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MATEMATICAS I Campus Guayaquil MBA-MG.  Nelson Córdova
SUCESIONES Se llama  sucesión  a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.  El término general  es  a n  es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la  sucesión EJEMPLO 1  :  a n = 2n-1  3, 6, 9,..., 3n  EJEMPLO 2  :  a n = -3n+5  EJEMPLO 3  :  a n = n!
Sucesiones ( Progresiones) aritméticas ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Ejemplos  : (1) (2) El 11-ésimo término de una SA es 52 y el 19 es 93 , calcular el 1000-ésimo término
Sumas parciales en una PA ,[object Object],Se  puede calcular de las dos formas siguientes (1) (2) Ejemplos :  ¿Cuántos términos de la SA :  5,7,9,….  Hay que sumar para obtener  572? (1) (2)
TALLER 1-DEBER 1 NIVEL REPRODUCTIVO 1.- Encuentre el término décimo quinto :  3 , 7 , 11 , 15 , 19  2.-  Encuentre la suma  51 + 48 + 45 + 42 +……..+18
TALLER 1-DEBER 1 NIVEL TRANSFERENCIAL Determine la suma indicada de las progresiones siguientes: 1.-  1+4+7+10+……..;  30 t érminos 2.- Si los términos tercero y séptimo de una P.A. son 18 y 30  respectivamente . Encuentre  La suma hasta el décimo quinto término
TALLER 1-DEBER 1 NIVEL CR Í TICO Invente una PA que todos los números sean impares y que la suma sea igual al doble del término central NIVEL CR EATIVO ,[object Object],[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Ejemplo  : (1) (2) Sucesiones ( Progresiones) Geométricas (3)
Respuestas ,[object Object],[object Object],Ejemplos de suma  1 . En una progresión geométrica,  se tiene:  t1 = 4 y  t6 = 972. Determine la suma hasta el 6º término.   R :  = 1456   2.- Encontrar la suma  hasta el 7mo término de la siguiente  progresión  que cumple con que  t 3 = 20  y  t 7 = 1620  R  :  2,428.88    (1) (2) (3)
TALLER 2-DEBER 2 NIVEL REPRODUCTIVO I  Encuentre el término específico 1.- El noveno término de la sucesión  3, 6 , 12 , 24  2.- El n-ésimo término de la sucesión  II  Que lugar ocupa en la sucesión el último término dado? 3.-  96 , 48 , 24 , 12 ,……..,  4.- 18 , 12 , 18 , …………,
TALLER 2-DEBER 2 NIVEL CR Í TICO NIVEL CR EATIVO Intercalar tres números entre los números 8 y 128. de manera que se obtenga una PG  de 5 términos. (plan de ahorro) Al inicio de cada mes, Jos é deposita $200 en una  cuenta de ahorros que gana un interés a una tasa de 0.5% al mes  sobre el mínimo balance mensual . Cual es el valor de la inversión después De 2 años ) esto es en 25 depósitos?
INDUCCION
INDUCCION EJEMPLOS :  Demuestre las siguientes igualdades usando Inducción
TALLER 3 =DEBER 3
INDUCCION EJERCICIOS DE DIVISIBILIDAD EJERCICIO 2 EJERCICIO 3 EJERCICIO 4 EJERCICIO 1
TALLER 3B = DEBER 3B 1.- 2.- 3.- 4.- 5.-
SUMATORIAS Notación Sigma ,[object Object],[object Object],Ejemplos : (1) Calcular  las siguientes sumas  (i)  ( ii )  (2) Expresar en notación sigma  (i)  (ii)
Ejemplos  : Calcular (1) (2) (F1) (F2) (F3) (F4) (3) (4) FORMULAS DE LAS SUMATORIAS (F5) p p p p p
SUMA DOBLE DOBLE INDICE VARIABLE DIFERENTE CONSTANTE DE POCOS SUMANDOS
DEFINIDA POR PARTES
TALLER 4 = DEBER 4 Factorial+telescópica Pocos sumandos Pocos sumandos telesc ópica Pocos factores Suma de PG
Series infinitas   ,[object Object],[object Object],se denomina serie Geométrica ,[object Object],[object Object]
(1)  Determinar  (2) (Aplicación-Taller) Ejemplo ¿Cuánto dinero se tiene que invertir ahora al 10%  anual, compuesto  Anualmente, para proporcionar una anualidad a perpetuidad de 5000  dólares por año ? .El primer pago de 5000 se efectúa ahora.
