Este documento presenta información sobre funciones periódicas y series de Fourier. Explica que una función es periódica si tiene un patrón que se repite cada cierto intervalo llamado periodo. Luego describe que las series de Fourier descomponen funciones periódicas en suma de funciones senos y cosenos, y que los coeficientes de Fourier indican la contribución de cada componente armónico. Finalmente, da un ejemplo del cálculo de los coeficientes para la función f(x)=x^2.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De Las Fuerzas Armadas
UNEFA – Apure
Facilitador:
 Lcdo. Elier España
Participantes:
* Jose Quintana
* Jeison Rodríguez
* Abraham Pérez
* Jose Peña
San Fernando, Julio de 2018

2. Periodo de una función
Sea ƒ: R → R una función. Decimos que ƒ es periódica cuando
existe un numero real T, no nulo, tal que ƒ ( x+T) = ƒ(x) para todo
x ∈ 𝑅. En este caso se dice que T es un período para f.
Si T es un período para f entonces ±T, ±2T, … , ±nT, … también
son periodos para ƒ.

3. Periodo de una función
Si una función tiene un patrón repetitivo como el seno o
el coseno, se llama función periódica. El periodo es la
longitud del intervalo más pequeño que contiene
exactamente una copia del patrón repetido.
Entonces el periodo de y=sen(x) o y=cos(x) es 2π.
Cualquier parte de la gráfica que muestre éste patrón sobre
un periodo se llama ciclo. Por ejemplo, la gráfica de
y=cos(x) en el intervalo [0,2π] es un ciclo.

4. Serie de Fourier
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones
sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
Las series de Fourier tienen la forma:
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝜔𝑜𝑡)
En donde 𝜔0=
2π
𝑇
que es denominado frecuencia fundamental de la señal y
2𝜔o, 3𝜔0 ,…,n𝜔0, son los componentes armónicos de la señal.

5. Coeficientes de Fourier
Nos indican cuánto de los componentes armónicos se le debe agregar a la
serie para representar adecuadamente una función.
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝜔𝑜𝑡)
Donde 𝑎0, 𝑎 𝑛, 𝑏 𝑛 son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
𝑎0 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑛 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑏 𝑛 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 sin 𝑛 𝜔𝑜𝑡 𝑑𝑡

6. Ejemplo.
Encontrar los coeficientes de Fourier para la siguiente función.
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
con periodo de 2π
Por ser 𝑓 𝑥 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏𝑛 = 0. Solo se deben calcular los coeficientes
a0 y an
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 0 sin(𝑛𝜔𝑜𝑥)
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑥)

7. Coeficiente a0
𝑓 𝑥 = 𝑥2 a0=
2
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
a0=
2
2𝜋 −2𝜋/2
2𝜋/2
𝑥2 𝑑𝑥 = a0=
1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑥2 𝑑𝑥
𝜋
a0=
1
𝜋
𝑥3
3
=
1
𝜋
𝜋3
3
+
𝜋3
3
=
2𝜋3
3𝜋
=
2𝜋2
3
−𝜋
a0 =
2𝜋2
3

8. Coeficiente an
𝑓 𝑥 = 𝑥2 an=
2
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos(
𝑛2𝜋𝑥
𝑇
) 𝑑𝑥
𝜔0=
2𝜋
𝑇
an =
2
2𝜋 −2𝜋/2
2𝜋/2
(𝑥2) cos(
𝑛2𝜋𝑥
2𝜋
) 𝑑𝑥 =
1
𝜋 −𝜋
𝜋
(𝑥2) cos(𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
an =
2𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋2−2 +4𝑛πcos(𝑛𝜋)
𝜋𝑛3 = 4
cos(𝑛𝜋)
𝑛2 = 4
(−1) 𝑛
𝑛2
para n≠0

9. 𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑥)
𝑓 =
2𝜋2
3
+
𝑛=1
∞
4
(−1) 𝑛
𝑛2
cos(𝑛𝜔𝑜𝑥)
𝜔𝑜=
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
2𝜋
= 1
𝑓 =
2𝜋2
3
+
𝑛=1
∞
4
(−1) 𝑛
𝑛2
cos(𝑛𝑥)