 > 3                  R. IR - [ -1 , 2 ]
        x                        R. [ 2 , 10 ]
b) 3 − ≤ 2
        2
     x 1                         R. IR - ] -45/2 , 55/2 [
c)     − ≥5
     5 2
        x                        R. ] 0 , 6 [
d) 1 − < 1
        3
e) x - 3 > -1                  R. ] - ∞ , +∞ [
f) 3 - 2x  < 0                 R. ∅
    2x − 1                       R. [ - 2/3 , 4 ]
g)         ≤1
     x+3
h) 3 - 2x < x + 4            R. ] - 1/3 , 7 [
    x +1                         R. ] 1 , 2 [ ∪ ] 2 , 5 [
i)        >2
   x−2
   3x + 5                        R. ] - ∞ , - 5 ] ∪ [-1 , 0 [ ∪ ] 0 , + ∞ [
j)         ≥2
      x
    3x − 1                       R. ] - 10/3 , + ∞ [
k)         <3
     x+7
   2x −1                         R. ] - 1 , -1/2 [ ∪ ] -1/2 , -1/4 [
l)         >3
   1 + 2x
m) 2 x + 5 ≥ x + 4               R. IR - ] -3 , -1 [
     3x − 5 1                    R. ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 1 , 11/7 ] ∪ [ 9/5 , + ∞[
n)           ≥
      x −1     2
     x−3 1                       R. IR - [ -9/2 , 9/8 ]
o)         <
      5x     3


5)     SISTEMAS DE ECUACIONES.


                x 3
     x−3 ≤ 2−    −
                3 2
a)                               R. ] - ∞ , 5 /14 ]
     x+2
         ≥ 5x − 1
      3




INECUACIONES                                                                  5
3− x      4 − 2x
        −2<
    3           2
b)                                 R. ] - ∞ , 13/4 ]
   2− x
        ≤ 3− x
    5

     x+3        5x − 3
         − 2x >        −2
      2           3
c)                                 R. ] -1 , 27/ 19 [
     x−2       x+3
         +1 <       +x
      3         2

   4x −1 x
         − ≥5
     3     2
d)                                 R. ] 32/5 , + ∞ [
   x−5 x
        + >1
    3     2

              x
     3x − 5 >    −1
e)            2
                                   R. ] 8/5 , 6 [
   ( x − 6) 2 > ( x + 6)( x − 6)

     ( x − 3) 2 > ( x + 4) 2
f)                                 R. ] -25/12 , -1/2 [
     ( x + 5) 2 > x( x − 2)

     x 2 − 4 x − 21 > 0
g)                                 R. ] -5 , -3 [ ∪ ] 7 , + ∞ [
     4 − 2 x < 14

     x2 ≤ 9
h)                                 R. [- 3 , -2 [ ∪ ] 0 , 3 ]
     x 2 + 2 x < 14

     x 2 + 2 x − 15 ≤ 0
i)                                 R. [ 2 , 3 ]
     x 2 − 8 x + 12 ≤ 0

          3 + 5x
     2−           >x
j)           4
                                   R. [ -2 , 5/9 [
     x 2 − 3 x − 10 ≤ 0

     1 − 2x < 4
k)                                 R. ] -3/2 , -1] ∪ [ 2, 5/2 [
     x(1 − x) ≤ −2

     3x 2 + 2 x − 15 ≤ 0
l)                                 R. [ 1 , 7/3 [
     x 2 − 8 x + 12 ≤ 0

INECUACIONES                                                      6
3 + 5x
     2−         >x
m)         4                R. ] -5 , -2 ] ∪ [ 2 , 15[
   x 2 − 3 x − 10 ≤ 0

     x−2 >3
n)                          R. ] - ∞ , - 1 [
     2x − 6 < 4

     x+6 >5
o)                          R. ] - 12 , - 11 [ ∪ ] -1 , 28 [
     x − 8 < 20

     x −3 < 5
p)                          R. ] -5 , 0 [
     x2 + 5x < 0

     x2 + x − 6 ≤ 0
q)        x 1
     1−    >                R. ] -3 , 3/2 [
          3 2

     2x −1 ≥ 3
r)                          R. IR - ] -1, 5 ]
     x2 − 6x + 5 > 0

     1 − 5x ≤ 2
s)                          R. ] 0. 3/5 ]
     4( x − 3) < 7

     ( x − 5) 2 − x 2 ≥ 0
t)                          R. ] - ∞ , 3/5 [ ∪ ] 9/5 , 5/2 ]
        5x
     2−    >1
         3




