Este documento presenta una guía sobre inecuaciones y valor absoluto. Incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de inecuaciones de primer y segundo grado, fraccionarias e involucrando valor absoluto. Proporciona las propiedades básicas del valor absoluto y ejercicios propuestos para que el estudiante practique.

1. UNIVERSIDAD AUTONOMA
FACULTAD CS. EMPRESARIALES
CALCULO I
Profesor: Gustavo Benavente K. Ayudante: Darío Guerrero
Guía 1. Inecuaciones y Valor Absoluto
1) Inecuaciones de primer grado
a) ( x - 2 )2 (x + 2) ( x - 2) + 8 R. ] - ,0[
x2 – 4x + 4 > x2 – 4 + 8
x2 – 4x + 4 > x2 + 4
-4x > 0 /*(-1)
x<0
b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8
x2 – 2x + 1 < x2 – 4x + 8
x2 – 2x + 4x - x2 < 8-1
2x < 7  x <7/2 R. ] - , 7/2 [
c) 3x - 5 - x - 6 < 1 /*(12)
4 12
3(3x-5)-(x-6)<12
9x-15-x+6<12
8x<12+9 R. ] - , 21/8 [
x<21/8
d) 3 - ( x - 6) 4x – 5 R. [ 14/5 , + [
e) 1 - x - 5 < 9 + x R. ] -67/10 , + [
9
f) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada expresión represente
un número real.
i) x 5  x + 5 > 0 2 x2 1
ii) iii)
x 6 x 1
R. [ -5 , + [ R. ] - 6 , + [ R. [ - 1 , 1 [ ] 1, + [
2) Inecuaciones de segundo grado
a) x2 16 R. IR - ] -4 , 4[
b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [
c) 36 > ( x - 1) 2 R. ]-5,7[
d) (x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [
e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ]-2,6[
f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3
h) 2x2 + 25 x ( x + 10 ) R. 5
2x2 + 25 x2 + 10x
2x2 + 25 - x2 - 10x 0
x2 – 10x +25 0
(x – 5)2 0

2. i) 1 - 2x (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR
j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [
k) x ( x + 1) 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [
l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2
m) ( x - 2)2 < 0 R.
3) Inecuaciones fraccionarias
x R. IR - [ 0 , 1 ]
a) 0
x 1
x 6 R. IR - [ -6 , 3 ]
b) 0
3 x
x R. [ 5 , 10 ]
c) 2 0
x 5
2x 1 R. ] - , -5 [
d) 2
x 5
x 1 R. ] -11 , -5 [
e) 2
x 5
1 R. ] - ,3[
f) 0
x 3
x 1 R. IR - [ -1 , 1 [
g) 0
x 1
1 R. ] - 1/2 , 0 [
h) 2
x
x x R. ] - , -1 [ [ 0, 3 [
i)
x 3 x 1
x2 2 R. ] - 3 , 2/3 [
j) x
x 3
x2 R. IR - ]-3/2 , 3 ]
k) x 1
x 3
x2 4 R. ] - 6, -2 ] [2,+ [
l) 0
x 6
( x 1)( x 7) R. ] -3, -1 [ ]1,6[ ]7,+ [
m) 0
( x 1)( x 6)( x 3)
El Valor Absoluto
x, si a 0
x
x si a 0
Propiedades útiles:
1) x a a x a
1) x a x a x a

3. Ejercicios resueltos
1) 2x 3 9
9 2x 3 9
12 2 x 6
6 x 3
R: 6, 3
2x
2) 3 11
3
2x
11 3 11
3
2x
11 3 11 3
3
2x
14 8
3
42 2x 24
21 x 12
R: 21, 12
Ejercicios Propuestos
1. 5x - 7 3
2. 3 - x 4
3. 5x - 2x 7
4. 2x - 3 5
5. 5x 2 7
6. 2 3 - x 10 0
7. x 3 2
8. 2x - 1 > 3 R. IR - [ -1 , 2 ]
x R. [ 2 , 10 ]
9. 3 2
2
x 1 R. IR - ] -45/2 , 55/2 [
10. 5
5 2
x R. ] 0 , 6 [
11. 1 1
3
12. x - 3 > -1 R. ] - , + [
2x 1 R. [ - 2/3 , 4 ]
14. 1
x 3
15. 3 - 2x < x + 4 R. ] - 1/3 , 7 [