Derivadas de funciones

102
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
( ) xxxxxx
Limxf
x 2
111
)('
0
=
+
=





+∆+
=
→∆
Lección 29: Derivadas Básicas:
- ) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE
El fundamento de la derivación es la ocurrencia de un cambio, cuando se tiene una constante
no sucede un cambio, luego la derivada en este caso es cero.
Demostración:
Por definición, aplicamos el principio del límite del incremento relativo de la función y así se
busca la derivada de la función propuesta.
x
xfxxf
Limxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
)('
0
Entonces: 0
0)()(
)('
000
=
∆
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
Lim
x
kk
Lim
x
xfxxf
Limxf
xxx
Ejemplo No 82:
Sea la función f(x) = 4. Hallar f’(x).
Solución:
Por la definición:
0
044)()(
)('
000
=
∆
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
Lim
x
Lim
x
xfxxf
Limxf
xxx
0)(' =kf
TEOREMA:
Sea f(x) = k, siendo k una constante, se dice que la derivada esta
definida de la siguiente manera:
0)(' =xf

103
Es obvio a que la derivada es cero, ya que la función es una constante.
- ) LA DERIVADA DE UNA VARIABLE
La derivada de la variable, también se le conoce como la derivada de la función identidad, ya
que la función identidad es donde la variable es la misma función.
Demostración:
Siguiendo con la definición:
1
)()()(
)('
000
=
∆
∆
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
x
Lim
x
xxx
Lim
x
xfxxf
Limxf
xxx
Así queda demostrada la derivada de la función identidad.
Ejemplo No 83:
Sea la función f(v) = v, siendo v la variable, Hallar f’(v).
Solución:
Utilizando la definición:
1
)()(
)('
000
=
∆
∆
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ v
v
Lim
v
vvv
Lim
v
vfvvf
Limvf
vvv
Por consiguiente: f’(v) = 1
- ) DERIVADA DE LA POTENCIA
Cuando se tiene una función de la forma f(x) = xn
, para derivar se hace referencia al desarrollo
de la expansión binomial, por medio de lo cual se puede resolver un producto notable cuando el
exponente es un entero positivo.
1)(' =xf
TEOREMA:
Sea f(x) = x, siendo x una variable, la derivada de f(x) esta definida por:
1)(' ==
dx
dy
xf
1
)())(( −
= nn
x xnfxfD

104
Demostración:
Siguiendo la definición:
x
xfxxf
Limxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
)('
0
luego
( )
x
xxx
Limxf
nn
x ∆
−∆+
=
→∆ 0
)('
Desarrollando el producto notable por el binomio de Newton, tenemos:
( ) ( )
x
xxxnxxx
nn
xnxx
Limxf
nnnnnn
x ∆
−



∆+∆++∆
−
+∆+
=
−−−
→∆
1221
0
...)(
2
)1(
)('
Simplificando:
( ) ( )
x
xxnxxx
nn
xnx
Limxf
nnnn
x ∆




∆+∆++∆
−
+∆
=
−−−
→∆
1221
0
...)(
2
)1(
)('
Se factoriza ∆x, se obtiene:
( ) ( )
x
xxnxxx
nn
nxx
Limxf
nnnn
x ∆




∆+∆++∆
−
+∆
=
−−−
→∆
121
0
...)(
2
)1(
)('
Simplificando:
( ) ( ) )...)(
2
)1(
()('
121
0
−−−
→∆
∆+∆++∆
−
+=
nnnn
x
xxnxxx
nn
nxLimxf
TEOREMA:
Sea f(x) = xn
función diferenciable, con n un entero positivo, entonces:
1
)(' −
== n
nx
dx
dy
xf

105
Desde el segundo término en adelante, aparece el ∆x, luego aplicando límite, se obtiene:
( ) ( )( ) ( )( )1
00
2
0
1
0
...)(
2
)1(
)('
−
→∆→∆
−
→∆
−
→∆
∆+∆++





∆
−
+=
n
x
n
x
n
x
n
x
xLimxnxLimxx
nn
LimnxLimxf
Evaluando el límite:
11
00...00)(' −−
=+++++= nn
nxnxxf
Por consiguiente:
1
)(' −
= n
nxxf Así queda demostrado el teorema.
Ejemplo No 84:
Sea la función: f(x) = x3
, Hallar f’(x)
Solución:
( ) ( )
x
xxx
Lim
x
xxx
Limxf
x
nn
x ∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
33
00
)('
Desarrollando el producto notable:






∆
−∆+∆+∆+
=
→∆ x
xxxxxxx
Limxf
x
33223
0
)()(33
)('
Simplificando y operando
[ ]






∆
∆+∆+∆
=





∆
∆+∆+∆
=
→∆→∆ x
xxxxx
Lim
x
xxxxx
Limxf
xx
22
0
322
0
)()(33)()(33
)('
[ ] [ ]22
0
22
0
)()(33
)()(33
)(' xxxxLim
x
xxxxx
Limxf
xx
∆+∆+=





∆
∆+∆+∆
=
→∆→∆
Evaluando el límite:
[ ] 222
0
3)()(33)(' xxxxxLimxf
x
=∆+∆+=
→∆

106
Si se desarrolla utilizando el teorema:
213
33)(' xx
dx
dy
xf === −
Ejemplo No 85:
Sea la función: f(x) = 5x2
, Hallar f’(x)
Solución:
( ) ( )






∆
−∆+∆+
=





∆
−∆+
=
→∆→∆ x
xxxxx
Lim
x
xxx
Limxf
xx
222
0
22
0
5)(2555
)('
Operando y simplificando:
( )






∆
−∆+∆+
=





∆
−∆+∆+
=
→∆→∆ x
xxxxx
Lim
x
xxxxx
Limxf
xx
222
0
222
0
5)(51055)(25
)('
[ ] xxxLim
x
xxx
Limxf
xx
10510
)(510
)('
0
2
0
=∆+=





∆
∆+∆
=
→∆→∆
Utilizando el teorema: xx
dx
dy
xf 102*5)(' 12
=== −
- ) DERIVADA CONSTANTE POR FUNCIÓN
Cuando una función esta multiplicada por una constante, la derivada esta definida según el
siguiente teorema:
[ ] )()( xfkDxkfD xx =
TEOREMA:
Sea f(x) una función diferenciable y sea k una constante diferente de cero,
luego
dx
xdf
kxkf
dx
d )(
)( =

107
Demostración:
Expresemos el producto de la función por la variable así: F(x) = k*f(x) Luego:






∆
−∆+
=





∆
−∆+
=





∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
xfxxfk
Lim
x
xkfxxkf
Lim
x
xFxxF
LimxF
xxx
))()(()()()()(
)('
000
Por la propiedad de los límites:






∆
−∆+
=





∆
−∆+
=





∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
xfxxf
Limk
x
xfxxf
kLim
x
xfxxfk
LimxF
xxx
)()()()())()((
)('
000
Finalmente:
dx
xdf
k
x
xfxxf
LimkxF
x
)()()(
)('
0
=
∆
−∆+
=
→∆
Ejemplo No 86:
Sea f(x) = 7x, Hallar la derivada de f(x)
Solución:
[ ]
x
xxx
Lim
x
xxx
Lim
x
xfxxf
Limxf
xxx ∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆
77)(7)()(
)('
000
[ ] [ ] 71*777
7
)('
000
==
∆
∆
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
x
Lim
x
xxx
Lim
x
xxx
Limxf
xxx
Por consiguiente: f’(x) = 7
Utilizando el teorema:
777)(' 011
=== −
xxxf
Ejemplo No 87:
Sea f(x) = 12x4
, Hallar la derivada de f(x)
Solución:
( ) ( )






∆
−∆+∆+∆+∆+
=





∆
−∆+
=
→∆→∆ x
xxxxxxxxx
Lim
x
xxx
Limxf
xx
4432234
0
44
0
12)()(4)(64121212
)('
Aplicando propiedades de límites y simplificando:

108
( )






∆
−∆+∆+∆+∆+
=
→∆ x
xxxxxxxxx
Limxf
x
4432234
0
)()(4)(64
12)('
( )
x
xxxxxxx
Limxf
x ∆
∆+∆+∆+∆
=
→∆
43223
0
)()(4)(64
12)('
Factorizando ∆x y simplificando obtenemos:
( )
x
xxxxxxx
Limxf
x ∆
∆+∆+∆+∆
=
→∆
3223
0
)()(4)(64
12)('
[ ]3223
0
)()(4)(6412)(' xxxxxxLimxf
x
∆+∆+∆+=
→∆
Evaluando el límite se obtiene: 00048)(' 3
+++= xxf
Finalmente:
3
48)(' xxf =
Utilizando el teorema:
314
484*12)(' xx
dx
dy
xf === −
Generalizando:
Cuando se tiene una función de la forma:
n
kxxf =)(
Para k y n valores diferentes de cero. La derivada es de la forma:
1
*)(' −
== n
kxn
dx
dy
xf

109
Ejemplo No 88:
Sea f(x) = 15x8
+ 10, Hallar la derivada de f(x)
Solución:
Aplicando la generalización:
718
120015*8)(' xx
dx
dy
xf =+== −
NOTA: Recordemos que la derivada de una constante es cero.

