1) La electrostática estudia los efectos de las cargas eléctricas en reposo y los campos eléctricos estáticos. 2) Los dos postulados fundamentales de la electrostática especifican que los campos eléctricos estáticos son irrotacionales e irsolenoidales a menos que haya corriente de desplazamiento. 3) La ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el

1. CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS
La electrostática es el estudio de los efectos de las cargas
eléctricas en reposo y de los campos eléctricos que no cambian en el
tiempo. Aplicaciones: relámpagos - efecto corona - osciloscopio -
impresoras de chorro de tinta - teclados de efecto capacitivo.
Postulados Fundamentales de la Electrostática en el Espacio Libre
La intensidad de campo eléctrico E se define como la fuerza por
unidad de carga que experimenta una carga de prueba estacionaria al
colocarse en una región donde existe un campo eléctrico.
F
E = lim → F = q·E
q →0 q
Si la fuerza se mide en N y la carga en C, el campo eléctrico
queda expresado en V/m.
Los dos postulados fundamentales de la electrostática en el
espacio libre especifican que:
a) Los campos eléctricos estáticos no son solenoidales a menos
que ρ v = 0
ρv
∇·E =
εo
b) Los campos eléctricos estáticos son irrotacionales
∇×E =0
a y b son relaciones puntuales que se aplican en todos los puntos
del espacio. Son la forma diferencial de los postulados de la
electrostática, obtenidas como caso particular de las ecuaciones de
Maxwell.

2. Ley de Coulomb
Una carga puntual no tiene direcciones preferenciales. Su campo
eléctrico debe ser radial en todas partes y tener la misma intensidad en
todos los puntos de una superficie esférica con centro en la carga.
a) Campo electrostático de una carga puntual en el origen.
Aplicando la ley de Gauss
Q
∫ E·ds =∫ (arˆErˆ)·arˆds = ε
S S
0
Q
Er ∫ E·ds = Er ( 4π ·r 2 ) =
S ε0
Por lo tanto:
ˆ
ar q
E = arEr =
ˆ
4πε 0 r 2
b) Campo electrostático de una carga puntual fuera del origen
R’= vector posición de q
R = vector posición de P
q
E p = a qP 2
4πε 0 R − R '
R − R'
a qP =
R − R'
q( R − R' )
EP = 3
4πε 0 R − R '

3. Cuando se coloca una carga puntual q 2 en el campo creado por
otra carga puntual q 1 , q 2 experimenta una fuerza.
q1 q 2
Ley de Coulomb. F12 = q 2 E12 =
4πε 0 R12
2
Ley de Gauss
Integrando a) m.a.m.
1
∫∇ ρdv
ε ∫
.Edv = v
V
0
Y aplicando el teorema de la divergencia resulta
Q
∫Eds =ε 0
Donde Q es la carga total en el volumen V limitado por S. Es la
ley de Gauss.
La ley de Gauss establece que el flujo de salida total del campo
E a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre, es igual a
la carga total encerrada en la superficie dividida por ε 0 .
Observamos que la superficie S puede ser cualquier superficie
cerrada hipotética (matemática) elegida por conveniencia; no tiene
porque ser una superficie física.
Potencial eléctrico
El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar
una fuerza eléctrica (ley de Coulomb) para mover una carga positiva q
desde la referencia (en el caso de la carga puntual el infinito) hasta ese
punto, dividido por dicha carga. Dicho de otra forma, es el trabajo que
debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde

4. la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza
eléctrica, dividido por esa carga. Matemáticamente se expresa por:
V=W/q
Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede
utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de
prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energía
potencial electrostática mutua es:
De manera equivalente, el potencial eléctrico es =
Medios Materiales en un Campo Eléctrico Estático
Conductores
Un medio conductor es un material en el que los portadores de
carga poseen libertad de moverse en su interior, en respuesta a campos
eléctricos. Un conductor perfecto o ideal es un conductor en que los
portadores de carga se moverán en respuesta a cualquier campo
eléctrico, por pequeño que éste sea (gran movilidad).
Nos interesa, por ahora, estudiar el comportamiento de los
medios conductores en presencia de campos eléctricos estáticos. El
primer resultado de importancia es que el campo eléctrico en el interior
de un conductor es cero.
En efecto, supongamos que producimos una inhomogeneidad en
la distribución de carga en el interior de un conductor. Inicialmente,
las cargas en el interior se moverán en respuesta al campo eléctrico
presente y lo seguirán haciendo mientras sea distinto de cero, por lo
tanto, el equilibrio se alcanzará sólo cuando en el interior del
conductor. Cuando se alcance tal situación de equilibrio,
necesariamente, no habrá carga neta en el interior del conductor; por lo
tanto si hay una carga neta en el conductor, ésta residirá en su
superficie.

