calculo en varias variables

1. Campos conservativos
Teorema: Sea , un campo vectorial diferenciable, entonces
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. F es el gradiente de una función
2. La integral∫ del campo F a lo largo de la curva C dado por
[ ] depende solamente del punto inicial y del punto final
es decir la integral de línea no depende del camino
3. La integral ∫
Observaciones:
1. Campos conservativos: Al campo que goce de cualquiera de las
propiedades anteriores 1-3 se le llama campo conservativo
2. Un campo muy importante es el campo
Para alguna función tal campo se le llama conservativo
de f
3. Función potencial: La función se le llama
función potencial de F
Ejemplo:
tal que
Teorema: a)
( ) es conservativo si y solo si
b)
es conservativo si y solo si
Ejemplos: Determine si F es o no un campo conservativo. Si lo es hallar una
función potencial
1.
Sol. Primero averiguar si F es conservativo aplicando el teorema
Simplemente convexo
No
oo

2. , entonces F es conservativo, es decir, Ahora hallamos f
( )
∫ ∫
Por lo tanto
2.
Sol. Primero averiguar si F es conservativo aplicando el teorema
, entonces F es conservativo,
( )
∫ ∫
∫ ∫
No se considera la constante C para nuestros intereses. Por lo tanto
Ejercicios: Determine si F es o no un campo conservativo. Si lo es hallar una
función potencial
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

3. 8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Integral de línea independiente del camino
Teorema: Si F es un campo vectorial conservativo sobre un camino C, dado
por [ ] entonces
∫ ∫ ( )
Es decir, la integral de línea es independiente del camino
Ejemplos: Encuentre una función f tal que y utilice para evaluar
∫ a lo largo de la curva C
1. C es la semicircunferencia superior que se inicia en
y termina en (2,1)
Sol: Primero averiguar si F es conservativo aplicando el teorema
, entonces F es conservativo, es decir, Ahora hallamos f
( )
∫ ∫

4. Por lo tanto
Ahora aplicamos el teorema
∫ ∫ ( ) ( )
2.
Sol. Primero averiguar si F es conservativo aplicando el teorema
, entonces F es conservativo,
( )
∫ ∫
∫ ∫ ∫
No se considera la constante C para nuestros intereses
No se considera la constante C para nuestros intereses
. Por lo tanto
Aplicando el teorema
∫
Ejercicios: Encuentre una función f tal que y utilice para evaluar
∫ a lo largo de la curva C
1. (√ )

5. 2.
3. C es cualquier camino que se inicia en
y termina en (1,2)
4. C es cualquier camino que se inicia en
y termina en (1,1)
5. C es cualquier camino que se inicia en y
termina en (1,-1)
6. C es cualquier camino que se inicia en
y termina en (1,-1)
7. C es cualquier camino que se inicia en y
termina en
8. C es cualquier camino que se
inicia en y termina en (
9. C es el segmento de recta de
10.
11.
12.
Otra forma de calcular la integral de línea independiente del camino
Ejemplo: Calcular ∫
Sol.
Primero averiguar si F es conservativo aplicando el teorema
, entonces F es conservativo, es decir, Ahora hallamos f
( )
∫ ∫
Por lo tanto
Ahora aplicamos el teorema
∫ ∫ ( ) ( )

6. Ejercicios: Calcular las siguientes integrales
1. ∫
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫
10.∫
11.∫
12.∫