112
CAPÍTULO SIETE: DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRÁICAS
Lección 30: Derivada de suma y resta de funciones:
- ) DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES
Como se tiene una suma de varias funciones y se desea obtener la derivada de dicha suma, se
procede por la definición formal de derivada.
Dicho de manera más explicita, la derivada de una suma de funciones, es igual a la suma de
las derivadas de las funciones.
Demostración:




∆
−∆+
=
→∆ x
xpxxp
Limxf
x
)()(
)('
0






∆
++−∆++∆++∆+
=
→∆ x
xhxgxfxxhxxgxxf
Limxf
x
)]()()([)]()()([
)('
0
Reorganizando la expresión anterior:






∆
−∆++−∆++−∆+
=
→∆ x
xhxxhxgxxgxfxxf
Limxf
x
)()()()()()(
)('
0
)()()( gDfDgfD xxx +=+
TEOREMA:
Sea f(x), g(x), h(x) funciones diferenciables respecto a x. Dada
la suma: p(x) = f(x) + g(x) + h(x), entonces la derivada de la
suma esta definida por:
dx
dh
dx
dg
dx
df
hgf
dx
d
xp ++=++= )()('

113
Por propiedad de los límites:






∆
−∆+
+





∆
−∆+
+





∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ x
xhxxh
Lim
x
xgxxg
Lim
x
xfxxf
Limxf
xxx
)()()()()()(
)('
000
Luego:
dx
dh
dx
dg
dx
df
xhxgxfxf ++=++= )(')(')(')('
-) DERIVADA DE LA RESTA DE FUNCIONES
Para la resta de funciones, se trabaja con el mismo principio utilizado en la suma.
Dicho de manera más explicita, la derivada de una resta de funciones, es igual a la diferencia
de la derivada de las funciones.
Demostración:






∆
−∆+
=
→∆ x
xRxxR
LimxR
x
)()(
)('
0






∆
−−∆+−∆+
=
→∆ x
xgxfxxgxxf
LimxR
x
)]()([)]()([
)('
0
Por la propiedad de los límites:
)()()( gDfDgfD xxx −=−
TEOREMA:
Sea f(x), g(x) funciones diferenciables respecto a x. Dada la resta:
R(x) = f(x) - g(x), entonces la derivada esta definida por:
dx
dg
dx
df
gf
dx
d
xR −=−= )()('

114






∆
−∆+
−





∆
−∆+
=
→∆→∆ x
xgxxg
Lim
x
xfxxf
LimxR
xx
)()()()(
)('
00
Luego:
dx
dg
dx
df
xgxfxR −=−= )(')(')('
Ejemplo No 89:
Dada la función: f(x) = 3x2
+ 5x. Hallar la derivada de f(x)
Solución:
Utilizando la definición de derivada: 





∆
−∆+
=
→∆ x
xfxxf
Limxf
x
)()(
)('
0
Aplicándola a la función dada:






∆
+−∆++∆+
=
→∆ x
xxxxxx
Limxf
x
]53[)](5)(3[
)('
22
0
Desarrollando:






∆
+−∆++∆+∆+
=
→∆ x
xxxxxxxx
Limxf
x
]53[)](5))(2(3[
)('
222
0






∆
+−∆++∆+∆+
=
→∆ x
xxxxxxxx
Limxf
x
]53[]55)(363[
)('
222
0






∆
−−∆++∆+∆+
=
→∆ x
xxxxxxxx
Limxf
x
5355)(363
)('
222
0
Simplificando y factorizando:






∆
+∆+∆
=





∆
∆+∆+∆
=
→∆→∆ x
xxx
Lim
x
xxxx
Limxf
xx
)5)(36(5)(36
)('
0
2
0

115
Aplicando propiedad de límites:
5)(36)5)(36()('
0000 →∆→∆→∆→∆
+∆+=+∆+=
xxxx
LimxLimxLimxxLimxf
Evaluando los límites:
5065)(36)('
000
++=+∆+=
→∆→∆→∆
xLimxLimxLimxf
xxx
Finalmente: 56)(' += xxf
Ejemplo 90:
Dada la función: f(x) = 4x3
- 10x2
. Hallar la derivada de f(x)
Solución:
Utilizando la regla de resta de funciones:
)10()4()104()(' 2323
x
dx
d
x
dx
d
xx
dx
d
xf −=−=
Por el teorema de la función potencia:
121323
2*103*4)10()4()(' −−
−=−= xxx
dx
d
x
dx
d
xf
Operando, se obtiene:
xxxf 2012)(' 2
−=
NOTA: Se observa que para obtener la derivada de una función, se puede utilizar la definición
de derivada; es decir, por medio del límite del incremento relativo. Pero si se utiliza los
teoremas correspondientes, el proceso es más rápido.
Lección 31: Derivada de Producto de Funciones
Para obtener la derivada de un producto, el procedimiento y resultado es muy particular,
comparado con el de la suma y resta.
gfDgDfgfD xxx *)()(*)*( +=

116
Demostración:
Para demostrar la derivada de un producto de dos funciones, se parte de la definición de
derivada:
Sea p(x) = f(x)*g(x), entonces:






∆
−∆+∆+
==
→∆ x
xgxfxxgxxf
Lim
dx
dp
xp
x
)(*)()(*)(
)('
0
A la anterior expresión le sumamos y restamos )(*)( xgxxf ∆+






∆
∆+−∆++−∆+∆+
=
→∆ x
xgxxfxgxxfxgxfxxgxxf
Lim
dx
dp
x
)(*)()(*)()(*)()(*)(
0
Reorganizamos la expresión:






∆
−∆++∆+−∆+∆+
=
→∆ x
xgxfxgxxfxgxxfxxgxxf
Lim
dx
dp
x
)(*)()(*)()(*)()(*)(
0
El numerador lo agrupamos en dos expresiones:






∆
−∆++∆+−∆+∆+
=
→∆ x
xgxfxgxxfxgxxfxxgxxf
Lim
dx
dp
x
)](*)()(*)([)](*)()(*)([
0
Ahora, factorizamos f(x+∆x) en el primer sumando y g(x) en el segundo sumando:






∆
−∆++−∆+∆+
=
→∆ x
xfxxfxgxgxxgxxf
Lim
dx
dp
x
)]()()[()]()()[(
0
Aplicamos la propiedad de la suma de límites:
TEOREMA:
Sea f(x) y g(x) funciones diferenciales en x, dado: p(x) = f(x)*g(x),
entonces:
)(**)()(*)(')('*)()(' xg
dx
df
dx
dg
xfxgxfxgxfxp +=+=

117






∆
−∆+
+





∆
−∆+∆+
=
→∆→∆ x
xfxxfxg
Lim
x
xgxxgxxf
Lim
dx
dp
xx
)]()()[()]()()[(
00
En cada sumando tenemos el límite de un producto, luego por la propiedad de este tipo de
límite, los reorganizamos:
( ) ( ) 





∆
−∆+
+





∆
−∆+
∆+=
→∆→∆→∆→∆ x
xfxxf
LimxgLim
x
xgxxg
LimxxfLim
dx
dp
xxxx
)]()([
)(
)]()([
)(
0000
Evaluando los límites:
)(')()(')( xfxgxgxf
dx
dp
+=
Así queda demostrada la derivada de la suma de dos funciones.
Ejemplo 91:
Se la función: p(x) = (3x6
-5x)*(25x-4). Hallar la derivada de la función p(x).
Solución:
Se puede observar que es un producto de dos funciones, luego aplicamos la regla para
producto.
)'53)(425()'425)(53()(' 66
xxxxxxxp −−+−−=
)518)(425()25)(53()(' 56
−−+−= xxxxxp
201257245012575)(' 566
+−−+−= xxxxxxp
Simplificando:
2025072525)(' 56
+−−= xxxxp
Ejemplo 92:
Se la función: ( )( ))(104)( 35
xsenxxxq += Hallar la derivada de q(x).

118
Solución:
Se puede observar que es un producto de dos funciones, luego se aplica regla para producto.
En el ejercicio No 3 de la sección definición formal de derivada. Allí se demuestra que si f(x) =
sen(x) entonces f’(x) = cos(x).
)()3020()cos()104()(' 2435
xsenxxxxxxq +++=
Se puede hacer la distribución de cos(x) en el primer sumando y sen(x) en el segundo
sumando.
)(30)(20()cos(10)cos(4)(' 2435
xsenxxsenxxxxxxq +++=
Lección 32: Derivada de Cociente de Funciones
Para obtener la derivada de un cociente, el procedimiento tiene los mismos lineamientos que el
caso del producto.
Demostración 1:
Para demostrar la derivada de un cociente de funciones, se parte de la definición de derivada:












∆
−
∆+
∆+
=
→∆ x
xg
xf
xxg
xxf
Limxc
x
)(
)(
)(
)(
)('
0
Operando el numerador:
)(
)(*)(*
)/( 2
xg
gDfgDg
gfD xx
x
−
=
TEOREMA:
Sea f(x) y g(x) funciones diferenciales en x, y g(x) ≠ 0, dado:
)(
)(
)(
xg
xf
xc = Entonces:
)(
)('*)()('*)(
)(' 2
xg
xgxfxfxg
xc
−
=

119












∆
∆+
∆+−∆+
=
→∆ x
xgxxg
xxgxfxgxxf
Limxc
x
)(*)(
)(*)()(*)(
)('
0






∆+∆
∆+−∆+
=
→∆ )(*)(
1
*
)(*)()(*)(
)('
0 xgxxgx
xxgxfxgxxf
Limxc
x
Sumamos y restamos la expresión: )(*)( xgxf






∆+∆
∆+−+−∆+
=
→∆ )(*)(
1
*
)(*)()(*)()(*)()(*)(
)('
0 xgxxgx
xxgxfxgxfxgxfxgxxf
Limxc
x
Factorizamos g(x) en el primer sumando y f(x) en el segundo sumando:






∆+∆
∆+−+−∆+
=
→∆ )(*)(
1
*
)]()()[()]()()[(
)('
0 xgxxgx
xxgxgxfxfxxfxg
Limxc
x
Separamos sumandos:
)(*)(
1
*
)]()()[()]()()[(
)('
0 xgxxgx
xxgxgxf
x
xfxxfxg
Limxc
x ∆+



∆
∆+−
+
∆
−∆+
=
→∆
Por propiedad de límites de suma y producto:
)(*)(
1
*
)]()()[()]()()[(
)('
000 xgxxg
Lim
x
xxgxgxf
Lim
x
xfxxfxg
Limxc
xxx ∆+



∆
∆+−
+
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆
Como el límite es con respecto a ∆x, reorganizamos:
)(*)(
1
*
)]()([
)(
)]()([
)()('
000 xgxxg
Lim
x
xxgxg
Limxf
x
xfxxf
Limxgxc
xxx ∆+



∆
∆+−
+
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆
Evaluando los límites: [ ]
)(*)(
1
*)(')()(')()('
xgxg
xgxfxfxgxc +=

120
Finalmente:
)(
)(')()(')(
)(' 2
xg
xgxfxfxg
xc
+
=
Demostración 2:
Otra forma de demostrar la derivada de un cociente de funciones es a partir de la derivada de
un producto, así no se utiliza el límite del incremento relativo.
Dado que:
)(
)(
)(
xg
xf
xc = Se puede escribir como:
)(*)()( xgxcxf =
Se aplica la derivada para producto de funciones:
)(*)(')('*)()(' xgxcxgxcxf +=
)('*)()(')(*)(' xgxcxfxgxc −=
Se resuelve la ecuación para c’(x):
)(
)('*)()('
)('
xg
xgxcxf
xc
−
=
Pero se sabe que
)(
)(
)(
xg
xf
xc = , reemplazamos en la ecuación anterior:
)(
)('*
)(
)(
)('
)('
xg
xg
xg
xf
xf
xc
−
=
Operando en el numerador y reorganizando:
)(
)('*)()('*)(
)(' 2
xg
xgxfxfxg
xc
−
=
Así queda demostrada la derivada de un conciente de funciones.

121
Ejemplo 93:
Sea la función: 24
35
9
843
)(
xx
xx
xc
−
+−
= Hallar la derivada de c(x).
Solución:
Se puede observar que se trata de un cociente de dos funciones, entonces aplicando la regla
para cociente:
224
3352424
)9(
)236)(843()1215)(9(
)('
xx
xxxxxxxx
xc
−
−+−−−−
=
Multiplicamos los términos indicados:
224
346684668
)9(
)1628881446108()1215108135(
)('
xx
xxxxxxxxxx
xc
−
−++−−−+−−
=
Eliminando paréntesis:
224
346684668
)9(
16288814461081215108135
)('
xx
xxxxxxxxxx
xc
−
+−−++−+−−
=
Operando términos semejantes:
224
3468
)9(
1628842727
)('
xx
xxxxx
xc
−
+−−+
=
Ejemplo 94:
Se la función:
10
)tan(
)( 4
−
=
x
x
xc Hallar c’(x).
Solución:
Se puede observar que se trata de un cociente de dos funciones, entonces se aplica la regla
para cociente. Posteriormente se demuestra que la derivada de tan(x) es sec2
(x).
24
324
)10(
)tan()4()(sec)10(
)('
−
−−
==
x
xxxx
xc
dx
dc
Reorganizando:

122
24
3
4
2
24
3
24
24
)10(
)tan()4(
10
)(sec
)10(
)tan()4(
)10(
)(sec)10(
)('
−
−
−
=
−
−
−
−
==
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
xc
dx
dc
Finalmente: 24
3
4
2
)10(
)tan()4(
10
)(sec
)('
−
−
−
==
x
xx
x
x
xc
dx
dc
NOTA:
Para derivar producto y cociente de funciones, se tienen reglas bien definidas, no es necesario
memorizarlas, ya que con la práctica de adquiere la destreza de utilizarlas hasta que se
interioricen adecuadamente. Solo la práctica permite que los procesos se comprendan y así
aprender a derivar, una de las principales competencias del curso de cálculo.
Lección 33: Derivada de la Función Compuesta
Con lo estudiado en los apartes anteriores, se puede resolver derivadas de funciones muy
comunes, como suma, producto, otros. Pero existen muchos casos donde se presentan
funciones dentro de funciones, es decir como una composición de funciones.
Casos como:
xxxxf 253)( 34
+−= y 505
)75()( xxxh −=
No se pueden resolver fácilmente con las técnicas estudiadas hasta ahora, luego se requiere
buscar una alternativa, que en cálculo se llama “Regla de la Cadena”. El fundamento de esta
regla es la composición de funciones.
- En el primer caso:
uuf =)( Para xxxu 253 34
+−=
Así, f es función de u a su vez u es función de x.
- En el segundo caso:
50
)( vvg = Para 5
75 xxv −=
En este caso, g es función de v y ésta a su vez v es función de x.
)](')][([')()'( xgxgfxfog =

123
Haremos la demostración del teorema por dos caminos.
Demostración 1:
Sea ( ))()( xgfxD = Asumiendo que 0)(' ≠xg Entonces:
[ ] [ ] [ ]






∆
−∆+
==
→∆ x
xgfxxgf
Limxgf
dx
d
xD
x
)()(
))(()('
0
Multiplicamos y dividimos la expresión anterior por
( )
( ) )(
)(
xgxxg
xgxxg
−∆+
−∆+
[ ] [ ] [ ] [ ]






∆
−∆+






−∆+
−∆+
=
−∆+
−∆+






∆
−∆+
→∆→∆→∆ x
xgxxg
Lim
xgxxg
xgfxxgf
Lim
xgxxg
xgxxg
x
xgfxxgf
Lim
xxx
)()(
*
)()(
)()(
)()(
)()(
*
)()(
000
Por definición de derivada.
[ ] [ ] [ ] )(*)('
)()(
*
)()(
)()(
00
xgxgf
x
xgxxg
Lim
xxgxxg
xgfxxgf
Lim
xx
=





∆
−∆+






∆−∆+
−∆+
→∆→∆
Demostración 2:
La demostración de este teorema, requiere partir de algunos supuestos:
Sea h(x) = f(g(x)). Vamos a demostrar el teorema para x = c
Partimos de suponer que g(x) ≠ g(c), para todos los x diferentes de c.
Como g(x) es diferenciable en x, entonces g(x) → g(c) cuando x → c
Con estos argumentos, podemos comenzar:
TEOREMA:
Sea )(ufy = y sea )(xgu = Si g es diferenciable en x y f diferenciable
en u, entonces f o g (x) es diferenciable en x. Entonces:
( )[ ] ( ) )('*)(')( xgxgfxgf
dx
d
=

124
cx
cgfxgf
Limch
cx −
−
=
→
))(())((
)('
Multiplicamos y dividimos la expresión por g(x) – g(c), luego:
)()(
)()(
*
))(())((
)('
cgxg
cgxg
cx
cgfxgf
Limch
cx −
−
−
−
=
→
Reorganizando:






−
−
−
−
=
→ cx
cgxg
cgxg
cgfxgf
Limch
cx
)()(
*
)()(
))(())((
)('
Por propiedades de los límites:




−
−






−
−
=
→→ cx
cgxg
Lim
cgxg
cgfxgf
Limch
cxcx
)()(
)()(
))(())((
)('
Como se puede observar, el producto corresponde a la derivada de dos funciones, f(g(c)) y g(c),
por consiguiente: )('*))((')(' cgcgfch =
Como la demostración se hizo para x = c, se puede generalizar:
)('*))((')(' xgxgfxh =
Notación de Leibniz:
El gran matemático Gottfried Leibniz en su desarrollo del cálculo propone una nomenclatura
para expresar la regla de la cadena. Sea y = f(u), donde u es la variable y sea u = g(x),
entonces:
Ejemplo 95:
Dada la función: ( )204
53)( xxxf −= Hallar la derivada de f(x).
dx
du
du
dy
dx
dy
*=

125
Solución:
La función f(x) se puede descomponer en dos funciones.
xxxu 53)( 4
−= y 20
)( uuf = Ahora expresando la ultima función así: 20
uy =
Escribiendo la derivada de las dos formas analizadas:
dx
du
du
dy
dx
dy
xuufxf *)(*)(')(' =⇒=
Lo que se debe hacer es derivar f respecto a u y a su vez derivar u respecto a x, para
multiplicar las derivadas obtenidas.
19
20)(' uuf = y 512)( 3
−= xxu
Entonces: ( ) ( ) ( )( )19433194
5351220512*5320)(' xxxxxxxf −−=−−=
Ejemplo 96:
Dada la función: )948()( 5
+−= xxsenxf Hallar la derivada de f(x).
Solución:
Se debe calcular:
dx
du
du
dy
dx
dy
xuufxf *)(*)(')(' =⇒=
Descomponemos la función dada en dos funciones:
)()( usenuf = y 948)( 5
+−= xxxu
Desarrollando las derivadas: )cos()(' u
du
df
uf ==
(En el estudio de las funciones trigonométricas se demostrarán las derivadas de sen(x))
Ahora: 4
'( ) 40 4.
du
u x x
dx
= = − Entonces: ( ) )948cos(440)(' 54
+−−== xxx
dx
dy
xf
Ejemplo 97:
Dada la función: 9106)( 4
+−= xxxf Hallar la derivada de f(x).