5. Conductores son todos aquellos materiales o elementos que
permiten que los atraviese el flujo de la corriente o de cargas eléctricas
en movimiento. Si establecemos la analogía con una tubería que
contenga líquido, el conductor sería la tubería y el líquido el medio
que permite el movimiento de las cargas.
Cuando se aplica una diferencia de potencial a los extremos de
un trozo de metal, se establece de inmediato un flujo de corriente, pues
los electrones o cargas eléctricas de los átomos que forman las
moléculas del metal, comienzan a moverse de inmediato empujados por
la presión que sobre ellos ejerce la tensión o voltaje.Esa presión
procedente de una fuente de fuerza electromotriz (FEM) cualquiera
(batería, generador, etc.) es la que hace posible que se establezca un
flujo de corriente eléctrica a través del metal.
Semiconductor
Un semiconductor es una sustancia que se comporta como
conductor o como aislante dependiendo de la temperatura del ambiente
en el que se encuentre. Los elementos químicos semiconductores de la
tabla periódica se indican en la tabla siguiente.
El elemento semiconductor más usado es el silicio, aunque
idéntico comportamiento presentan las combinaciones de elementos de
los grupos II y III con los de los grupos VI y V respectivamente
(AsGa, PIn, AsGaAl, TeCd, SeCd y SCd). De un tiempo a esta parte se
ha comenzado a emplear también el azufre. La característica común a
todos ellos es que son tetravalentes, teniendo el silicio una
configuración electrónica s²p².
Aislantes
Un sólido es aislante cuando su banda de valencia se encuentra
totalmente ocupada y existe una gran separación energética entre ésta y
la banda de conducción. Esta separación energética entre ambas bandas
suele ser mayor de 3.0 eV para que la sustancia se considere un
aislante. Un buen ejemplo de material aislante es el diamante cuya
diferencia entre bandas es de 5.47 eV.
Los materiales aislantes son utilizados para separar conductores
eléctricos y así evitar cortocircuitos y mantener apartar a los usuarios
de las partes de los sistemas eléctricos, que de tocarse accidentalmente

6. cuando se encuentran en tensión pueden producir una descarga. Los
materiales aislantes más frecuentemente utilizados son los plásticos y
las cerámicas.
Densidad De Flujo Electrico
Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del
vector campo por el vector superficie Flujo =E•S
El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de
dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.
Cuando el vector campo E y el vector superficie S son
perpendiculares el flujo es cero.
Si la superficie no es plana se divide la superficie en pequeñas
superficies infinitesimalmente pequeñas. Entonces el flujo que
atraviesa a cada una de ellas es infinitesimalmente pequeño y para
hallar el flujo total habrá que valerse de una integral.
Para el caso del flujo del campo eléctrico creado por una carga
puntual situado en el centro de una esfera a través de la superficie de
esta, el campo en todos los puntos de la superficie de la esfera tienen
el mismo valor (están a la misma distancia de la carga), y el vector
normal a la superficie es paralelo)
Condiciones de Frontera para los Campos.
Frecuentemente debemos resolver problemas de campos, en los
cuales se involucran dos (o más) regiones de diferentes materiales, y
en consecuencia con diferentes propiedades de conductividad,
permitividad, permeabilidad, etc. Para resolver problemas de campos
electromagnéticos que involucren una frontera entre dos materiales
diferentes, necesitamos determinar las propiedades transicionales del
campo, en las dos regiones en esta frontera. Estas son conocidas como
condiciones de frontera.

