Matemática aplicada a la ingeniería- Serie de Fourier

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De Las Fuerzas Armadas
UNEFA – Apure
Facilitador:
 Lcdo. Elier España
Participantes:
* Jose Quintana
* Jeison Rodríguez
* Abraham Pérez
* Jose Peña
San Fernando, Julio de 2018

2. Periodo de una función
Sea ƒ: R → R una función. Decimos que ƒ es periódica cuando
existe un numero real T, no nulo, tal que ƒ ( x+T) = ƒ(x) para todo
x ∈ 𝑅. En este caso se dice que T es un período para f.
Si T es un período para f entonces ±T, ±2T, … , ±nT, … también
son periodos para ƒ.

3. Periodo de una función
Si una función tiene un patrón repetitivo como el seno o
el coseno, se llama función periódica. El periodo es la
longitud del intervalo más pequeño que contiene
exactamente una copia del patrón repetido.
Entonces el periodo de y=sen(x) o y=cos(x) es 2π.
Cualquier parte de la gráfica que muestre éste patrón sobre
un periodo se llama ciclo. Por ejemplo, la gráfica de
y=cos(x) en el intervalo [0,2π] es un ciclo.

4. Serie de Fourier
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones
sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
Las series de Fourier tienen la forma:
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝜔𝑜𝑡)
En donde 𝜔0=
2π
𝑇
que es denominado frecuencia fundamental de la señal y
2𝜔o, 3𝜔0 ,…,n𝜔0, son los componentes armónicos de la señal.

5. Coeficientes de Fourier
Nos indican cuánto de los componentes armónicos se le debe agregar a la
serie para representar adecuadamente una función.
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝜔𝑜𝑡)
Donde 𝑎0, 𝑎 𝑛, 𝑏 𝑛 son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
𝑎0 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑛 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑏 𝑛 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 sin 𝑛 𝜔𝑜𝑡 𝑑𝑡

6. Ejemplo.
Encontrar los coeficientes de Fourier para la siguiente función.
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
con periodo de 2π
Por ser 𝑓 𝑥 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏𝑛 = 0. Solo se deben calcular los coeficientes
a0 y an
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑥) + 0 sin(𝑛𝜔𝑜𝑥)
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑥)

7. Coeficiente a0
𝑓 𝑥 = 𝑥2 a0=
2
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
a0=
2
2𝜋 −2𝜋/2
2𝜋/2
𝑥2 𝑑𝑥 = a0=
1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑥2 𝑑𝑥
𝜋
a0=
1
𝜋
𝑥3
3
=
1
𝜋
𝜋3
3
+
𝜋3
3
=
2𝜋3
3𝜋
=
2𝜋2
3
−𝜋
a0 =
2𝜋2
3

8. Coeficiente an
𝑓 𝑥 = 𝑥2 an=
2
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos(
𝑛2𝜋𝑥
𝑇
) 𝑑𝑥
𝜔0=
2𝜋
𝑇
an =
2
2𝜋 −2𝜋/2
2𝜋/2
(𝑥2) cos(
𝑛2𝜋𝑥
2𝜋
) 𝑑𝑥 =
1
𝜋 −𝜋
𝜋
(𝑥2) cos(𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
an =
2𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋2−2 +4𝑛πcos(𝑛𝜋)
𝜋𝑛3 = 4
cos(𝑛𝜋)
𝑛2 = 4
(−1) 𝑛
𝑛2
para n≠0

9. 𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑥)
𝑓 =
2𝜋2
3
+
𝑛=1
∞
4
(−1) 𝑛
𝑛2
cos(𝑛𝜔𝑜𝑥)
𝜔𝑜=
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
2𝜋
= 1
𝑓 =
2𝜋2
3
+
𝑛=1
∞
4
(−1) 𝑛
𝑛2
cos(𝑛𝑥)