respuesta generalizada vibraciones mecanicas

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA
Curso: Vibraciones Mecánicas (MC 571) Periodo de Nivelación 2015-III
CAPÍTULO 4
RESPUESTA FORZADA GENERALIZADA
4.1. Función de respuesta impulsiva
Una causa común de las vibraciones se debe a la aplicación repentina de una fuerza
(por lo general de gran magnitud) de tiempo de aplicación muy corto ε, la cual
produce un impulso ( ) (dada por el área sombreada de la Fig. 3, que se puede
considerar como un pulso rectangular), cuyo valor se calcula mediante la relación:
(1)
Nótese que el impulso no necesariamente se aplica desde t = 0, sino mas bien desde un
instante τ; sin embargo, cuando ε → 0, el impulso puede ser muy grande. Cuando I
es unitario, y se aplica desde t = 0, la fuerza en el caso límite (ε → 0) se denomina
impulso unitario, función impulsiva o FUNCIÓN DELTA DE PAUL DIRAC1
, tal
que f = = δδδδ(t), definida de la siguiente manera:
0, 0 τ
á , τ τ
0, τ
(2)
1 Debe tenerse en cuenta que la función delta de Paul Dirac en un instante t = τ tiene dos propiedades:
1) δ(t – τ) = 0, para t ≠ τ.
2) ! "
#
$
% 1
3) ! "
#
$
' % ' "
Siendo 0 < t < ∞. Así, un impulso de magnitud , que actúa en t = τ, puede denotarse de la siguiente
manera: F(t) = I δδδδ(t – ττττ).
F(t)
t
τ ε
ε
Fig. 1. Esquema general de
una vibración generada
por una causa impulsiva.
Fig. 2. El mazo (tup) cae sobre el
yunque (anvil), haciendo que el
cimiento (foundation block)
absorba la vibración generada.
Fig. 3. Diagrama fuerza vs
tiempo de una fuerza que
genera una respuesta impul-
siva vibratoria.

2. 2
En nuestro caso, el impulso producido por F(t) será:
)*+
)
(3)
Si consideramos que en t = 0 actúa un impulso unitario f, entonces:
,-.
→
0*
0
1 (4)
Consideremos ahora que τ = 0 para una masa inicialmente en reposo, con amorti-
guamiento en las condiciones iniciales x(0+
) = x(0-
) = x(0) = 0. La variación en su
momento lineal debido al impulso provocado por una fuerza constante F será:
∆ 3∆4 3 56 0*) − 56(07) = 34$ − 0
Es decir, un impulso aplicado a un sistema masa – resorte es lo mismo que aplicar
un desplazamiento inicial igual a cero (x0 = 0) y una velocidad v0, tal que:
8 =
∆
9
= 9
(5)
Sabiendo además que la respuesta libre de un sistema sub-amortiguado (0 < ξ < 1)
se obtiene a partir de la ecuación diferencial:
5: + 2<=>?@56 + =>?@
A
5 = 0
Cuya solución exacta, como se sabe, es:
5( ) =
B(CD*EFGHIJD)K*(JDF)K
FGHIBL7EK
M7EFGHIN
sen(= + R) (6)
Casos a tener en cuenta
1. Si consideramos: x0 = 0, v0 = I/m, la fórmula anterior queda de la siguiente
manera:
5( ) =
S
TF
M7EFGHIN
sen(= ) (6.1)
Cuyo máximo valor tiene lugar cuando v = 0, siendo el instante:
=
L
F
arc tg [
BL7K
] (6.2)
Expresando (6.1) en términos de un impulso unitario h(t), tal que x(t) = Ih(t),
se obtiene:
ℎ( ) =
_`abGHIc
TF
sen(= ) (6.3)
siendo h(t) la respuesta a un impulso unitario aplicado en t = 0. Si el impulso
fuera aplicado en t = τ, la expresión anterior será:

3. 3
ℎ ! "
_`abGHI c`d
TF
sen = ! " (6.4)
resultado válido para t > τ, y cero para 0 < t < τ, siendo h(t) y h(t – τ) “funciones” de
respuesta impulsiva.
2. Si consideramos: v0 = 0 y 5$ ≠ 0, la fórmula anterior queda de la siguiente
manera:
5( ) =
JD
BL7K
M7EFGHIN
sen(= + R) (6.5)
4.2. Función de respuesta arbitraria
En este caso se puede emplear las respuestas impulsivas halladas en 4.1.
Fig. 4. Representación de una fuerza vibratoria arbitraria.
Para cada intervalo de tiempo, la respuesta individual es:
Δ5( g) = ( g)Δ . ℎ( − g)
Aplicando el Principio de Superposición, la respuesta total será, luego de j intervalos:
5i jk = l ( m)ℎ( − m)Δ
j
gnL
Antes de dar la expresión final para la respuesta de la fuerza, el alumno debe
recordar que:
'(5) ∗ p(5) = '( )p(5 − )
J
$
% (9)

4. 4
Es la integral conocida como la integral de Duhamel o convolución de dos fun-
ciones reales f(x) y g(x), la cual puede ser resuelta fácilmente con sus propiedades
relacionadas.
Ahora, ya que para un sistema sub-amortiguado la respuesta unitaria viene dada por
la relación (8), y teniendo en cuenta la relación (9), se tendrá entonces que la
respuesta total generada por la fuerza arbitraria será:
q
r`stuvw
9t
x ) rstuvw)
yzzz{zzz|
1 )
}~• t ! )yzzz{zzz|
€1 7)
• ) (10)
Para un sistema en reposo antes de aplicar el impulso.
4.3. Respuesta a una Fuerza Periódica Cualquiera
Linealidad y Superposición.- Se sabe que la ecuación diferencial:
q: ‚
ƒ
9
„ q6 ‚
…
9
„ qyzzzzz{zzzzz|
q:* †stuvw q6*tuvw
†
€ (11)
es lineal. Si xk(t) es la solución de (1), entonces:
q: … ‚
ƒ
9
„ q6 … ‚
…
9
„ q… €… (k = 1; 2; …..; n)
Siendo ∑ ˆ‰5‰ la solución de (1). Entonces: p ∑ ˆ‰5‰. Si g(t) es una suma de
funciones trigonométricas, tal que:
p ∑ ˆ‰cos =‰ R‰ , entonces x(t) = xp(t).
Esta propiedad obedece al Principio de Superposición,
y se puede expresar como: “A la suma de causas le
corresponde la causa de efectos”. Esto permitirá encontrar
la solución de una clase muy general de fuerzas.
Fig. 5. Representación de una fuerza vibratoria periódica.

5. 5
FUERZA PERIÓDICA.- Es aquella función g, tal que g(t + T) = g(t).
Funciones así se pueden expresar como series de Fourier, en las que interviene una
frecuencia fundamental ωT = 2π/T, y sus armónicos que tienen frecuencias ωωωωn = nωT. Así
entonces:
p
‹D
A
∑ ˆŒ cos •=Ž •Œ sen •=Ž
#
ŒnL (12)
Siendo:
•
†
‘
€
‘
(13)
•’
†
‘
€ “”} ’t‘
‘
(14)
•’
†
‘
€ }~• ’t‘
‘
(15)
Y si el sistema es sub-amortiguado, la solución de la ED es:
5 –M7‚
—
˜
„N
sen = R
‹D
AFGHI
K ∑
‹™š›œ ŒF•N7ž™ *Ÿ™ ¡š ŒF•N7ž™
¢£FGHI
K 7 ŒF•
K¤
K
*‚
—
˜
ŒF•„
K
#
ŒnL (16)
Con ω = Frecuencia natural del sistema sin acción de fuerza excitatriz, siendo además:
tan RŒ
—
˜
ŒF•
FGHI
K 7 ŒF•
K (17)
Las series de Fourier son sumamente útiles y relativamente fáciles de calcular, debido
a la propiedad especial de ortogonalidad de las funciones trigonométricas, tal que, si
ωωωωT = 2ππππ/T:
¥ sen•=Ž
Ž
$
sen3=Ž %
0 3 ≠ •
¦
2
3 = •
¥ cos•=Ž
Ž
$
cos3=Ž % =
0 3 ≠ •
¦
2
3 = •
¥ cos•=Ž
Ž
$
sen3=Ž % = 0
EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM
Lima, 8 de febrero del 2016