7. Primero consideremos el vector intensidad de campo eléctrico .
En la frontera entre dos medios diferentes, podemos descomponer el
campo eléctrico total E en una componente tangente a la superficie de
la frontera, , y en una componente normal a la superficie de la
frontera, , como se muestra en la figura 2.1:
Figura 2.1 Descomposición de E en sus componentes normal y
tangencial.
Medio 1 .
Medio 2
Ahora consideremos una ruta rectangular pequeña, paralela a una
sección de la superficie, con lados de ancho Dl, paralelos a la
superficie, y lados de longitud Dh, perpendiculares a la superficie,
como se muestra en la Figura 2.1.

8. Si aplicamos la 1er, ecuación de Maxwell ( Ley de Faraday), en
la forma integral a un pequeño contorno , el cual consiste de lados
Dl y Dh, los cuales rodean la superficie plana ,
Ecuación 2.1
obtenemos:
Ecuación 2.2
En el límite cuando Dh® 0, el área de se va a volver
infinitamente pequeña, asi que:
Ecuación 2.3a
Ecuación 2.3b
Puesto que Dl ¹ 0, entonces:
ó Ecuación 2.4
Por lo tanto, las componentes del vector de campo eléctrico que
son tangentes a la superficie de una frontera entre dos materiales,
deben ser continuas (iguales) a través de esa frontera.
De manera similar, consideremos las condiciones de frontera
para el vector densidad de flujo eléctrico .
La ley de Gauss es:
Ecuación 2.5
Para evaluar esta integral en la frontera, construimos una
pequeña superficie gaussiana en forma de caja.

9. Figura 2.2 Superficie Gaussiana para obtener las condiciones de
frontera de las componentes normales.
Conforme la altura de esta caja se aproxima a cero, Dh® 0, sólo
los componentes de D normales a la frontera contribuyen a la Ley de
Gauss:
Ecuación 2.6
dividiendo entre DS
Ecuación 2.7
La cantidad del lado derecho cuando Dh® 0 es simplemente la
distribución de carga libre en la superficie en la frontera:
Ecuación 2.8
Por lo tanto:
Ecuación 2.9
Esta última ecuación se puede interpretar como: "La diferencia
en las componentes del vector D, en la frontera entre la dos regiones,
que son normales a ésta, es igual a la densidad de la carga libre en la
superficie, en esa frontera". Hay que notar que se asume que se

10. aleja de la superficie,y que apunta hacia la superficie. La
interpretación de 2.9, en otras palabras, sería que:
"El fllujo eléctrico neto normal entrando y saliendo de la
superficie es igual a la densidad de carga positiva neta en la
superficie".
Hemos obtenido condiciones de frontera para E tangencial y D
normal, vamos a obtener resultados para E normal y D tangencial.
Substituyendo D = eE en 2.4:
Ecuación 2.10
Ecuación 2.11
De manera similar obtenemos las condiciones de frontera para el
vector densidad de flujo magnético B, por analogía con la densidad de
flujo eléctrico D:
Ecuación 2.12
La cual se puede interpretar como: los componentes del vector
densidad del flujo magnético B, normales a la frontera, son continuos a
través de ésta.
De forma análoga a la obtención de condiciones de frontera para
E, obtenemos las condiciones de frontera para H, aplicando la ley de
Ampere
Ecuación 2.13
cuando Dh® 0
Ecuación 2.14

11. donde K es cualquier densidad de corriente lineal que existe en
la frontera.
Las condiciones de frontera desarrolladas arriba son generales en
el sentido de que no hay restricciones en las propiedades de los dos
medios. Estas condiciones de frontera fueron simplemente una
consecuencia de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, hay
frecuentes e importantes casos que requieren especial atención. La
mayoría de nuestras aplicaciones de condiciones de frontera serán para
estos casos especiales.
Capacidad eléctrica
La capacidad o capacitancia es una propiedad de los
condensadores. Esta propiedad rige la relación existente entre la
diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del
capacitor y la carga eléctrica almacenada en este mediante la siguiente
ecuación:
donde
• C es la capacidad, medida en faradios (en honor al físico
experimental Michael Faraday); esta unidad es relativamente
grande y suelen utilizarse submúltiplos como el microfaradio o
picofaradio.
• Q es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios;
• V es la diferencia de potencial , medida en voltios.
Cabe destacar que la capacidad es siempre una cantidad positiva
y que depende de la geometría del capacitor considerado (de placas
paralelas, cilíndrico, esférico). Otro factor del que depende es del
dieléctrico que se introduzca entre las dos superficies del condensador.
Cuanto mayor sea la constante diléctrica del material no conductor
introducido, mayor es la capacidad.

