1. Curso de Introducción a las
telecomunicaciones
Transformada de Fourier

2. Representación exponencial de señales no periódicas-TF
• Dada la señal no periódica g(t)
limT → ∞ g p (t ) = g (t )
La serie de Fourier quen representa a gp(t)
tambien representará a g(t), en el límite.
g p (t ) = ∑ Gn e jnω 0t
1
Gn =
T
T /2
g p (t )e − jnω0t dt
∫
−T / 2
T0 =
2π
ω
0
=
2π
∆
ω
T0 → ∞ ⇒ ω 0 → ∆ω

3. Continuación.........
Vemos que
T /2
T0Gn =
∫g
p
(t )e
− jnω0 t
dt = G ( n∆ω)
−T / 2
G ( n∆ω) jn∆ωt
g p (t ) = ∑n =−∞
e
T0
n =∞
G ( n∆ω)
jn∆ωt
g p (t ) = ∑n =−∞
∆ωe
2π
n =∞
1
g p (t ) =
2π
∑G (n∆ω)e
jn∆ωt
∆ω

4. Cont....
g (t ) = limT → ∞ g p (t )
• Aplicando limites
g (t ) = lim ∆ω→0
1
g (t ) =
2π
1
2π
∞
∫ G (ω )e
−∞
G (n∆ω ) = limT →∞
G (ω ) =
∞
∫ g (t )e
−∞
∑G (n∆ω)e
jωt
dω
T /2
∫g
p
(t )e
jn∆ωt
∆ω
Transf. Inversa de
Fourier
− jn∆ωt
dt
−T / 2
− jnωt
dt
Transf. Directa de Fourier

5. Cont............
• La TF G (ω) es una función compleja por
lo tanto tiene magnitud y fase.
• La Magnitud | G(ω ) | es una función par de ω
• La Fase θ (ω ) es una función impar de ω
• EXISTENCIA DE LA TRANSF. FOURIER
∞
G (ω ) ≤ ∫ | g (t ) | dt
−∞
G (ω ) = finito
Si el 2do término es finito entonces la existencia
de la TF queda garantizada.
ℑ[ g (t )] = G (ω )
g (t ) ↔ G (ω )

6. Ejemplos
• Determine la TF de
∞
G (ω ) = ∫ e µ (t )e
− at
−∞
| G(ω ) |=
1
a +ω
2
2
ω
θ (ω ) = − arctg ( )
a
g (t ) = e
− j ωt
∞
− at
dt = ∫ e
0
µ(t )
− ( a + jω ) t
1
dt =
a + jω

7. CONT....Ejemplos
• Determinar la TF de la función compuerta:
τ /2
t
ℑ[∏( )] = ∫ e − jωt dt
τ
−τ / 2
• En general
 1..... | t | 1 / 2 
∏ (t ) =  0..... | t | 1 / 2 


t
sen(ωτ / 2)
∏ (τ ) ↔ τ ωτ / 2 = τ sin c(ωτ / 2)
2
1
1
.
5
|Π(t)|
1
0
.
5
t
-τ/2
τ/2
0
- .
0
5
- 0
2
- 5
1
Si τ=1
- 0
1
5
0
5
1
0
1
5
2
0

8. Cont....T.F.
∏ ( ) = τ sin c(ωτ / 2)
t
τ
• Ejemplos:
τ=2
τ=4
4
2
3.5
3
1.5
2.5
1
2
1.5
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20

9. Cont...Ejemplos
• Hallar la TF de la función signum [sgn(t)]:
 1.....t > 0
sgn(t ) = 
 − 1...t < 0
sgn(t ) = lim a → 0 [e − at .µ (t ) − e at µ (− t )]
0
∞ −at − jωt

at − jωt
sgn(t ) ↔ lim a →0 ∫ e e dt − ∫ e e dt 
−∞
0

 1
1  2
sgn(t ) ↔ lim
−

=
a → 0  a + jω a − jω  jω

10. Función Impulso
∞
δ
∫ (t ) dt
• El impulso se define
δ (t ) = 0 ∀t ≠ 0
−
∞
∞
∫ϕ(t )δ (t )dt =ϕ(t ) |
t =0
−∞
=
1
∞
∫ϕ(t − t )δ (t − t
1
2
= ϕ(0)
∞
(
∫ϕ t )δ(t −t
0
−
∞
)dt = ϕ(t 2 − t1 )
−∞
δ (t ) ↔ ∫ δ (t )e − jωt dt = e − jωt |t =0 = 1
−∞
) dt = (t 0 )
ϕ

11. Cont....función impulso
• si δ (t ) = 1
2π
1
δ (t ) =
2π
∞
∞
1e jωt dω
∫
−∞
ω=x
∞
e − jtx dx ⇒ 2πδ (t ) = ∫ e − jtx dx
∫
−∞
−∞
∞
1 ↔ ∫1.e − jωt dt = 2πδ (ω )
−∞
∞
2πδ (ω ) = ∫ e − jω t dt
−∞

12. Función escalón
• Sabemos:
2
sgn(t ) ↔
jω
1 + sgn(t ) = 2 µ (t )
1
µ (t ) ↔ πδ (ω ) +
jω
µ (t )

13. Propiedades de la transformada de fourier
• SIMETRÍA
g (t ) ↔ G (ω )
G (t ) ↔ 2πg (−ω )

14. Cont...Propiedades TF
g (t ) ↔ G (ω )
1
ω
g ( at ) ↔
G( )
|a|
a
• ESCALAR
expansion
compresion

15. EJERCICIOS
g ( − t ) ↔ G ( −ω )
• Demostrar que
• CORRIMIENTO EN EL TIEMPO
g (t ) ↔ (ω
G
)
g (t − t0 ) ↔ G (ω )e
− jωt 0
g (t + t0 ) ↔ G (ω )e
jωt 0