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  • 1. GUIA DE EJERCICIOS INECUACIONES 1) INECUACIONES DE PRIMER GRADO a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ]-∞,0[ b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - ∞ , 7/2 [ c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 R. [ 14/5 , + ∞ [ d) 3x - 5 - x - 6 < 1 R. ] - ∞ , 21/8 [ 4 12 e) 1 - x - 5 < 9 + x R. ] -67/10 , + ∞ [ 9 f) x + 6 - x + 6 ≤ x . R. [ 120/11 , +∞ [ 3 15 g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada expresión represente un número real. i) x + 5 ii) 2 x2 − 1 iii) x+6 x −1 R. [ -5 , +∞ [ R. ] - 6 , +∞ [ R. [ - 1 , 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [ 2) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[ b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [ c) 36 > ( x - 1) 2 R. ]-5,7[ d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [ e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ]-2,6[ f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3 g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R. ∅ h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. 5 i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [ k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [ l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2 m) ( x - 2)2 ≥ 0 R. IR n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅ o) ( x - 2)2 ≤ 0 R. 2 p) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x tal que: INECUACIONES 1
  • 2. i) x 2 + 1 ∈ IR R. ] - ∞. + ∞ [ ii) x 2 + 4 x + 4 ∈ IR R. ] - ∞. + ∞ [ 1 R. IR - [ 0 , 1 ] iii) ∈ IR x2 − x iv) x 2 − 6 x − 7 ∉ IR R. ] -1 , 7 [ 3) INECUACIONES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR. x R. IR - [ 0 , 1 ] 3.1) >0 x −1 x+6 R. IR - [ -6 , 3 ] 3.2) <0 3− x x R. [ 5 , 10 ] 3.3) −2≥ 0 x−5 2x − 1 R. ] - ∞ , -5 [ 3.4) >2 x+5 x −1 R. ] -11 , -5 [ 3.5) >2 x+5 1 R. ] - ∞ , 3 [ 3.6) ≤0 x−3 x −1 R. IR - [ -1 , 1 [ 3.7) ≥0 x +1 −1 R. ] - 1/2 , 0 [ 3.8) >2 x x x R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[ 3.9) ≤ x − 3 x +1 x2 + 2 R. IR - [ - 2/3 , 3 ] 3.10) >x x+3 x2 R. IR - ]-3/2 , 3 ] 3.11) ≥ x +1 x−3 x2 − 4 R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [ 3.12) ≥0 x+6 ( x + 1)( x − 7) R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [ 3.13) >0 ( x − 1)( x − 6)( x + 3) 4 R. IR - ] -2 , 2 [ 3.14) ≤1 x2 INECUACIONES 2
  • 3. x2 + 1 R. ] - ∞ , 5 [ 3.15) <0 x −5 1 R. ] -2 , -1/3 ] ∪ ] 0, + ∞ [ 3.16) 3 ( x + 3) ≥ 2(1 − ) x 5 R. ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 0. 5 [ 3.17) x − 4 < x 15 R. ] 0 , 3 [ ∪ [5 , + ∞ [ 3.18) x + ≥8 x x2 + 1 R. ] 0 , + ∞ [ 3.19) ≥1 x 1  R. ] - ∞ , -3 [ ∪ ] 0 , 1/5 [ 3.20) 3  − 3 > 5( x + 1) x  x R. ] - ∞ , - 1[ ∪ ] 0 , 1 [ 3.21) <0 x2 − 1 84 R. ] -12 , -7 [ ∪ ] 0 , + ∞ [ 3.22) x + 20 > 1 − x 25 R. ] - ∞ , 0 [ 3.23) x + < 10 x 9 R. ] 0 , + ∞ [ ∪ -3 3.24) 2 x + ≥ x − 6 x 1 1 R. ] -1 /2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [ 3.25) x + > + 2 2 x 3.26) Determine el intervalo real para x tal que: x−4 2x − 1 h) ∈ IR ii) ∈ IR x+5 x−6 R. IR - [ -5 , 4 [ R. IR - ] 1/2 , 6 ] 4) MODULOS O VALOR ABSOLUTO. 4.1) Resuelva las siguientes inecuaciones: INECUACIONES 3