12. En la práctica, la dinámica eléctrica del condensador se expresa
gracias a la siguiente ecuación diferencial , que se obtiene derivando
respecto al tiempo la ecuación anterior.
Donde i representa la corriente eléctrica, medida en amperios.
Condensador eléctrico
En electricidad y electrónica, un condensador, capacitor o
capacitador es un dispositivo que almacena energía eléctrica, es un
componente pasivo. Está formado por un par de superficies
conductoras en situación de influencia total (esto es, que todas las
líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra),
generalmente en forma de tablas, esferas o láminas, separados por un
material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para
disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el
vacío, que, sometidos a una diferencia de potencial (d.d.p.) adquieren
una determinada carga eléctrica, positiva en una de las placas y
negativa en la otra (siendo nula la carga total almacenada).
La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la
diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la constante de
proporcionalidad la llamada capacidad o capacitancia. En el Sistema
internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la
capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una
d.d.p. de 1 voltio, estas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio.
Fuerza electrostática. Energía potencial
Sean las dos cargas puntuales q 1 y q separadas una distancia r,
que se encuentran en reposo con respecto al origen O del sistema de
referencia inercial. La fuerza que la carga q 1 ejerce sobre q se
denomina fuerza electrostática y viene dada por la ley de Coulomb:

13. donde K es una constante denominada constante electrostática
que depende del medio y ε 0 es la permitividad eléctrica del vacío.
El vector u r es un vector unitario que va desde la carga q 1 a la
carga q de modo que cuando ambas cargas tienen distinto signo (figura
(a)) la fuerza electrostática es de atracción, mientras que si tienen el
mismo signo la fuerza electrostática es de repulsión (figura (b)).
Al estudiar problemas de cargas en electrostática, se denomina
carga fuente a la carga que ejerce la fuerza (en este caso q 1 ) y carga
testigo o carga de prueba a la carga sobre la que se calcula la fuerza
(q).
La fuerza electrostática cumple la tercera ley de Newton, por lo
que la carga q 1 experimentará una fuerza de igual módulo y sentido
contrario que la que experimenta q.
Si la carga q 1 se encontrase en presencia de N cargas puntuales,
la fuerza total sobre ella sería la resultante de todas las fuerzas que
ejercen sobre ella las N cargas.
Circulación del campo electrostático.

14. Si aplicamos el teorema de Stokes al segundo postulado de la
electrostática:
∫ (∇ × E )·ds = ∫ E·dl = 0
s c
La circulación de E a lo largo de una trayectoria cerrada es nula.
El producto escalar E.dl integrado a lo largo de cualquier trayectoria es
la diferencia de potencial entre los extremos de dicha trayectoria.
En teoría de circuitos, la ecuación ∫ E·dl = 0
c
es una expresión de
la segunda leu de Kirchhoff.

15. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS CON VALORES
DE FRONTERA
Ejercicio Nº 1:
Encontrar la densidad de carga volumétrica asociada al siguiente
campo: D=XY 2 a x +YX 2 a y +Za z C/m 2
Solución:
Como se encuentra en coordenadas cartesianas, aplicamos la siguiente
formula:
∂Dx ∂Dy ∂Dz
ρ v = divD = ∇·D = + +
∂x ∂y ∂z
ρv =
[ ] [ ]
∂ XY 2 ∂ YX 2 ∂[ Z ]
+ +
∂x ∂y ∂z
ρv = Y 2 + X 2 + 1 C / m3
Ejercicio Nº 2:
Encontrar la densidad de carga volumétrica asociada al siguiente
campo: D= ρ z sen φ a ρ + ρ z senφ cos φ aφ + ρ z sen φ a z C/m 2
2 2 2 2 2
Solución:
Como se encuentra en coordenadas cilíndricas, aplicamos la siguiente
formula:
ρ v = divD = ∇·D =
[
1 ∂ ρ ·D ρ
+
]
1 ∂ Dφ [ ]
+
∂[ Dz ]
ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
ρv =
[ ] [ ] [
1 ∂ ρ z 2 sen 2φ 1 ∂ ρ z 2 senφ cos φ ∂ ρ 2 z sen 2φ
+ +
]
ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
ρ v = z 2 + ρ 2 sen 2φ C / m 3