126
Solución:
Se debe calcular:
dx
du
du
dy
dx
dy
xuufxf *)(*)(')(' =⇒=
Como: 2
1
)( uuuf == y 9106)( 4
+−= xxxu Entonces:
91062
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)('
42
1
2
11
2
1
+−
======
−−
xxuu
uu
du
df
uf
1024)(' 3
−== x
dx
du
xu
Finalmente: ( ) ( )
91062
1024
1024
91062
1
)('
4
3
3
4
+−
−
=−
+−
==
xx
x
x
xxdx
dy
xf
Simplificando:
( )
9106
512
)('
4
3
+−
−
==
xx
x
dx
dy
xf
NOTA:
La clave de usar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas, es definir las
funciones externa e interna.
Lección 34: Derivada de la Función Implícita
Toda función se puede expresar de dos formas:
- Explícitamente y = f(x); es decir, la variable independiente se puede separar de la variable
dependiente.
- Implícitamente f(x, y) = k, en este caso la variable independiente NO se puede separa
fácilmente o en caso extremos no se puede separa de la variable dependiente.
Las funciones que se presentan a continuación están dadas implícitamente:
- x2
y3
+ 4xy – 6x = 2 - y2
+ 7xy – 4y = 0
kyxf =),(

127
Para hallar la derivada de este tipo de funciones, se utiliza la REGLA DE LA CADENA,
respetando desde luego los principios de la diferenciación.
La Derivación Implícita:
Para resolver derivadas de funciones implícitas, se propone a continuación los pasos que se
consideran pertinentes realizar:
1. Definir en la ecuación la función y la variable, para saber respecto a que variable se
debe derivar.
2. Derivar los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta todos los principios
de la derivación.
3. Agrupar los términos que contengan el diferencial dy/dx, para obtener el factor
común de dicho diferencial.
4. Despejar de la expresión obtenida dy/dx.
5. Finalmente se obtiene la derivada dy/dx
La forma de afianzar este principio es con algunos ejemplos:
Ejemplo 98:
Dada la expresión: 26432
=−+ xxyyx Hallar la derivada, para x la variable.
Solución:
Como y = f(x), entonces se deriva respecto a x los dos términos de la ecuación. Vemos que el
primero y segundo miembro son productos, luego se deriva como producto, el tercero es una
constante por variable y el otro término de la ecuación una constante.
Para x2
y3
: La derivada es 2 2 3
*3 2 *
dy
x y x y
dx
 
+ 
 
Para 4xy: La derivada es 4 * 4
dy
x y
dx
 
+ 
 
Para 6x La derivada es 6
Para 2 La derivada es 0
Agrupando:

128
( ) 064*423* 322
=−




 +




−+ y
dx
dyxxydxdyyx
Agrupamos los términos que contienen dy/dx:
( ) ( ) 322322
2643064423 xyxyx
dx
dy
y
dx
dyxxydxdyyx −=−=⇒=−−



−+
Finalmente despejamos
xyx
xy
dx
dy
43
26
22
3
−
−
=
Ejemplo 99:
Dada la expresión: y2
+ 7xy – 4y = 10 Hallar la derivada, donde y = f(x)
Solución:
Se sabe que y = f(x)
Para y2
La derivada es 2 *
dy
y
dx
 
 
 
Para 7xy La derivada es 7 * 7
dy
x y
dx
 
+ 
 
Para 4y La derivada es 4*
dy
dx
 
 
 
Para 10 la derivada es 0
Agrupando: 04772 =




−+




+





dx
dyy
dx
dyx
dx
dyy
Factorizando y despejando: ( )
472
7
07472
−+
−=⇒=+−+
xy
y
dx
dy
yxy
dx
dy
Ejemplo 100:
Dada la expresión: 20
4
3
43
=−+
t
v
tvt Hallar
dv
dt

129
Solución:
Se sabe que v = f(t)
Para vt3
su derivada es 2 3
*3 *
dv
v t t
dt
 
+  
 
Para t4
su derivada es 4t3
Para v3
/ 4t su derivada es
( )2 3
2
4 *3 4
16
dvt v v
dt
t
−
Para 20 su derivada es 0.
Ahora: 0
16
412
43 2
32
332
=
−
−++
t
v
dt
dv
tv
tt
dt
dv
vt
Por operación algebraica:
0
16
412641648
16
4124316
2
32554
2
323322
=
+−++
=
+−





++
t
v
dt
dv
tvt
dt
dv
tvt
t
v
dt
dv
tvtt
dt
dv
vtt
Entonces: 0412641648 32554
=+−++ v
dt
dv
tvt
dt
dv
tvt
Factorizamos: ( ) 35425
464481216 vtvttvt
dt
dv
−−−=−
Finalmente:
tvt
vtvt
dt
dv
25
354
1216
46448
−
−−−
=

131
CAPÍTULO OCHO: DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES
Lección 35: Derivada De la Función Exponencial y Función Logarítmica
- ) DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
En los cursos previos se ha estudiado la función exponencial y sus propiedades, las cuales son
muy importantes para poder desarrollar la derivada de éste tipo de funciones. Es pertinente que
recordemos algunas de las propiedades de los exponentes.
Para a > 0, b > 0, n entero positivo; mayor o igual a dos. Además x e y números reales:
1. Derivada de Función Exponencial Base a: y = ax
Demostración 1:
Utilizando la definición de derivada:
( ) ( )






∆
−
=





∆
−
=





∆
−
=





∆
−
=
∆
→∆
∆
→∆
∆
→∆
∆+
→∆ x
a
Lima
x
aa
Lim
x
aaa
Lim
x
aa
Lim
dx
dy x
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
11
0000
Si reemplazamos a por cualquier entero positivo, por ejemplo 2, al desarrollar el límite se
obtiene: 69314,0
12
0
≅





∆
−∆
→∆ x
Lim
x
x
x
e
dx
dy
=⇒=
x
ey
( )
( ) n
x
n xyxyx
x
xx
yx
y
x
xxxyxyx
aaaa
b
a
b
a
a
a
a
babaaaa
=−=−
=





−=−
=−=−
−
+
)6)3
)5)2
**)4*)1
*
Dada la función f(x) = ax
Para a>0, Entonces:
)()(' aLna
dx
dy
xf x
==

132
Veamos:
x∆ 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001






∆
−∆
→∆ x
Lim
x
x
12
0
0,7177 0,6955 0,6933 0,69317 0,6931
Por otro lado: 693147,0)2( ≅Ln Por consiguiente: )2(
12
0
Ln
x
Lim
x
x
=





∆
−∆
→∆
Así para cualquier valor
de a. Entonces:
( ) )(
1
0
aLna
x
a
Lima
dx
dy x
x
x
x
=





∆
−
=
∆
→∆
Demostración 2:
Otra alternativa para demostrar la derivada de la exponencial, es utilizando propiedades de los
exponentes y logaritmos.
Como la función es y = ax
entonces: ( ) ( ) ( ))()( axLnaLnx
e
dx
d
e
dx
d
a
dx
d x
==
La última expresión se deriva utilizando la regla de la cadena:
( ) ( ) )()(*1*)(*)(* )()()()(
aLnaaLneaLneaxLn
dx
d
ee
dx
d xaLnaLnaxLnaxLn xx
====
2. Derivada de Función Exponencial Natural ex
: y = ex
Demostración:
Utilizando la definición de derivada:
( ) ( )






∆
−
=





∆
−
=





∆
−
=





∆
−
=
∆
→∆
∆
→∆
∆
→∆
∆+
→∆ x
e
Lime
x
ee
Lim
x
eee
Lim
x
ee
Lim
dx
dy x
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
11
0000
Dada la función f(x) = ex
Entonces:
xx
eeLne
dx
dy
xf === )()('

133
Como en el caso anterior, 1)(
1
0
==





∆
−∆
→∆
eLn
x
e
Lim
x
x
Entonces:
( ) xx
x
x
x
ee
x
e
Lime
dx
dy
==





∆
−
=
∆
→∆
1*
1
0
3. Derivada de Función Exponencial Decimal 10x
: y = 10x
Demostración:
Con las demostraciones anteriores, por favor desarrolle la demostración de esta derivada.
Ejemplo 101:
Dada la función x
xf 2
4)( = Hallar la derivada.
Solución:
Se observa que hay dos funciones: u
y 4= y xu 2= Entonces podemos derivar la expresión
utilizando la regla de la cadena:
2*)4(4* Ln
dx
du
du
dy
dx
dy u
==
Entonces: x
Ln
dx
dy 2
4*)4(2=
Ejemplo 102:
Dada la función
2
46
)(
3
−
+
=
x
xg
x
Hallar la derivada.
Dada la función f(x)=10x
Entonces: )10(10)(' Ln
dx
dy
xf x
==

