1. HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo
diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama
de las matemáticas,
a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones
diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en
sí mismo.
Ya Newton (los creadores del calculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton)
observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, en
particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que
esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración
estándar actual usa el teorema del valor medio). Los matemáticos de la época con
frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de
una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la
velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición,
por tanto, permanece constante.
En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo
año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del
triangulo característico.
En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta
una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó
catenaria (del
latín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que
Huygens probó que esto no era correcto.
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes.
La de
Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica:
Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos
a la
misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea ȡ la densidad del cable. Sea y =
y(x) la
función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la
altura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras, y0(0) = 0).
La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvo
dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de
orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales
de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre
otras cosas. La etapa
siguiente (1820) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes
importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857);
los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.

2. A continuación encontramos algunos autores que hicieron aportes valiosos a las
ecuaciones diferenciales:
Niels Abel
El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones
integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de
quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel
Daniel Bernoulli
El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos
(principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la
cuerda vibrante).
Jacques Bernoulli
Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría,
astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona.
La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta
independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria)
Jean Bernoulli
Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias
ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el
problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques).
Introdujo la idea del factor integrante.
Friedrich Bessel
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía,
calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817
estudió el trabajo de Kepler.
Augustin Cauchy
El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de
probabilidades, cálculo de variaciones, óptica, astronomía, mecánica, elasticidad,
análisis matemático. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a
las ecuaciones diferenciales.
Pafnuti Chebyshev

3. El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshev (1821-1894) trabaja en teoría de números
(números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshev.
Alexis Clairaut
El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría,
establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el
problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa
Halley.
Jean D¶Alembert
El francés Jean le Rond D¶Alembert (1717-1783) hace aportes a la mecánica
incluyendo el problema de la cuerda vibrante. Dinámica de fluidos, ecuaciones
diferenciales parciales.
Peter Dirchlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de
números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la
convergencia de las series de Fourier.
Leonhard Euler
Leonhard Euler (1707-1783), suizo, fue el más prolífico de los matemáticos del
siglo XVIII a pesar de sus impedimentos físicos (perdió un ojo en 1735 y quedó
totalmente ciego en 1768), hace aportes a la mecánica, análisis matemático, teoría
de números, geometría, dinámica de fluidos, astronomía, óptica, desarrolló (1739)
la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, identidades de Euler, inventó la
función gamma.
Joseph Fourier
El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de
Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a
Napoleón en la campaña de Egipto (1798).
Ferdinand Frobenius
El alemán Ferdinand George Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series
para resolver ecuaciones diferenciales; aportes en álgebra y teoría de grupos.
Karl Gauss

4. El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos
del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y
magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.
George Green
El inglés George Green (1793-1841) hace aportes a la física matemática, óptica,
electricidad y magnetismo, originó el término ³potencial´, función de Green.
Oliver Heaviside
El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo, sugirió
la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos
operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.
Charles Hermite
El francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números, prueba
(1873) la trascendencia de e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.
David Hilbert
Matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra,
ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso
muchos problemas, algunos todavía sin solución.
Christian Huygens
Matemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudia
vibraciones, óptica, teoría matemática de ondas. Construye un reloj de péndulo
basado en la cicloide (1673), astronomía.
Johannes Kepler
El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría,
especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes
del movimiento planetario.
Joseph Lagrange
El francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fue uno de los grandes
matemáticos del siglo XVIII. Establece la mecánica analítica, incluyendo el
problema de los 3 cuerpos, acústica, cálculo de variaciones, teoría de números,
método de variación de parámetros (1774), ecuación adjunta, álgebra (teoría de
grupos), ecuaciones diferenciales parciales.