TALLER 5 = Deber 5 a) Calcule la suma infinita:  b) 11.- = c) Una pelota siempre rebota de la altura desde la que cae. Si se deja caer desde la altura de 9 pies . ¿ Qué distancia recorre hasta que se para?
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TALLER 6  = DEBER 6
Principios  de Conteo (1)
(2) (3)
Permutaciones  ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
En general si un conjunto tiene n elementos, el número de maneras de ordenar  r  de ellos es  Así en el ejemplo anterior :
Ejemplo 2  Ejemplo 3
[object Object],[object Object],Ejemplos : (1) Determine cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras  de la palabra  PARALELEPIPEDO (2) Determine el número de formas distintas de colocar en fila 15 bolas en una fila, si 4 son rojas 3, son amarillas ,6 son negras y 2 son azules
TALLER 7 = DEBER 7
COMBINACIONES
Ejemplo 1 : Ejemplo 2 :
Ejemplo 3: Ejemplo 4 :
TALLER 8 = DEBER 8  1.- Un estudiante recibe una lista de lectura de 10 libros, de los cuales debe elegir dos para su lectura ¿ De cuántas formas puede hacerse la elección? 2.- Un estudiante presenta un examen donde debe contestar 10 de 15 preguntas a) ¿De cuantas formas puede elegir las 10 preguntas?  b) ¿ de cuantas maneras puede escoger las 10 preguntas , si debe contestar  exactamente dos de las tres primeras? 3.-De 7 físicos y 4 matemáticos se va a formar un comité de 6  ¿ de cuantas maneras puede formarse? a) Cuando haya en el comité 2 matemáticos b) Cuando haya como mínimo 2 matemáticos
4.- Una empresa necesita 14 personas para hacer un trabajo, distribuidas de la  siguiente manera : 4 mujeres , 5 hombres y los restantes pueden ser de uno u otro sexo. De cuantas maneras puede elegir la empresa las 14 personas si hay 18 candidatos de los cuales 8 son mujeres y 10 son hombres. 5.- Cu ántas combinaciones diferentes pueden formarse tomando cuatro de los dígitos 3 , 4 , 7,  5 , 8 ,1 6. Se desea dividir un curso de 40 alumnos en 4 grupos ; de 8; 9; 11; 12 alumnos respectivamente de modo que los alumnos ANA , BERNARDO, CARLOS, Y DELIA  queden en un grupo diferente . De cuantas maneras puede hacerse ?

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  • 1. MATEMATICAS I Campus Guayaquil MBA-MG. Nelson Córdova
  • 2. SUCESIONES Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. El término general es a n es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión EJEMPLO 1 : a n = 2n-1 3, 6, 9,..., 3n EJEMPLO 2 : a n = -3n+5 EJEMPLO 3 : a n = n!
  • 3.
  • 4.
  • 5. TALLER 1-DEBER 1 NIVEL REPRODUCTIVO 1.- Encuentre el término décimo quinto : 3 , 7 , 11 , 15 , 19 2.- Encuentre la suma 51 + 48 + 45 + 42 +……..+18
  • 6. TALLER 1-DEBER 1 NIVEL TRANSFERENCIAL Determine la suma indicada de las progresiones siguientes: 1.- 1+4+7+10+……..; 30 t érminos 2.- Si los términos tercero y séptimo de una P.A. son 18 y 30 respectivamente . Encuentre La suma hasta el décimo quinto término
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10. TALLER 2-DEBER 2 NIVEL REPRODUCTIVO I Encuentre el término específico 1.- El noveno término de la sucesión 3, 6 , 12 , 24 2.- El n-ésimo término de la sucesión II Que lugar ocupa en la sucesión el último término dado? 3.- 96 , 48 , 24 , 12 ,…….., 4.- 18 , 12 , 18 , …………,
  • 11. TALLER 2-DEBER 2 NIVEL CR Í TICO NIVEL CR EATIVO Intercalar tres números entre los números 8 y 128. de manera que se obtenga una PG de 5 términos. (plan de ahorro) Al inicio de cada mes, Jos é deposita $200 en una cuenta de ahorros que gana un interés a una tasa de 0.5% al mes sobre el mínimo balance mensual . Cual es el valor de la inversión después De 2 años ) esto es en 25 depósitos?