134
Solución:
La función presentada es de cociente, donde el numerador tiene una función exponencial.
Entones:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
33
2
33
)2(
466*)6(32
)2(
1*466*)6(32
)('
−
+−−
=
−
+−−
==
x
Lnx
x
Lnx
dx
dy
xg
xxxx
Ejemplo 103:
Dada la función 34
)( +
= x
exf Hallar la derivada de f(x).
Solución:
Se observa que hay tres funciones involucradas, veamos:
( ) 342
1
+==== xvvvuey u
Entonces, por la regla de la cadena: 4*
2
1
*** 2
1−
== ve
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy u
Reorganizando y reemplazando cada variable:
34
2
2
4
2
4
4*
2
1
*
34
2
1
2
1
+
====
+
−
x
e
v
e
v
e
ve
dx
dy xuu
u
Finalmente:
34
2 34
+
=
+
x
e
dx
dy x
Ejemplo 104:
Dada la función 24 3
10)( +
= x
xf Hallar la derivada de f(x).
Solución:
Se observa que hay tres funciones involucradas, veamos:
( ) 2410 32
1
+==== xvvvuy u
Entonces, por la regla de la cadena:

135
22
1
12*
2
1
*)10(10** xvLn
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy u −
==
Reorganizando y reemplazando cada variable:
242
10*12)10(
12*
2
1
*)10(10
3
242
2
2
1
3
+
==
+
x
xLn
x
v
Ln
dx
dy x
u
Finalmente:
24
10*)10(6
3
242 3
+
=
+
x
xLn
dx
dy x
- ) DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA
De la misma manera que la función exponencial, en los cursos previos se ha estudiado la
función logarítmica y sus propiedades.
Veamos algunas de las propiedades de los logaritmos.
Para a > 0, b > 0, r número racional positivo. Además x e y números reales positivos:
1. Derivada de Función Logarítmica Base a: y = Loga(x)
)(
1
)(y
axLndx
dy
xLog a
=⇒=
)(
)(
)()6)()()3
)()5)()()*()2
)()()40)1()1
aLog
xLog
xLogyLogxLog
y
x
Log
xayxLogyLogxLogyxLog
xrLogxLogLog
b
b
aaaa
y
abaa
a
r
aa
=−−=





−
=⇒=−+=−
=−=−
Dada la función )()( xLogxf a= Para a>0, Entonces:
)(
1
)('
axLndx
dy
xf ==

136
Demostración:
Por el principio de la función inversa: xaxLogy y
a =⇔= )( Derivando los dos términos de la
última ecuación:
)(
1
1*)()()(
aLnadx
dy
dx
dy
aLnax
dx
d
a
dx
d
y
yy
=⇒=⇒=
Pero ay
= x, entonces reemplazando:
)(
1
axLndx
dy
=
Pero podemos generalizar de la siguiente manera:
)(uLogy a= Siendo )(xfu = Entonces:
2. Derivada de Función Logarítmica Base e: y = Loge(x) = Ln(x)
Demostración:
Por el principio de la función inversa: xexLnxLogy y
e =⇔== )()( Derivando los dos términos
de la última ecuación:
y
yy
edx
dy
dx
dy
ex
dx
d
e
dx
d 1
1*)()( =⇒=⇒= Pero xey
= reemplazando:
xedx
dy
y
11
==
NOTA: Recordemos que Ln(x) es el logaritmo neperiano, al cual invitamos que investiguemos
un poco, para fortalecer este tema.
dx
du
auLndx
dy
*
)(
1
=
Dada la función )()(log)( xLnxxf e == Para e el número de Euler, Entonces:
xdx
dy
xf
1
)(' ==

137
Ejemplo 105:
Dada la función )4()( 2 xLogxf = Hallar la derivada de f(x).
Solución:
Se observa que se trata de una función logarítmica. Planteamos la solución así: xu 4=
Entonces: )()( 2 uLoguf = Su derivada: )(*)()(' u
dx
d
uf
du
d
dx
dy
xf ==
Desarrollando:
)2(2
4
4*
)2(2
1
)('
LnLndx
dy
xf xx
===
Ejemplo 106:
Dada la función )()44()( 10
2
6 xLogxLogxf ++= Hallar la derivada de f(x).
Solución:
Observamos que se trata de la derivada de una suma, donde los términos son funciones
logarítmicas. Entonces derivamos cada término de la suma.
Sea )()()( xhxgxf += . Se deriva cada función:
- ) )()( 6 uLogxgy == Además sea )44( 2
+= xu Entonces:
( )
6)44(
8
8*
6
1
)('*)(' 2
Lnx
x
x
uLn
xg
dx
du
du
dy
xg
+
==⇒=
- ) )()( 10 uLogxhy == Además sea xu = Entonces:
( ) xLnxLnxxuLn
xh
dx
du
du
dy
xh
102
1
2*10
1
2
1
*
10
1
)('*)(' ===⇒=
Agrupando las dos derivadas, ya que: )()()( xhxgxf +=
( ) xLnLnx
x
dx
dy
xf
102
1
644
8
)(' 2
+
+
==

138
Ejemplo 107:
Dada la función
x
x
Lnxf
5
12
)(
7
−
= Hallar la derivada de f(x).
Solución:
Planteando la derivada como regla de la cadena: uLnuf =)( Donde vu = y
x
x
v
5
127
−
=
Por regla de la cadena:
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
**= Derivando:
12
5
5
12
111
77 −
=
−
===
x
x
x
xvudu
dy
12
5
2
1
5
12
2
1
2
1
77 −
=
−
==
x
x
x
xvdv
du
( ) ( )
2
7
2
7
2
77
2
76
5
126
25
6030
25
60535
25
5*127*5
x
x
x
x
x
xx
x
xxx
dx
dv +
=
+
=
+−
=
−−
=
Entonces agrupando:
12
63
12010
6030
12
5
10
126
5
126
*
12
5
2
1
*
12
5
7
7
8
8
7
77
77
−
+
−
+
=





−
+
=
+
−−
=
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dy
Finalmente:
12
63
7
7
−
+
=
x
x
dx
dy
Lección 36: Derivada de las Funciones Trigonométricas
Muchos fenómenos de la naturaleza son modelados por
medio de funciones periódicas como las trigonométricas, por
ejemplo el movimiento de un resorte, la forma en que se propaga el sonido, las ondas de luz,
los electrocardiogramas y otros. Esto nos da la motivación para estudiar las derivadas de este
tipo de funciones.
sen(x)y'cos(x)y −=⇒=

139
1. Derivada de Función Seno: y = sen(x)
Demostración:
Por la definición de derivada: )(xseny = entonces:






∆
−∆+
==
→∆ x
xsenxxsen
Lim
dx
dy
y
x
)()(
'
0
Utilizando identidades para suma de seno:






∆
−∆+∆
==
→∆ x
xsenxsenxxxsen
Lim
dx
dy
y
x
)()()cos()cos()(
'
0
Operando términos semejantes y Reorganizando:
[ ]






∆
∆
+
∆
−∆
=





∆
∆
+
∆
−∆
==
→∆→∆ x
xsen
x
x
xxsen
Lim
x
xsenx
x
xsenxxsen
Lim
dx
dy
y
xx
)(
)cos(
1)cos()()()cos()()cos()(
'
00
Aplicando la propiedad de la suma de límites:
[ ]






∆
∆
+





∆
−∆
==
→∆→∆ x
xsen
xLim
x
xxsen
Lim
dx
dy
y
xx
)(
)cos(
1)cos()(
'
00
Como el límite es del incremento, entonces:
[ ]






∆
∆
+





∆
−∆
==
→∆→∆ x
xsen
Limx
x
x
Limxsen
dx
dy
y
xx
)(
)cos(
1)cos(
)('
00
En las temáticas de límites se demostró dos límites muy importantes en funciones
trigonométricas.
[ ] 0
1)cos(
0
=





∆
−∆
→∆ x
x
Lim
x
y 1
)(
0
=





∆
∆
→∆ x
xsen
Lim
x
Dada la función f(x) = sen(x) Entonces:
)cos()(' x
dx
dy
xf ==

140
Entonces, retomando la demostración: )cos(1*)cos(0*)(' xxxsen
dx
dy
y =+==
Generalizando:
Sea la función )()( usenxf = donde )(xfu = entonces por la regla de la cadena:
2. Derivada de Función Coseno: y = cos(x)
Demostración:
Por la definición de derivada: )cos(xy = entonces: 





∆
−∆+
==
→∆ x
xxx
Lim
dx
dy
y
x
)cos()cos(
'
0
Utilizando identidades para suma de coseno:






∆
−∆−∆
==
→∆ x
xxsenxsenxx
Lim
dx
dy
y
x
)cos()()()cos()cos(
'
0
Reorganizando:
[ ]






∆
∆−−∆
=





∆
∆−−∆
==
→∆→∆ x
xsenxsenxx
Lim
x
xsenxsenxxx
Lim
dx
dy
y
xx
)()(1)cos()cos()()()cos()cos()cos(
'
00
[ ]






∆
∆
−





∆
−∆
==
→∆→∆ x
xsen
Limxsen
x
x
Limx
dx
dy
y
xx
)(
)(
1)cos(
)cos('
00
Finalmente: )(1*)(0*)cos(' xsenxsenx
dx
dy
y −=−==
Dada la función f(x) = cos(x) Entonces:
)()(' xsen
dx
dy
xf −==
dx
du
u
dx
du
du
dy
dx
dy
xf *)cos(*)(' ===