5. Edmond Laguerre
El francés Edmond Laguerre (1834-1886) hace aportes al análisis matemático,
variable compleja, funciones analíticas, polinomios de Laguerre.
Pierre de Laplace
El francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hace aportes a la mecánica,
astronomía, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de Laplace descubierta
alrededor de 1787, probabilidad.
Adrien Legendre
El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hace aportes en teoría de números,
funciones elípticas, astronomía, geometría, funciones de Legendre.
Gottfried Leibniz
El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el codescubridor, con
Newton, del cálculo. Análisis matemático, lógica, filosofía, regla de Leibniz,
primero en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, separables,
homogéneas y lineales.
Joseph Liouville
El francés Joseph Liouville (1809-1882) estudia la teoría de números (números
trascendentes), variable compleja, problemas de Sturm-Liouville. Ecuaciones
integrales.
Isaac Newton
El inglés Isaac Newton (1642-1727) fue codescubridor del cálculo junto a Leibniz.
Hace aportes a la mecánica, leyes del movimiento y ley de gravitación universal,
flujo de calor, óptica, análisis matemático, métodos de series para resolver
ecuaciones diferenciales (1671).
Marc Parseval
El francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hace aportes al análisis
matemático, identidad de Parseval en conexión con la teoría de las series de
Fourier.
Charles Picard

6. El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría
algebraica, topología, variable compleja, método de Picard y teoremas de
existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales.
Henri Poincaré
El francés Jules Henri Poincaré (1858-1912) hace aportes a las ecuaciones
diferenciales no lineales y estabilidad; topología, mecánica celeste incluyendo el
problema de los 3 cuerpos, geometría no euclideana, filosofía de la ciencia.
Simeón Poisson
El francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hace
aportes a la electricidad y el magnetismo, ecuación de Poisson, fórmula de
Poisson, probabilidad, cálculo de variaciones, astronomía.
Jacopo Riccati
El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis
matemático, ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros
miembros más jóvenes de su familia.
Bernhard Riemann
El alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más
grandes matemáticos del siglo XIX (alumno de Gauss, Jacobi y Dirichlet). Variable
compleja, geometría no euclideana, funciones elípticas, ecuaciones diferenciales
parciales.
Olinde Rodríguez
Matemático francés, Olinde Rodríguez (1794-1851) hace aportes al análisis
matemático, fórmula de Rodríguez.
Hermann Schwarz
El alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudia cálculo de
variaciones, teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales,
desigualdad de Schwarz.
Jacques Sturm
El suizo Jacques Charles François Sturm hace aportes al álgebra (número de
raíces reales de ecuaciones algebraicas), geometría, mecánica de fluidos,
acústica, problemas de Sturm-Liouville.

7. Brook Taylor
El inglés Brook Taylor (1685-1731) hace aportes al análisis matemático, método
de series de Taylor, soluciones singulares, vibraciones de resortes, movimiento de
proyectiles, óptica.
Hoene Wronski
Matemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia determinantes,
introduce el wronskiano, filosofía.
DEFINICIÓN Y CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes
con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y
linealidad.
Según su tipo si una solo contiene derivadas ordinarias de una o mas variables
dependientes con respecto a una variable independiente, entonces se dice que es
una ecuación diferencial ordinaria.
Según su orden el orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas
parciales) es el de mayor orden en la ecuación. Es una ecuación ordinaria de
segundo orden. A veces, las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
se escriben en la forma diferencial ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ݀‫ݕ‬ ൅ ܰሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ݀‫ݔ‬ ൌ Ͳ.
Según la linealidad se dice que una ecuación diferencial como la es lineal si F es
lineal en ‫ݕ‬ǡ ‫ݕ‬Ʋǡ ǥǡ ‫ݕ‬ሺ௡ିଵሻ
. Esto quiere decir q una ecuación diferencial de orden ݊ es
lineal cuando la ecuación es ܽ௡ሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬ሺ௡ሻ
൅ܽ௡ሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬ሺ௡ିଵሻ
൅ǥ ൅ ܽଵሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬Ʋ ൅ܽ଴ሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬ െ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Ͳ.

8. BIBLIOGRFIA
y es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_ecuaciones_diferenciales
y personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/histed.pdf
y Ecuaciones diferenciales de denis zill ± séptima edición
y mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/l841-00.pdf

9. RESUMEN DE ECUACIONES
YEHIDER ENRIQUE CASTRO GONZALEZ
POFESOR
ECUACIONES DIFERENCIALES
FUNDACION UNIVERSITARIA TECNOLOGICO COMFENALCO
PRODUCCION INDUSTRIAL IV
2010-02-09