  • 4. a)  4x - 1 = 5 R. {-1 , 3/2 } x R. { 0 , 12 } b) 2 − = 2 3 x +1 R. { 2 } c) =1 x−5 2x − 3 R. { 5/4 } d) =2 1− x 3x R. { -4 , 20/3 } e) −1 = 4 4 4− x R. { -1/2 , 2/5 } f) =3 3x x2 R. { 2 , -2 + 2 2 , -2 - 2 2 } g) =4 x −1 h) 3x − 1 + 4 = 0 R. { ∅ } 4.2) Resuelva cada una de las siguientes situaciones que se plantean: a) Si 2 > x > y . Calcule el valor de "y" si : x - y + x - 2 = 3. R. y = -1. b) Si y > x ; x2 - y2 = 27 ; x + y = 3 ¿ Cuál es el valor de " x - y "?. R. x - y = 9. c) Si x > 1 ¿Cuál es el valor de "x" en la ecuación : x2 + 2x +1 - 1 + x - 1 - x = 10 R. { -3 , 3 }. d) Si 3x + 15 = 0. Determine el valor de: x+5 x−8 x +6 i) ii) x− x−5 1 − 2x R. 0 R. 42 /11 4.3) Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: INECUACIONES 4
  • 5. a) 2x - 1 > 3 R. IR - [ -1 , 2 ] x R. [ 2 , 10 ] b) 3 − ≤ 2 2 x 1 R. IR - ] -45/2 , 55/2 [ c) − ≥5 5 2 x R. ] 0 , 6 [ d) 1 − < 1 3 e) x - 3 > -1 R. ] - ∞ , +∞ [ f) 3 - 2x  < 0 R. ∅ 2x − 1 R. [ - 2/3 , 4 ] g) ≤1 x+3 h) 3 - 2x < x + 4 R. ] - 1/3 , 7 [ x +1 R. ] 1 , 2 [ ∪ ] 2 , 5 [ i) >2 x−2 3x + 5 R. ] - ∞ , - 5 ] ∪ [-1 , 0 [ ∪ ] 0 , + ∞ [ j) ≥2 x 3x − 1 R. ] - 10/3 , + ∞ [ k) <3 x+7 2x −1 R. ] - 1 , -1/2 [ ∪ ] -1/2 , -1/4 [ l) >3 1 + 2x m) 2 x + 5 ≥ x + 4 R. IR - ] -3 , -1 [ 3x − 5 1 R. ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 1 , 11/7 ] ∪ [ 9/5 , + ∞[ n) ≥ x −1 2 x−3 1 R. IR - [ -9/2 , 9/8 ] o) < 5x 3 5) SISTEMAS DE ECUACIONES. x 3 x−3 ≤ 2− − 3 2 a) R. ] - ∞ , 5 /14 ] x+2 ≥ 5x − 1 3 INECUACIONES 5
  • 6. 3− x 4 − 2x −2< 3 2 b) R. ] - ∞ , 13/4 ] 2− x ≤ 3− x 5 x+3 5x − 3 − 2x > −2 2 3 c) R. ] -1 , 27/ 19 [ x−2 x+3 +1 < +x 3 2 4x −1 x − ≥5 3 2 d) R. ] 32/5 , + ∞ [ x−5 x + >1 3 2 x 3x − 5 > −1 e) 2 R. ] 8/5 , 6 [ ( x − 6) 2 > ( x + 6)( x − 6) ( x − 3) 2 > ( x + 4) 2 f) R. ] -25/12 , -1/2 [ ( x + 5) 2 > x( x − 2) x 2 − 4 x − 21 > 0 g) R. ] -5 , -3 [ ∪ ] 7 , + ∞ [ 4 − 2 x < 14 x2 ≤ 9 h) R. [- 3 , -2 [ ∪ ] 0 , 3 ] x 2 + 2 x < 14 x 2 + 2 x − 15 ≤ 0 i) R. [ 2 , 3 ] x 2 − 8 x + 12 ≤ 0 3 + 5x 2− >x j) 4 R. [ -2 , 5/9 [ x 2 − 3 x − 10 ≤ 0 1 − 2x < 4 k) R. ] -3/2 , -1] ∪ [ 2, 5/2 [ x(1 − x) ≤ −2 3x 2 + 2 x − 15 ≤ 0 l) R. [ 1 , 7/3 [ x 2 − 8 x + 12 ≤ 0 INECUACIONES 6
  • 7. 3 + 5x 2− >x m) 4 R. ] -5 , -2 ] ∪ [ 2 , 15[ x 2 − 3 x − 10 ≤ 0 x−2 >3 n) R. ] - ∞ , - 1 [ 2x − 6 < 4 x+6 >5 o) R. ] - 12 , - 11 [ ∪ ] -1 , 28 [ x − 8 < 20 x −3 < 5 p) R. ] -5 , 0 [ x2 + 5x < 0 x2 + x − 6 ≤ 0 q) x 1 1− > R. ] -3 , 3/2 [ 3 2 2x −1 ≥ 3 r) R. IR - ] -1, 5 ] x2 − 6x + 5 > 0 1 − 5x ≤ 2 s) R. ] 0. 3/5 ] 4( x − 3) < 7 ( x − 5) 2 − x 2 ≥ 0 t) R. ] - ∞ , 3/5 [ ∪ ] 9/5 , 5/2 ] 5x 2− >1 3 INECUACIONES 7