141
Generalizando:
Sea la función )cos()( uxf = donde )(xfu = entonces por la regla de la cadena:
Esta generalización aplica a las demás funciones trigonométricas.
3. Derivada de Función Tangente: y = tan(x)
Demostración:
Por identidades de cociente sabemos que:
)cos(
)(
)tan(
x
xsen
xy == entonces derivamos la función
como cociente: )(sec
)(cos
1
)(cos
)()(cos
)(cos
))((*)()cos(*)cos(
' 2
22
22
2
x
xx
xsenx
x
xsenxsenxx
dx
dy
y ==
+
=
−−
==
Así queda demostrada la derivada de la tangente. Es pertinente repasar lo referente a
identidades trigonométricas, ya que son una herramienta muy útil en este tipo de
demostraciones.
4. Derivada de Función Cotangente: y = cot(x)
dx
du
usen
dx
du
du
dy
dx
dy
xf *)(*)(' −===
Dada la función f(x) = tan(x) Entonces: )(sec)(' 2
x
dx
dy
xf ==
Dada la función f(x) = cot(x) Entonces:
)(csc)(' 2
x
dx
dy
xf −==

142
Demostración:
Por identidades de cociente sabemos que:
)(
)cos(
)cot(
xsen
x
xy == entonces derivamos la función
( )
)(
1
)(
)(cos)(
)(
)(cos)(
)(
)cos(*)cos())((*)(
' 22
22
2
22
2
xsenxsen
xxsen
xsen
xxsen
xsen
xxxsenxsen
dx
dy
y
−
=
+−
=
−−
=
−−
==
Por identidades recíprocas: )(cos
)(
1
' 2
2
x
xsendx
dy
y −=
−
==
5. Derivada de Función Secante: y = sec(x)
Demostración:
Sabemos que la secante es el recíproco del coseno:
)cos(
1
)sec(
x
xy ==
Entonces: )tan(*)sec(
)cos(
)(
*
)cos(
1
)(cos
)(
)(cos
))((*10*)cos(
' 22
xx
x
xsen
xx
xsen
x
xsenx
dx
dy
y ===
−−
==
6. Derivada de Función Cosecante: y = csc(x)
Demostración:
Sabemos que la cosecante es el recíproco del seno:
)(
1
)csc(
xsen
xy ==
Dada la función f(x) = sec(x) Entonces:
)tan()sec()(' xx
dx
dy
xf ==
Dada la función f(x) = csc(x) Entonces:
)cot()csc()(' xx
dx
dy
xf −==

143
Entonces: )cot(*)csc(
)(
)cos(
*
)(
1
)(
)cos(
)(
)cos(*10*)(
' 22
xx
xsen
x
xsenxsen
x
xsen
xxsen
dx
dy
y −=−=
−
=
−
==
En seguida vamos a proponer algunos ejemplos modelos sobre derivadas de funciones
trigonométricas.
Ejemplo 108:
Dada la función )cos(5)4()( xxsenxf += hallar la derivada de f(x).
Solución:
Se observa que f(x) se presenta como una suma de dos funciones trigonométricas, así sea y =
sen (4x) además u = 4x entonces:
[ ] )4cos(44*)cos(*)4( xu
dx
du
du
dy
xsen
dx
d
=== Además [ ] )(5))((5)cos(5 xsenxsenx
dx
d
−=−=
Entonces: )(5)4cos(4)(' xsenx
dx
dy
xf −==
Ejemplo 109:
Dada la función
)5cos(
)5tan(
)(
x
x
xg = hallar la derivada de g(x).
Solución:
Se observa que g(x) se presenta como un cociente de dos funciones trigonométricas, entonces:
)5(cos
)5()5tan(5)5(cos
1*)5cos(5
)5(cos
))5((*5*)5tan()5(sec5*)5cos(
)(' 2
2
2
2
x
xsenxx
x
x
xsenxxx
dx
dy
xg
+
=
−−
==
)5(cos
)5(5
)5(cos
5
)5(cos
)5()5tan(5
)5(cos
)5cos(
5
)5(cos
)5()5tan(5)5cos(
5
)(' 3
2
3222
x
xsen
xx
xsenx
x
x
x
xsenxx
dx
dy
xg +=+=
+
==
Finalmente:
)5(cos
)5(55
)(' 3
2
x
xsen
dx
dy
xg
+
==
Ejemplo 110:
Dada la función 5)4sec(*)2cot()( += xxxf hallar la derivada de g(x).

144
Solución:
La función f(x) corresponde al producto de dos funciones trigonométricas más una constante,
entonces: 0)4tan()4sec(4*)2cot()4sec(*)2(csc2)(' 2
++−== xxxxx
dx
dy
xf
Finalmente:
)4(cos)2(
)4()2cos(4
)2(
)4sec(2
)4tan()4sec()2cot(4)4sec()2(csc2)(' 22
2
xxsen
xsenx
xsen
x
xxxxx
dx
dy
xf +−=+−==
Lección 37: Derivada de las Funciones Hiperbólicas:
Reconocimiento:
Recordando los principios sobre las funciones hiperbólicas, las cuales están definidas a partir
de las exponenciales, tales como:
xx
xxxxxx
ee
ee
x
ee
x
ee
xsenh −
−−−
+
−
=
+
=
−
= )tanh(,
2
)cosh(,
2
)(
Con algo de conocimientos podemos deducir las tres faltantes.
A continuación vamos a analizar las derivadas de este tipo de funciones.
1. Derivada de Función Senh: y = senh(x)
Demostración:
Utilizando la definición de seno hiperbólico, podemos derivar la función:
( ) ( ) ( ) 22
1
)(
2
1
)(
2
)(
xx
xxxx
xx
ee
eeeexsenh
dx
dee
xsenh
−
−−
−
+
=+=−−=⇒
−
=
(x)coshy'(x)y =⇒= senh
Dada la función f(x) = senh(x) Entonces:
)cosh()(' x
dx
dy
xf ==

145
Como podemos observar, la última expresión corresponde a la función coseno hiperbólico de la
variable, así queda demostrada la derivada de seno hiperbólico.
Generalizando:
Cuando la variable de la función no es x sino otra, digamos u, que a su vez es función de x,
entonces: Sea )()( usenhxf = y a su vez )(xfu = Por consiguiente:
dx
du
du
dy
dx
dy
u
dx
d
usenh
du
d
dx
dy
xf *)(*)()(' =⇒==
2. Derivada de Función Cosh: y = cosh(x)
Demostración:
Utilizando la definición de coseno hiperbólico, podemos derivar la función:
( ) ( ) ( ) 22
1
)(
2
1
)cosh(
2
)cosh(
xx
xxxx
xx
ee
eeeex
dx
dee
x
−
−−
−
−
=−=−+=⇒
+
=
Como podemos observar, la última expresión corresponde a la función seno hiperbólico de la
variable, así queda demostrada la derivada de coseno hiperbólico.
Generalizando:
Cuando la variable de la función no es x sino otra, digamos u, tal que a su vez es función de x,
entonces:
Sea )cosh()( uxf = y a su vez )(xfu = Entonces:
dx
du
du
dy
dx
dy
u
dx
d
u
du
d
dx
dy
xf *)(*)cosh()(' =⇒==
Dada la función f(x) = cosh(x) Entonces:
)()(' xsenh
dx
dy
xf ==

146
3. Derivada de Función Tanh: y = tanh(x)
Demostración:
Utilizando la definición de tangente hiperbólico, podemos derivar dicha función:
)(cosh
)()(cosh
)(cosh
)(*)()cosh(*)cosh(
)(tanh'
)cosh(
)(
)tanh( 2
22
2
x
xsenhx
x
xsenhxsenhxx
x
x
xsenh
x
−
=
−
=⇒=
Por identidades de las hiperbólicas.
)(sec
)(cosh
1
)(cosh
)()(cosh
)(tanh' 2
22
22
xh
xx
xsenhx
x ==
−
=
La última expresión corresponde a la función secante hiperbólico de la variable, así queda
demostrada la derivada de tangente hiperbólico.
Generalizando:
La generalización es similar a los casos anteriores. Con el apoyo del Tutor hacer la
demostración de la generalización para esta función.
4. Derivada de Función Coth: y = coth(x)
Demostración:
Utilizando la definición de cotangente hiperbólica, podemos derivar dicha función:
Dada la función f(x) = tanh(x) Entonces:
)(sec)(' 2
xh
dx
dy
xf ==
Dada la función f(x) = coth(x) Entonces:
)(csc)(' 2
xh
dx
dy
xf −==

147
)(
)(cosh)(
)(
)cosh(*)cosh()(*)(
)(coth'
)(
)cosh(
)coth( 2
22
2
xsenh
xxsenh
xsenh
xxxsenhxsenh
x
xsenh
x
x
−
=
−
=⇒=
Por identidades de las hiperbólicas.
)(csc
)(
1
)(
))()((cosh
)(tanh' 2
22
22
xh
xsenhxsenh
xsenhx
x −==
−−
=
5. Derivada de Función Sech: y = sech(x)
Demostración:
Se deja como ejercicio la demostración de la función secante hiperbólica.
6. Derivada de Función Csch: y = csch(x)
Demostración:
Se deja como ejercicio demostrar la derivada de la función cosecante hiperbólica.
Ejemplo 111:
Dada la función )2tanh()( 3
+= xxf hallar la derivada de f(x).
Dada la función f(x) = sech(x) Entonces:
)tanh()(sec)(' xxh
dx
dy
xf ==
Dada la función f(x) = csch(x) Entonces: )coth()(csc)(' xxh
dx
dy
xf −==

