derivación implicita

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Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamosestán expresadas
en formaexplícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas
funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene
definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
Despejando y, así, y = 1 / x = x
-1
, obteniendo su derivada fácilmente:
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método.Por ejemplo, ¿cómo hallar
dy/dx para la ecuación x
2
- 2y
3
+ 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función
explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la
habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será
necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

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Ejemplo 3:
, de la función implícita:
, a cada término y extrayendo las constantes;
En el primer término las variables coinciden, se derivan normalmente, en el segundo
término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el
tercer término.
Quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
Pasando algunos términos al lado derecho,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
Hallar
Aplicando la notación
.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
Continuación claramente en el segundo paréntesis,
Extrayendo el factor común ,

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dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
, representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
, de la función implícita:
Solución: Primero,
Segundo,
Ahora el cociente,
Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Hallar
Donde

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Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos
ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación
implícita.
Gracias