  • 13. INDUCCION EJEMPLOS : Demuestre las siguientes igualdades usando Inducción
  • 15. INDUCCION EJERCICIOS DE DIVISIBILIDAD EJERCICIO 2 EJERCICIO 3 EJERCICIO 4 EJERCICIO 1
  • 16. TALLER 3B = DEBER 3B 1.- 2.- 3.- 4.- 5.-
  • 17.
  • 18. Ejemplos : Calcular (1) (2) (F1) (F2) (F3) (F4) (3) (4) FORMULAS DE LAS SUMATORIAS (F5) p p p p p
  • 19. SUMA DOBLE DOBLE INDICE VARIABLE DIFERENTE CONSTANTE DE POCOS SUMANDOS
  • 21. TALLER 4 = DEBER 4 Factorial+telescópica Pocos sumandos Pocos sumandos telesc ópica Pocos factores Suma de PG
  • 22.
  • 23. (1) Determinar (2) (Aplicación-Taller) Ejemplo ¿Cuánto dinero se tiene que invertir ahora al 10% anual, compuesto Anualmente, para proporcionar una anualidad a perpetuidad de 5000 dólares por año ? .El primer pago de 5000 se efectúa ahora.
  • 24. TALLER 5 = Deber 5 a) Calcule la suma infinita: b) 11.- = c) Una pelota siempre rebota de la altura desde la que cae. Si se deja caer desde la altura de 9 pies . ¿ Qué distancia recorre hasta que se para?
  • 25. TEOREMA DEL BINOMIO COEFICIENTES PARA CADA n
  • 27.  
  • 28. TALLER 6 = DEBER 6
  • 29. Principios de Conteo (1)
  • 31.
  • 32. En general si un conjunto tiene n elementos, el número de maneras de ordenar r de ellos es Así en el ejemplo anterior :
  • 33. Ejemplo 2 Ejemplo 3
  • 34.
  • 35. TALLER 7 = DEBER 7
  • 37. Ejemplo 1 : Ejemplo 2 :
  • 39. TALLER 8 = DEBER 8 1.- Un estudiante recibe una lista de lectura de 10 libros, de los cuales debe elegir dos para su lectura ¿ De cuántas formas puede hacerse la elección? 2.- Un estudiante presenta un examen donde debe contestar 10 de 15 preguntas a) ¿De cuantas formas puede elegir las 10 preguntas? b) ¿ de cuantas maneras puede escoger las 10 preguntas , si debe contestar exactamente dos de las tres primeras? 3.-De 7 físicos y 4 matemáticos se va a formar un comité de 6 ¿ de cuantas maneras puede formarse? a) Cuando haya en el comité 2 matemáticos b) Cuando haya como mínimo 2 matemáticos
  • 40. 4.- Una empresa necesita 14 personas para hacer un trabajo, distribuidas de la siguiente manera : 4 mujeres , 5 hombres y los restantes pueden ser de uno u otro sexo. De cuantas maneras puede elegir la empresa las 14 personas si hay 18 candidatos de los cuales 8 son mujeres y 10 son hombres. 5.- Cu ántas combinaciones diferentes pueden formarse tomando cuatro de los dígitos 3 , 4 , 7, 5 , 8 ,1 6. Se desea dividir un curso de 40 alumnos en 4 grupos ; de 8; 9; 11; 12 alumnos respectivamente de modo que los alumnos ANA , BERNARDO, CARLOS, Y DELIA queden en un grupo diferente . De cuantas maneras puede hacerse ?