16. Ejercicio Nº 3:
Encontrar la densidad de carga volumétrica asociada al siguiente
campo: D=a r C/m 2
Solución:
Como se encuentra en coordenadas esféricas, aplicamos la siguiente
formula:
ρ v = divD = ∇·D =
[
1 ∂ r 2 · Dr]+ +
[ ]
1 ∂[ Dθ senθ ] ∂ Dφ
r2 ∂r r senθ ∂θ ∂φ
ρv = 2
1 ∂ r2[ ]
r ∂r
ρv = 2 r C / m3
Ejercicio Nº 4:
Sea D= (10xyz 2 +4x)a x +5x 2 z 2 a y +10x 2 yza z C/m 2 . Calcule la carga total
encerrada en un cubo de volumen 10 - 1 0 m 3 localizado en (2,3,4).
Solución:
∂Dx ∂Dy ∂Dz
ρ v = divD = ∇·D = + +
∂x ∂y ∂z
ρv =
[ ] [ ] [
∂ 10 xyz 2 + 4 x ∂ 5 x 2 z 2 ∂ 10 x 2 yz
+ +
]
∂x ∂y ∂z
ρ v = 10 yz 2 + 10 x 2 y + 4 C / m 3
Evaluando en el punto (2,3,4), nos queda:
ρ v = 604 C / m 3
QT = ρ v · Vol
QT = 304·10 −10
QT = 6,04 × 10 −8 C

17. Ejercicio Nº 5:
La región esférica 0<r<10 cm contiene una densidad de carga
volumétrica ρ v = 4µC/m 3 . a) Encuentre Dr, 0<r<10 cm. b) la carga
total en 0<r<10 cm.
Solución a):
ρ v =divD
D = ∫ ∫ ∫ ρ v dv
En coordenadas esféricas:
2π π r
D= ∫∫∫ρ
0 0 0
v ·r 2 senθ dr dθ dφ
2π π
r3
D = ρv ∫ ∫ 3 senθ dθ dφ
0 0
2π
ρv r 3 π 2 2π
D=
3 ∫ − cosθ
0
0
=
3
ρ v r 3φ 0
4π
D= ρvr 3
3
4π 4π
Dr = ρ v r 3 a rˆ = (4 × 10 −6 )(0,1) 3
3 3
Dr = 1,675 × 10 −8 C / m 3
Solución b):
QT = ρ v ·Vol
C 4
QT = 4 × 10 −6 · π ·(0,1) 3
m3 3
QT = 0,00533π C.

18. Ejercicio Nº 6:
Sea D= (8x+4x 3 )a x -2ya y +2za z C/m 2 , por medio de la ley de Gauss,
determine la carga encerrada en la región cúbica -a<x,y,z<a.
Solución:
Ley de Gauss: ∫ D ds = QT usando el teorema tenemos:
a a a
∫ ∫ ∫ 12 x + 8 − 2 + 2 dz dy dx
2
−a −a −a
a a a
QT = ∫ ∫ ∫ 12 x + 8 dz dy dx
2
−a −a −a
QT = 32a 5 + 64a 3 C.
Ejercicio Nº 7:
Calcular la divergencia de G en P(2,-3,4) si:
a) G=xa x +ya y +za z
divG=1+1+1=3
b) G=ρa ρ
1 ∂[ ρ ·ρ ]
divG = =3
ρ ∂ρ
c) G=ra r
divG=
1 ∂ r2r[ ]
=3
r 2 ∂r
Ejercicio N° 8
Sea D= (10r 2 +5e - r )ar c/m 2 . Encontrar ρv como función de r

19. Solución
Ejercicio N° 9
En el interior de la esfera r≤4m, la densidad de flujo eléctrico está
dada por 5r 3 ar c/m. a) ¿Cual es la densidad volumétrica de carga en
r=3?
Solución
Lo evaluamos en r=3
Ejercicio N° 10
Si D=4x 3 ax -2zay-2yaz c/m 2 . Encontrar
a)
b)

20. c)
Solución
a)
b)
c) Qt=∫D ds
Usando el teorema de la divergencia