Este documento trata sobre el transporte de partículas y la ecuación de transporte. Explica el origen de la ecuación de transporte y sus elementos clave, como la densidad de flujo de partículas y el sistema espacio-fase. También describe varios métodos para resolver la ecuación de transporte, como los armónicos esféricos, ordenadas discretas, momentos, difusión y Monte Carlo. Finalmente, cubre temas como códigos, componentes de simulaciones Monte Carlo y números aleatorios.

1. TRANSPORTE DE PARTÍCULAS
Héctor René Vega-Carrillo
Universidad Autónoma de Zacatecas
Apdo. Postal 336, 98000 Zacatecas, Zac. México
Buzón electrónico: fermineutron@yahoo.com
Portal: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html
Facebook: http://www.facebook.com/neutron.hadron
Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ing. Nuclear
2012

2. Contenido
• Origen
• Transporte de radiación
• Elementos de la ecuación de Transporte
• Métodos de solución
• Códigos
• Métodos Monte Carlo
• Componentes de una simulación MC
• Números aleatorios
• Experimentos

3. Origen
• En 1872 Boltzman, formuló la
ecuación de Transporte con el
fin de determinar el
coeficiente de difusión de un
gas.
• En la formulación supuso que
las moléculas se comportaban
como esferas elásticas.

4. La Ecuación de Transporte de la Radiación
• En el transporte de la radiación la densidad de
flujo de partículas (flujo) es la función más
importante.
 
r , W, E, t  dW dE
• El número de partículas, por unidad de área y de
tiempo, en el punto r, cuyas direcciones de viaje
yacen en el espacio comprendido entre W y W + d
W y que tienen energías entre E y E + dE.

5. Sistema Espacio - Fase

6. • Las partículas cuya energía y dirección se
encuentre entre E y E+dE y entre W y W
+dW se pueden encontrar en el dV
mediante los siguientes procesos,
Han “nacido” en dV
Han sido dispersadas hacia dV
Se encontraban en dV pero con E´ y W´, al
sufrir una interacción entraron en fase.

7. • Las partículas cuya energía y dirección se
encuentre entre E y E+dE y entre W y W
+d W se pueden remover del dV mediante
los siguientes procesos,
Son absorbidas
Han sido dispersadas fuera del dV
Se encontraban en fase dentro del dV, as
sufrir una interacción cambiaron de fase:
E => E´
W => W´

8. Elementos de la Ecuación de Transporte
• En estado estacionario, las pérdidas son iguales a
las ganancias.
• Fugas netas   
  W r , W, E  dV dW dE
•  
Pérdidas por absorción t r , E´ r , W, E  dV dW dE

 
• Término fuente S r , W, E  dV dW dE
• Ganancias por dispersión   
 S r , E´ p( E´ E, W´ W) dW dE r , W´, E´dV dW dE


9. Haciendo el balance
Pérdidas = Ganancias
        
  W r , W, E   t r , E r , W, E      S r , E´ pE´ E, W´ W r , W´, E´ dW´ dE´  S r , W, E 
 
E´ W´
Ecuación integrodiferencial de Boltzman

10. Métodos de Solución de la Ecuación de Transporte
• Método de Armónicos Esféricos
• Método de las Ordenadas Discretas, Sn
• Método de Momentos
• Teoría de Difusión
• Monte Carlo

11. Método de los Armónicos Esféricos
• Los términos con dependencia angular se
expresan como expansiones de armónicos
esféricos como las funciones de Legendre.
• Se aplican en casos en Estado
Estacionario, una velocidad, una
dimension y medios homogéneos

12. Polinomios de Legendre
Pn z
1
z
1 3 z2
0.5
2 2
3z 5 z3
2 2
z 3 15 z2 35 z4
-1 -0.5 0.5 1
8 4 8
15 z 35 z3 63 z5
8 4 8
-0.5
-1

13. • La ecuación se convierte en,
1

 ( x,  )  t ( x,  )  S ( x,  )    S (  , ´) ( x,  ) d´
x 1
• En esta ecuación,

 es el coseno director respecto al eje x W  i  Cos( )
ˆ
( x,  ) es la Densidad de flujo angular, que junto con el término fuente,
se expresa separando la parte espacial de la angular, y ésta se
representa mediante los Polinomios de Legendre
 
( x,  )    j ( x) Pj (  ) S ( x,  )   S j ( x) Pj (  )
j 0 j 0

14. Método de las Ordenadas Discretas
(Método Sn)
• El nombre Sn se obtiene de la técnica
básica que utiliza, donde el ángulo sólido
se divide en n segmentos.
• Utiliza diferencias finitas, donde el
espacio-fase se divide en un número finito
de puntos discretos.
• La densidad de flujo en cada punto se
relaciona con las densidades de flujo de
los puntos adyacentes.

