Los métodos de Runge-Kutta logran una exactitud del procedimiento de una serie de Taylor, sin requerir el cálculo de derivadas superiores.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Autor: Jairo Daniel Escalona Silva
Docente: Prof. Domingo Méndez
Asignatura: Análisis Numérico
BARQUISIMETO, SEPTIEMBRE 2019

2. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Los métodos de Runge-Kutta logran una exactitud del procedimiento de
una serie de Taylor, sin requerir el cálculo de derivadas superiores.
Probablemente uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez
más exactos, para obtener la solución numérica del problema de valor
inicial: 𝑦´ = 𝑓(𝑡, 𝑦), con 𝑦(𝑡𝑜) = 𝑦𝑜, sea el método de Runge-Kutta de
cuarto orden.
Los métodos de Runge-Kutta de cualquier orden se deducen mediante
el desarrollo de la serie de Taylor de la función 𝑓(𝑡, 𝑦). Existen muchas
variaciones, las cuales tienen la forma:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ (𝑎1 𝑘1 + 𝑎2 𝑘2+. . . + 𝑎 𝑛 𝑘 𝑛),
donde las 𝑎𝑖 son constantes y las k son:
𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓(𝑡𝑖 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞11 𝑘1ℎ)
𝑘3 = 𝑓(𝑡𝑖 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞21 𝑘1ℎ + 𝑞22 𝑘2ℎ)
...
𝑘 𝑛 = 𝑓(𝑡𝑖 + 𝑝 𝑛−1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞 𝑛−1,1 𝑘1ℎ + 𝑞 𝑛−1,2 𝑘2ℎ + ⋯ + 𝑞 𝑛−1,𝑛−1 𝑘 𝑛−1ℎ)
Notamos que los k son relaciones recursivas, es decir, para determinar
𝑘2, necesitamos 𝑘1; para determinar 𝑘3 se necesita 𝑘2, etc.
En esta sección nos limitamos a describir uno de los métodos de tipo
Runge-Kutta más utilizados en la práctica y cuyo orden de convergencia es
4 (lo que equivaldría a utilizar un método basado en el desarrollo de Taylor
hasta ℎ4
). Este método suele denominarse método de Runge-Kutta clásico.
El método se describe como sigue:
𝑦0 = 𝑦(𝑎)
Para 𝑘 = 0,1, …
𝑦 𝑘+1 = 𝑦 𝑘 +
ℎ
6
(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
donde las cantidades 𝑘𝑖 se calculan de forma sucesiva como sigue:

3. 𝑘1 = 𝑓(𝑥 𝑘, 𝑦 𝑘)
𝑘2 = 𝑓(𝑥 𝑘 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑘 +
ℎ
2
𝑘1)
𝑘3 = 𝑓(𝑥 𝑘 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑘 +
ℎ
2
𝑘2)
𝑘4 = 𝑓(𝑥 𝑘 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑘 +
ℎ
2
𝑘3)
Ejemplo:
Se considera el problema de Cauchy o de valores iniciales:
𝑦´ = 𝑥2
𝑦
𝑦(0) = 1 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
Utilizamos el método de Runge-Kutta con paso ℎ = 0,2 e intervalo de
definición de la solución el [0,1]. Comparamos con la solución exacta,
𝑦(𝑥) = 𝑒
𝑥3
3 .
Solución
Valores generados por Runge-Kutta con ℎ = 0,2
𝒌 𝑵𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒙 𝒌 𝒚 𝒌 ≈ 𝒚( 𝒙 𝒌) 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒚( 𝒙 𝒌) 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓𝒆𝒔
0 0 1 1 0
1 0,2 1,00267 1,0026702 −2,23 × 10−7
2 0,4 1,0215621 1,0215625 −4,55 × 10−7
3 0,6 1,0746546 1,0746553 −7,56 × 10−7
4 0,8 1,1860939 1,1860953 −1,46 × 10−6
5 1 1,3956078 1,3956124 −4,58 × 10−6
Solución numérica y exacta del p.v.i.