148
Solución:
La función f(x) corresponde a tangente hiperbólico. Debemos tener en cuenta que esta
operación es válida solo si 0)2cosh( 3
≠+x Entonces: f(u) = tanh(u) y u = x3
+ 2, aplicando la
regla de la cadena: )03(*)(sec)2(*)((tan)(' 223
+=+== xuhx
dx
d
unh
du
d
dx
dy
xf
Simplificando y reorganizando: )2(sec3)(' 322
+== xhx
dx
dy
xf
Ejemplo 112:
Dada la función ( )42)( −= xsenhxf hallar la derivada de f(x).
Solución:
La función f(x) corresponde a seno hiperbólico. Debemos tener en cuenta que esta operación es
válida solo si 042 ≥−x
Entonces: ),()( usenhuf = ,vu = ,42 −= xv aplicando la regla de la cadena:
( ) )2(*
2
1
*)cosh(42*)(*)(()('
v
ux
dx
d
v
dv
d
usenh
du
d
dx
dy
xf =−==
Simplificando y reorganizando:
42
)42cosh(
)2(*
422
1
*)42cosh()('
−
−
=
−
−==
x
x
x
x
dx
dy
xf
Ejemplo 113:
Dada la función [ ])2cos(tanh)( xxg = hallar la derivada de g(x).
Solución:
Sea: g(u) = tanh(u), u = cos(v), v = 2x. Entonces:
( ) ( ) ( ) 2*)(*)(sec2*)cos(*))(tanh()(' 2
vsenuhx
dx
d
v
dv
d
u
du
d
dx
dy
xg −===
Simplificando y reorganizando: )2())2(cos(sec2)(' 2
xsenxh
dx
dy
xg −==

149
Ejemplo 114:
Dada la función )56(cosh)( 3
−= xxg hallar la derivada de g(x).
Solución:
Sea: g(u) = [u]3
, u =cosh(v), v = 6x - 5. Entonces: Aquí aplicamos la regla de la cadena.
[ ] )06(*)(*3**)('
2
−=== vsenhu
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xg
Reemplazando y Simplificando: )56()56(cosh18)(' 2
−−== xsenhx
dx
dy
xg

151
CAPÍTULO NUEVE: DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Y DE FUNCIONES INVERSAS
Lección 38: Derivadas De Orden Superior
Con lo analizado hasta el momento podemos inferir que la derivada de una
función es otra función. La razón de cambio de la función f(x) respecto a la variable x está dada
por su derivada, definida como
dx
dy
xf =)(' . De igual manera, la razón de cambio de f’(x) está
dada por su derivada, es decir, por la “derivada de la derivada” de la función original. La
derivada de la derivada de la función f(x) se conoce como segunda derivada, la cual se
representa por el símbolo 2
2
)(''
dx
yd
xf = . La derivada f’(x) algunas veces se denomina primera
derivada para diferenciarla de la segunda derivada f ‘’ (x). El concepto es secuencial, es decir,
la derivada de la segunda derivada, será la tercera derivada y así sucesivamente.
Todo el análisis anterior, parte de la premisa que la función es derivable, la primera derivada es
derivable, la segunda derivada es derivable y así sucesivamente. Generalizando que la función
original es derivable las veces que sea necesario.
Segunda Derivada:
La segunda derivada de la función f(x) es la derivada de la primera derivada de dicha función,
veamos la siguiente definición.
Para hallar la segunda derivada basta con calcular la primera derivada y luego derivar la función
obtenida.
Ejemplo 115:
Dada la función xxxxf 1268)( 35
+−= hallar la segunda derivada de f(x).
2
2
)(''
dx
yd
xf =
DEFINICIÓN:
Sea y = f(x) entonces la segunda derivada esta dada por: 2
2
)(''''
dx
yd
xfy ==

152
Solución:
A partir de la función hallamos la primera derivada: 121840)(' 24
+−== xx
dx
dy
xf
En seguida derivamos f’(x). 036160)('' 3
2
2
+−== xx
dx
yd
xf
Entonces la segunda derivada de f(x) es: xx
dx
yd
xf 36160)('' 3
2
2
−==
Ejemplo 116:
Dada la función )8cos(3)7(4)( xxsenxs += hallar la segunda derivada de s(x).
Solución:
Primero calculamos la primera derivada.
)8(24)7cos(28)(' xsenx
dx
ds
xs −==
En seguida calculamos la derivada de s’(x).
)8cos(192)7(196)('' 2
2
xxsen
dx
sd
xs −−==
Así s’’(x) será la segunda derivada de s(x).
Derivada de Orden n:
Para hallar la n-ésima derivada basta con calcular la primera derivada, la segunda y así hasta la
derivada n.
DEFINICIÓN:
Dada la función y = f(x) entonces la n-ésima derivada: )(
)(
)()(
)( n
n
nn
dx
yd
xfy ==

153
Generalizando sobre la n-ésima derivada vamos a mostrar en el siguiente cuadro, la función, y
las diferentes nomenclaturas para definir el orden de la derivada.
Sea la función y = f(x)
Orden
Derivada
Notación
Uno
Notación
Dos
Notación
Diferencial
Notación
Leibniz
Primera 'y )(' xf yDx
dx
dy
Segunda ''y )('' xf yDx
2
2
2
dx
yd
Tercera '''y )(''' xf yDx
3
3
3
dx
yd
M M M M M
n-ésima )(n
y )()(
xf n
yD n
x
)(
)(
)(
n
n
dx
yd
Ejemplo 117:
Dada la función )2(2)( xsenxg = hallar la tercera derivada de g(x).
Solución:
Hallemos la primera derivada: )2cos(4)(' x
dx
dg
xg ==
En seguida calculemos la segunda derivada: )2(8)('' 2
2
xsen
dx
gd
xg −==
Finalmente calculamos la tercera derivada: )2cos(16)(''' 3
3
x
dx
gd
xg −==
Ejemplo 118:
Dada la función 4)( += xLnxn hallar la cuarta derivada de n(x).

154
Solución:
Hallemos la primera derivada:
4
1
)('
+
==
xdx
dn
xn
La segunda derivada:
22
2
)4(
1
)(''
+
−==
xdx
nd
xn Recuerde la derivada en un cociente.
La tercera derivada: 43
3
)4(
82
)('''
+
+
==
x
x
dx
nd
xn También se resolvió por la derivada de cociente.
Para obtener la cuarta derivada debemos derivar la función n’’’(x).
8
44
8
34
8
34
)4(
)4(
)(
)4(
)4(8)4(2
)4(
)4(*)4(8)4(2
)4(
)4(*)82(4)4(2
)(
+
+−+
=
+
++−+
=
+
++−+
==
x
xx
x
xxx
x
xxx
dx
nd
xn iv
Simplificando: 48
4
)4(
)4(
)(
)4(
6
)4(
)4(6
)(
+
−=
+
+−
==
xx
x
dx
nd
xn iv
Ejemplo 119:
Dada la función 2
)(
x
exf = hallar la n-ésima derivada de f(x).
Solución:
La primera derivada: 2
2
1
)('
x
e
dx
dy
xf ==
La segunda derivada: 22
2
2
4
1
2
1
*
2
1
)(''
xx
ee
dx
yd
xf ===
La tercera derivada: 22
3
3
8
1
2
1
*
4
1
)('''
xx
ee
dx
yd
xf ===
Se puede observar que la función al derivarla se conserva, solo cambia el coeficiente en el cual,
para la primera derivada es de la forma 1
2
1
para la segunda derivada es de la forma 2
2
1
el de la
tercera 3
2
1
. Se puede generalizar que para la n-ésima derivada será de la forma: n
2
1

155
Así la n-ésima derivada de la función será: 2
)(
)(
)(
2
1
)(
x
nn
n
n
e
dx
yd
xf ==
Lección 39: Derivada de Funciones Trigonométricas Inversas
En el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica se analizó lo referente a las
funciones inversas, entre estas las funciones trigonometrías inversas. Con estos
conocimientos previos, podemos analizar las derivadas de este tipo de funciones.
Una reflexión, ¿Cuáles son las funciones que tienen inversa?
1. Derivada de Función Arcsen: y = Sen-1
(x)
Demostración:
Partimos por definir )()(1
ysenxxSeny =⇒= −
En seguida derivamos a ambos lados respecto a x:
.
)cos(
1
)cos(1
ydx
dy
y
dx
dy
=⇒=
La derivada se debe expresar en función de x, luego debemos hacer una transformación
matemática, veamos: Como )(1)cos(1)(cos)( 222
ysenyyysen −=⇒=+ a su vez ,)( xysen =
entonces 2
1)cos( xy −=
Finalmente:
2
1
1
)cos(
1
xydx
dy
−
==
2. Derivada de Función Arcos: y = Cos-1
(x)
)(Seny
-1
x=
Dada la función f(x) = Sen-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo (-1, 1).
Entonces: 2
1
1
)('
xdx
dy
xf
−
==
Dada la función f(x) = Cos-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo (-1, 1).
Entonces: 2
1
1
)('
xdx
dy
xf
−
−==

156
Demostración:
Por definición )cos()(1
yxxCosy =⇒= −
.
)(
1
)(1
ysendx
dy
ysen
dx
dy
−=⇒−=
De igual manera que el caso anterior, la derivada se debe expresar en función de x, luego
hacemos la transformación matemática.
Como )(cos1)(1)(cos)( 222
yysenyysen −=⇒=+ a su vez ,)cos( xy = entonces 2
1)( xysen −=
Finalmente:
2
1
1
)(
1
xysendx
dy
−
−=−=
3. Derivada de Función Arctan: y = Tan-1
(x)
Demostración:
A partir de ).tan()(1
yxxTany =⇒= −
.
)(sec
1
)(sec1 2
2
ydx
dy
y
dx
dy
=⇒=
Por identidades trigonométricas. )(sec1)(tan 22
yy =+ A su vez ,)tan( xy = entonces
1)(sec 22
+= xy
Finalmente:
1
1
2
+
=
xdx
dy
Así queda demostrado la derivada de la función arctan(x).
4. Derivada de Función Arccot: y = Cot-1
(x)
Dada la función f(x) = Tan-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo (-α, α).
Entonces: 2
1
1
)('
xdx
dy
xf
+
==
Dada la función f(x) = Cot-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo (-α, α).
Entonces: 2
1
1
)('
xdx
dy
xf
+
−==

