Una breve descripción de ejercicios resueltos, asignados para la asignatura Optimización de Sistemas y Funciones del 9no Semestre de Ing de Sistemas del IUPSM.

1. EJERCICIOS RESUELTOS. Por Andrea Sequera C.I.:18.553.144
Optimización de Sistemas y Funciones
1) Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (CONCAVIDAD Y
CONVEXIDAD) de la siguiente función:
𝑦 =
𝒙
𝑥2−1
Como primer paso, debo determinar la primera derivada de la función presentada:
𝒚′ =
𝒙′(𝒙 𝟐
− 𝟏) − 𝒙(𝒙 𝟐
− 𝟏)′
(𝒙 𝟐 − 𝟏)′
=
(𝒙 𝟐
− 𝟏) − (𝒙)(𝟐𝒙)
𝟐𝒙
=
(𝒙 𝟐
− 𝟏) − (𝟐𝒙 𝟐
)
𝟐𝒙
=
−𝒙 𝟐
− 𝟏
𝟐𝒙
Luego de obtener la primera derivada, se vuelve a derivar, es decir, busco la segunda
derivada:
𝒚′′
=
(−𝒙 𝟐
− 𝟏)′(𝟐𝒙) − (−𝒙 𝟐
− 𝟏)(𝟐𝒙)′
(𝟐𝒙)′
=
(−𝟐𝒙)(𝟐𝒙) − (−𝒙 𝟐
− 𝟏)(𝟐)
𝟐
𝒚′′
=
−𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟐
𝟐
=
−𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟐
𝟐
Ahora, la segunda derivada obtenida, se igualará a cero, con la intención de conseguir el valor
de x en la ecuación:
0 =
−𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟐
𝟐
𝑥2
+ 2 =
2
−2
= 0
𝑥2
= −2  −𝑥 = 2  𝑥 = − 2
𝑥 = − 2 = 1,41
(En este caso, por redondeo, tomando sólo dos decimales)

2. Ahora, para el cálculo de y, sustituyo a
−𝟐𝒙 𝟐+𝟐
𝟐
en la función original:
𝒚 =
𝒙
𝒙 𝟐−𝟏
 𝒚 =
− 2
(− 2) 𝟐−𝟏
 𝒚 =
− 2
(−𝟐)−𝟏
 𝒚 =
− 2
𝟐
= −𝟎, 𝟕𝟏
Las Coordenadas del punto de inflexión son: (− 2,
− 2
𝟐
) ó (1,41, −𝟎, 𝟕𝟏)
Seguidamente, para determinar los intervalos de concavidad se necesita el valor de x en el
punto de inflexión y a la segunda derivada:
𝑦′′
=
−𝟐𝒙 𝟐
+𝟐
𝟐
Tomo, por ejemplo el valor 2
𝑦′′
=
−𝟐(𝟐) 𝟐
+𝟐
𝟐
=
−4
2
 𝑦′′
= −2
Como este resultado es negativo significa que desde 1,41 a 2 será cóncavo hacia abajo.
𝑦′′
=
−𝟐𝒙 𝟐
+𝟐
𝟐
Tomo, por ejemplo el valor 0
𝑦′′
=
−𝟐(𝟎) 𝟐
+𝟐
𝟐
=
2
2
 𝑦′′
= +1
En el intervalo 0 a 1,41 será cóncavo hacia arriba por dar valor positivo.
Esta sustitución con valores al azar es para que los signos determinen hacia donde abre la
curva a partir del punto de inflexión, es decir, para conocer la concavidad.
y
0
x
1,41 2

3. EJERCICIOS RESUELTOS. Por Andrea Sequera C.I.:18.553.144
Optimización de Sistemas y Funciones
2) Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD)
de la siguiente función:
𝑦 =
𝟑𝒙
𝑥2+1
Repito el primer paso del ejercicio anterior, debo determinar la primera derivada:
𝒚′ =
(𝟑𝒙)′
(𝒙 𝟐
+ 𝟏) − (𝟑𝒙)(𝒙 𝟐
+ 𝟏)′
(𝒙 𝟐 + 𝟏)′
=
(𝟑)(𝒙 𝟑
+ 𝟏) − (𝟑𝒙)(𝟐𝒙)
𝟐𝒙
=
𝟑𝒙 𝟑
+ 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐
𝟐𝒙
Luego busco la segunda derivada:
𝒚′′
=
(𝟑𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟑)′(𝟐𝒙) − (𝟑𝒙 𝟑
+ 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐)(𝟐𝒙)′
(𝟐𝒙)′
=
(𝟗𝒙 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙)(𝟐𝒙) − (𝟑𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟑)(𝟐)
𝟐
𝒚′′
= 𝟏𝟖𝒙 𝟑
− 𝟐𝟒𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 𝟑
+ 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟑
𝒚′′
= 𝟏𝟓𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑
Ahora, igualo a cero, con la intención de conseguir el valor de x en la ecuación de grado 3:
𝟏𝟓𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 = 𝟎
𝟓𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
15 18 0 -3
-1 -15 -3 3
15 3 -3 0
Decimos que para la ecuación el valor de una de las x es igual a -1.