16. Cont...Propiedades TF
• Corrimiento en frecuencia
g (t )e
jω 0 t
g (t ) ↔ G (ω )
↔ G (ω − ω 0 )
TEOREMA DE LA MODULACIÓN
1
g (t ) cos ω 0t ↔ [ G (ω + ω 0 ) + G (ω − ω 0 ]
2
j
g (t ) senω 0t ↔ [ G (ω + ω 0 ) − G (ω − ω 0 ]
2
• Demostrar
g (t − t0 ) + g (t + t0 ) ↔ 2G (ω ) cos t0ω

17. Ejemplo de corrimiento en frecuencia
• APLICANDO EL TEOREMA DE LA MODULACIÓN

18. TF de la función coseno y seno
cos ω0t
senω0t
↔ π [ δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )]
↔ jπ [ δ (ω + ω 0 ) − δ (ω − ω 0 )]

19. TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEÑAL
PERIÓDICA
• Toda señal periódica:
∞
• Entonces g (t ) =
Gn e jnω 0t
∑
∞
n = −∞
g (t ) ↔ 2π ∑ Gnδ (ω − nω 0 )
•
−∞
∞
1 ∞ jnω 0t
g (t ) = ∑ δ (t − nT0 ) = ∑ e
T n= −∞
n = −∞
La TF es una secuencia de
impulsos en ±nw0.
Hallar la TF de una secuencia de tren de impulsos unitarios
∞
2π ∞
∑−∞ δ (t − nT0 ) ↔ T n∑−∞ δ (ω − nω 0 ) = ω 0 n∑−∞δ (ω − nω 0 )
n=
=
0 =
∞

20. Cont......Propiedades de la TF
• DERIVACIÓN
g (t ) ↔G (ω)
dg (t )
↔ jωG (ω )
dt
A/(b-a)
n
d g
n
↔ ( jω ) G (ω )
n
dt
2 A  cos aω − cos bω 
G (ω ) =
2


(b − a ) 
ω

2
d g
A
=
[δ (t + b) − δ (t + a) − δ (t − a) + δ (t − b)]
2
dt
(b − a)

21. Cont......TF
• DERIVACIÓN CON RESPECTO A LA FRECUENCIA
d
g (t ) ↔ G (ω ) ⇒ − jtg (t ) ↔
G (ω )
dω
• CONVOLUCIÓN.- La integral de convolución de 2 señales
se representa por g1 (t ), g 2 (t )
∞
g1 (t ) * g 2 (t ) = ∫ g1 ( x) g 2 (t − x)dx
−∞
g1 (t ) * g 2 (t ) = g 2 (t ) * g1 (t )

22. Cont.....convolución
• La propiedad de convolución establece:
• Si g1 (t ) ↔ G1 (ω ) y g 2 (t ) ↔ G2 (ω )
• Convolución en el tiempo
g1 (t ) * g 2 (t ) ↔ G1 (ω )G2 (ω )
• Convolución en frecuencia
1
g1 (t ) g 2 (t ) ↔ G1 (ω ) * G2 (ω )
2π

23. CONVOLUCIÓN GRAFICA
1.ae −at ........(0, t ) 
g1 ( x ) g 2 (t −x ) 

0... fuera.....(0, t ) 
∞
t
−∞
0
g1 (t ) * g 2 (t ) = ∫ g1 ( x) g 2 (t − x)dx = a ∫ e − at dx = 1 − e − at ...t > 0

24. CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO
• Determine
g (t ) * δ(t )
∞
g (t ) * δ (t ) = ∫ g ( x)δ (t − x)dx = g (t )
−∞
g (t ) * δ(t ) ↔G (ω)
g (t ) * δ(t −T ) = g (t −T )
g (t −t1 ) * δ(t −t 2 ) = g (t −t1 −t 2 )

25. Cont.....Propiedades TF
• Convolucionar
G1 (ω ) * G2 (ω )
ω + ω0
ω −ω0
G1 (ω ) * G2 (ω ) = A[∆ (
) + ∆(
)] * K [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )]
a2
a2
= AK [ ∆(
ω + 2ω0
a/2
)] + 2 AK [∆(
ω
a/2
)] + AK [ ∆(
ω − 2ω0
a/2
)]

26. Trasmisión de una señal atraves de un canal
• Un SLIT tiene una respuesta de impulso
unitario h(t).
•
y (t ) = g (t ) * h(t )
Y (ω ) = G (ω ) H (ω )
y (t ) = ℑ [ G (ω ) H (ω )]
−1
Un SLIT actúa como
un filtro que cambia el
espectro de G(w) a
G(w)H(w).

27. Correlación en tiempo y energía
• La correlación de dos señales g1 (t )
∞
∞
−∞
y g 2 (t )
−∞
ψ g1g 2 (τ ) = ∫ g1 (t ) g 2 (t + τ )dt = ∫ g1 (− x) g 2 (τ − x)dx
ψ g1g 2 (τ ) ↔ G1 (ω )G2 (ω )
ψ g1g 2 (τ ) = g1 (−τ ) * g 2 (τ )
• La función de auto correlación se define:
∞
ψg (τ ) = ∫ g (t ) g (t +τ )dt
−∞
ψ g (τ ) = g (−τ ) * g (τ )
• Teor. Parseval
ψ g (τ ) ↔ G (− ω )G (ω ) = G (ω )
1
∫−∞ g (t )dt = 2π
∞
2
∞
∫
−∞
2
G (ω) dω
2

28. Pares Básicos de Transformadas de Fourier
• .

29. Pares Básicos de Transformadas de Fourier
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