157
Demostración:
Se deja como ejercicio para desarrollar en le grupo colaborativo, cualquier duda por favor
consultar con el Tutor.
5. Derivada de Función Arcsec: y = Sec-1
(x)
Demostración:
A partir de )sec()(1
yxxSecy =⇒= −
.
)tan()sec(
1
)tan()sec(1
yydx
dy
yy
dx
dy
=⇒= Como ,1>x además; sec(y)tan(y) es diferente de cero.
Por identidades trigonométricas. .1)(sec)(tan 22
−= yy A su vez ,)sec( xy = entonces
1*)tan(*)sec( 2
−= xxyy
Finalmente:
1
1
2
−
=
xxdx
dy
Así queda demostrado la derivada de la función arcsec(x).
6. Derivada de Función Arccsc: y = Csc-1
(x)
Demostración:
Se deja como ejercicio.
GENERALIZACIÓN:
En muchas ocasiones la variable a su vez es función de otra variable; es decir, se presenta
funciones compuestas. De esta manera se puede hacer una generalización.
Dada la función f(x) = Sec-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo 1>x .
Entonces:
1
1
)('
2
−
==
xxdx
dy
xf
Dada la función f(x) = Csc-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo 1>x .
Entonces:
1
1
)('
2
−
−==
xxdx
dy
xf

158
FUNCIÓN DERIVADA
f(x) = Sen-1
(u). Para u = f(x)
dx
du
udx
dy
xf *
1
1
)('
2
−
==
f(x) = Cos-1
(u). Para u = f(x) dx
du
udx
dy
xf *
1
1
)('
2
−
−==
… …
f(x) = Tan-1
(u). Para u = f(x)
dx
du
udx
dy
xf *
1
1
)(' 2
+
==
Hacer el análisis para las tres funciones restantes.
Ejemplo 120:
Dada la función )4()( 1
xSenxf −
= hallar la derivada de f(x).
Solución:
Sea f(u) = Sen-1
(u) y u = 4x. Por la regla de la cadena:
22
161
4
4*
)4(1
1
*)('
xxdx
du
du
dy
dx
dy
xf
−
=
−
===
Ejemplo 121:
Dada la función )10()12()( 1
xsenxSenxf += −
hallar la derivada de f(x).
Solución:
Se trata de la suma de dos funciones, una trigonométrica inversa y la otra función
trigonométrica. Entonces derivamos Sen-1
(12x) utilizando regla de la cadena; es decir, la

159
derivada externa por la derivada interna. Así su derivada es: 12*
1441
1
2
x−
De igual manera
para la otra función.
Finalmente: )10cos(10
1441
12
)('
2
x
xdx
dy
xf +
−
==
Ejemplo 122:
Dada la función )42()( 21
+= −
xCosxf hallar la derivada de f(x).
Solución:
Sea f(u) = Cos-1
(u) y u = 2x2
+ 4. Por la regla de la cadena:
4422
41615
4
161641
4
)4(*
)42(1
1
*)('
xx
x
xx
x
x
xdx
du
du
dy
dx
dy
xf
−−−
−=
−−−
−=
+−
−===
Factorizando el signo obtenemos:
44
41615
4
41615
4
)('
xx
x
xx
x
xf
++
=
++−
−==
Ejemplo 123:
Dada la función )()( 1071 −−
= t
eTantf hallar la derivada de f(t).
Solución:
Sea f(u) = Tan-1
(u) y u =ev
y v = 7t – 10
Por la regla de la cadena: )7(**
1
1
**)(' 2
v
e
udx
dv
dv
du
du
dy
dt
dy
tf
+
===
Reemplazando y ordenando: 2014
107
1
7
)(' −
−
+
== t
t
e
e
dt
dy
tf
Ejemplo 124:
Dada la función [ ])715()( 21
xxsenSecxp += −
hallar la derivada de p(x).
Solución:
Sea p(u) = Sec-1
(u) y u =sen(v) y v = 15x2
+ 7x. Entonces:

160
)730(*)cos(*
1
1
**)('
2
+
−
=== xv
uudx
dv
dv
du
du
dp
dx
dp
xp
Reemplazando:
( ) ( )
)730(*)715cos(*
1715715
1
)(' 2
222
++
−++
== xxx
xxsenxxsendx
dp
xp
Organizando, se obtiene finalmente:
( ) ( ) 1715715
)715cos()730(
)('
222
2
−++
++
==
xxsenxxsen
xxx
dx
dp
xp
Lección 40: Derivada de Funciones Hiperbólicas Inversas:
1. Derivada de Función Arcsenh: y = Senh-1
(x)
Demostración:
Partimos por definir )()(1
ysenhxxSenhy =⇒= −
En seguida derivamos a ambos lados respecto
a x: .
)cosh(
1
)cosh(1
ydx
dy
y
dx
dy
=⇒=
La derivada se debe expresar en función de x, luego debemos hacer una transformación
matemática tenemos: 1)()cosh( 2
+= ysenhy a su vez ,)( xysenh = entonces 1)cosh( 2
+= xy
Finalmente:
1
1
)cos(
1
2
+
==
xydx
dy
Recordemos que senh(x) es una función inyectiva, por lo cual es invertible.
Dada la función f(x) = Senh-1
(x) Donde f(x) es derivable en el intervalo de
definición, Entonces:
1
1
)('
2
+
==
xdx
dy
xf
)(Senhy
-1
x=

161
2. Derivada de Función Arccosh: y = Cosh-1
(x)
Demostración:
Por definir )cosh()(1
yxxCoshy =⇒= −
.
)(
1
)(1
ysenhdx
dy
ysenh
dx
dy
=⇒=
La derivada se debe expresar en función de x, luego: 1)(cosh)( 2
−= yysenh a su vez ,)cosh( xy =
entonces 1)( 2
−= xysenh
Finalmente:
1
1
)(
1
2
−
==
xysendx
dy
3. Derivada de Función Arctanh: y = Tanh-1
(x)
Demostración:
Como )tanh()(1
yxxTanhy =⇒= −
.
)(sec
1
)(sec1 2
2
yhdx
dy
yh
dx
dy
=⇒= Pero )(tanh1)(sec 22
xxh −= y )tanh(yx =
Dada la función f(x) = Cosh-1
(x) Como la función NO es inyectiva, entonces
debemos restringir le dominio a x ≥ 0 y y ≥ 1, Entonces:
1
1
)('
2
−
==
xdx
dy
xf Para 1>x
Dada la función f(x) = Tanh-1
(x) Como la función es creciente, por consiguiente
es inyectiva, entonces: 2
1
1
)('
xdx
dy
xf
−
== Para 1<x

162
Reemplazando: 22
1
1
)(sec
1
xyhdx
dy
−
==
4. Derivada de Función Arccoth: y = Coth-1
(x)
Demostración:
Como ejercicios en el grupo colaborativo.
5. Derivada de Función Arcsech: y = Sech-1
(x)
Demostración:
6. Derivada de Función Arccsch: y = Csch-1
(x)
Demostración:
Dada la función f(x) = Coth-1
(x) Para 1>x Entonces: 2
1
1
)('
xdx
dy
xf
−
==
Para 1>x
Dada la función f(x) = Sech-1
(x) Entonces: 2
1
1
)('
xxdx
dy
xf
−
−==
Dada la función f(x) = Csch-1
(x) Entonces: 2
1
1
)('
xxdx
dy
xf
+
−==

258
BIBLIOGRAFÍA
BAUM, Alan, MILLES, Stephen, SCHULTZ, Henry. Cálculo Aplicado. Limusa, México, 1992.
DE BURGOS, Juan. Cálculo Infinitesimal de Una Variable. Mc Graw Hill. Madrid, 2.007
LARSON, Ronald, HOSTETLER, Robert. Cálculo Vol. 1, Mc Graw Hill, sexta edición, México,
1.998.
LEYTOLD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Harla, México, 1.987.
PITA, Claudio. Cálculo de una Variable, Prentice hall, Única Edición, México, 1.998
PURCELL, Edwin y Otros. Cálculo, Prentice hall, Octava Edición, México, 2.001
RONDON, Jorge Eliecer. Calculo Integral. Primera edición, UNAD Ciencias básicas 2007
SMITH, Robert y MINTON, Ronald. Cálculo Vol. 1. Mc Graw Hill, Bogotá. 2000.
STEWART, James, Cálculo de una Variable. Thomsom-Learning. Cuarta edición, Bogotá, 2001.
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Addison Wesley Iberoamericana. México, 1987.
CIBERGRAFÍA
http://www.acienciasgalilei.com/videos/4matematicas.htm
http://www.math2.org/math/derivatives/es-identities.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/25-1-u-derivadas.html
http://webs.ono.com/usr011/siglo21/derivadas.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F1_Tabla_Derivadas.htm
http://soko.com.ar/matem/matematica/Derivada.htm
http://enciclopedia.us.es/index.php/Derivada
http://148.216.10.84/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm
http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-4.html
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Autoformacion/Archivos_comunes/Tangente_a_una_curva.
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