4. Entonces, (𝑥 + 1)(3 𝑥2
− 3) donde:
𝟏𝟓𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 = 𝟎
𝟏𝟓(−𝟏) 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 = 𝟎
−𝟏𝟓 − 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 = 𝟎
−𝟏𝟖𝒙 𝟐
= 𝟏𝟓 + 𝟑
𝒙 𝟐
=
𝟏𝟖
−𝟏𝟖
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟏
Ahora, para el cálculo de y, sustituyo a 𝟏𝟓𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 en la función original:
𝒚 =
𝟑𝒙
𝒙 𝟐+𝟏
 𝒚 =
𝟑(𝟏)
(𝟏) 𝟐+𝟏
 𝒚 =
𝟑
𝟐
Las coordenadas del Punto de inflexión: 1,
3
2
;
Se determinan los intervalos de concavidad, para esto se necesita el valor de x en el punto de
inflexión y a la segunda derivada:
𝑦′′
= 𝟏𝟓𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 Tomo, por ejemplo el valor 5
𝑦′′
= 𝟏𝟓(𝟓) 𝟑
− 𝟏𝟖( 𝟓) 𝟐
− 𝟑  𝑦′′
= +𝟏𝟒𝟐𝟐
Como este resultado es positivo significa que desde 1 a 5 será cóncavo hacia arriba.
𝑦′′
= 𝟏𝟓𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 𝟐
− 𝟑 Tomo, por ejemplo el valor -1
𝑦′′
= 𝟏𝟓(−𝟏) 𝟑
− 𝟏𝟖(−𝟏) 𝟐
− 𝟑  𝑦′′
= −𝟑𝟔
En el intervalo -1 a 1 será cóncavo hacia abajo por dar valor negativo.
Se da a conocer la concavidad.
-1 1 5

5. EJERCICIOS RESUELTOS. Por Andrea Sequera C.I.:18.553.144
Optimización de Sistemas y Funciones
3) Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD) de
la siguiente función:
𝑦 = 𝑥3
− 9𝑥2
+ 27𝑥 − 26
Determino la primera derivada:
𝒚′ = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟕
Luego determino la segunda derivada:
𝒚′′ = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟖
Ahora igualo a cero:
𝟒𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎
𝟒𝒙 = 𝟏𝟖
𝒙 =
𝟏𝟖
𝟒
𝒙 =
𝟗
𝟐
Ahora, en la función original calculo a y:
𝒚 = 𝒙 𝟑
− 𝟗𝒙 𝟐
+ 𝟐𝟕𝒙 − 𝟐𝟔
𝒚 = (
𝟗
𝟐
) 𝟑
− 𝟗 (
𝟗
𝟐
)
𝟐
+ 𝟐𝟕(
𝟗
𝟐
) − 𝟐𝟔
𝒚 =
𝟕𝟐𝟗
𝟖
−
𝟕𝟐𝟗
𝟒
+
𝟐𝟒𝟑
𝟐
− 𝟐𝟔
𝒚 =
𝟑𝟓
𝟖

6. Las coordenadas del punto de inflexión son:
9
2
,
35
8
Ahora los intervalos de concavidad
𝑦′′
= 𝟒𝒙 − 𝟏𝟖 Tomo, por ejemplo el valor 3
𝑦′′
= 𝟒(𝟑) − 𝟏𝟖  𝑦′′
= −𝟔
El signo es Negativo significa que desde
9
2
a 3 será cóncavo hacia abajo.
𝑦′′
= 𝟒𝒙 − 𝟏𝟖 Tomo, por ejemplo el valor 5
𝑦′′
= 𝟒(𝟓) − 𝟏𝟖  𝑦′′
= +𝟐
El signo es positivo significa que en el intervalo
35
8
a 5 será cóncavo hacia arriba.
y
x
3 4,5 5

7. EJERCICIOS RESUELTOS. Por Andrea Sequera C.I.:18.553.144
Optimización de Sistemas y Funciones
4) Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD) de
la siguiente función:
𝑦 = −𝑥3
+ 3𝑥2
− 2
Determino la primera derivada:
𝒚′ = −𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙
Determino la segunda derivada:
𝒚′′ = −𝟔𝒙 + 𝟔
Ahora igualo a cero:
−𝟔𝒙 + 𝟔 = 𝟎
−𝟔𝒙 = −𝟔
𝒙 =
−𝟔
−𝟔
𝒙 = 𝟏
Ahora, en la función original calculo a y:
𝒚 = −𝒙 𝟑
+ 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟐
𝒚 = (𝟏) 𝟑
+ 𝟑(𝟏) 𝟐
− 𝟐
𝒚 = 𝟏 + 𝟑 − 𝟐
𝒚 = 𝟐
Las coordenadas del punto de inflexión son: (1,2)

8. Ahora los intervalos de concavidad
𝑦′′
= −𝟔𝒙 + 𝟔 Tomo, por ejemplo el valor -1
𝑦′′
= −𝟔(−𝟏) + 𝟔  𝑦′′
= +𝟏𝟐
El signo es positivo por lo que desde −1 a 1 será cóncavo hacia arriba.
𝑦′′
= −𝟔𝒙 + 𝟔 Tomo, por ejemplo el valor 2
𝑦′′
= −𝟔(𝟐) + 𝟔 𝑦′′
= −𝟔
El signo es negativo significa que en el intervalo 1 a 2 será cóncavo hacia arriba.
-1 1 2