15. • La ecuación integrodiferencial de Boltzman
se sustituye por un sistema simultáneo de
ecuaciones en diferencias que se resuelve
mediante iteraciones.

16. Método de Momentos
• Se basa en la definición formal de los
momentos,
b
M n   x f ( x) dx,  
n
a
• Se aplica en problemas con medios homogéneos
e infinitos con fuentes planas, líneas o
puntuales.

17. • Los momentos se aplican a manera de una
Transformada.
• Las funciones se separan en su parte
angular y espacial.
• La parte angular se expresa en
expansiones de polinomios Legendre.

18. Teoría de Difusión
• Es una aproximación al problema de transporte
donde se desprecian los detalles de las
direcciones de las partículas.
• Así, el balance de partículas, por unidad de
volumen es,
   
nr , t   S r , t    a r , t     J r , t 
 
t
n es la densidad de neutrones [cm-3], J es la densidad de corriente [cm-3 – seg-1]

19. • Mediante la Ley de Fick,
  
J (r )   D  (r ),
1
D
3  tr
• En estado estacionario la ecuación de Difusión
es,
D    a   S  0
2
• Esta se puede expresar y resolver para
multigrupos de energía y multiregiones.

20. Códigos
Algunos de los códigos que se utilizan para resolver la
ecuación de transporte de neutrones son:
• MORSE • DO
• ANISN/PC • EXTREME
• DORT-PC • DIF-3D
• DOORS • PN
• TDTORT • QAD
• DOMINO • MOD-5

21. Método Monte Carlo
• Consiste en construir un modelo matemático de un
problema físico y tomar muestras del modelo para
obtener una respuesta aproximada del problema.
• Aún a pesar de que se han utilizado los métodos
Monte Carlo por largo tiempo, su aplicación se
volvió relevante durante la 2ª Guerra Mundial.
– Capacidad de cómputo
– Necesidad de resolver problemas de difusión de neutrones
• El nombre del método proviene de la capital del
principado de Mónaco.

26. • Los MMC son técnicas estocásticas.
• Se basan en el uso de número aleatorios y la
probabilidad estadística para simular los
problemas.
• Se necesita determinar la función acumulada
de la densidad de probabilidad de un evento,
ésta se muestrea mediante número aleatorios.
• Cada simulación es seguida y el resultado es
contabilizado (tally, o estimado).

27. Componentes de una simulación
Monte Carlo
• Funciones de Densidad de Probabilidad (fdp) – El
sistema físico o el problema matemático debe
describirse mediante un conjunto de fdp.
• Generador de números aleatorios – Una fuente de
numeros aleatorios uniformemente distribuidos.
• Regla de muestreo – Se debe definir el cómo y
sobre qué fdp se hará el muestreo.

28. • Contar (or tallying) – Las salidas, sobre las cantidades de
interés, que se deben acumular.
• Estimación del Error – Se debe determinar un
estimado del error estadístico (varianza) como una
función del número de historias.
• Técnicas de Reducción de Varianza – En ciertos
problemas el tiempo de cómputo suele ser muy
largo, en tal caso se deben utilizar, cuidadosamente,
técnicas de reducción de varianza.
• Vectorización y cómputo en paralelo – De ser posible
utilizar algoritmos que permitan que los métodos
Monte Carlo se utilicen en sistemas avanzados de
cómputo.

29. Números Aleatorios
• Se pueden obtener de fenómenos físicos,
– Tiempos de decaimiento de material radiactivo.
– Ruido eléctrico de una resistencia o un
semiconductor.
– Ruido acústico.
• Su obtención es lenta, por tanto su uso no
es práctico.

30. Función Densidad de Probabilidad
• Una función (o distribución) de Densidad de
Probabilidad es una función f que está definida
en un intervalo (a, b) y tiene las siguientes
propiedades:

32. Existen dos tipos de números aleatorios
• Pseudoaleatorios: Se comportan como
aleatórios, pero se obtiene mediante
técnicas deterministas.
– se repiten
– son predecibles
• Aleatorios: Se generan en forma no
determinista.
– no se repiten
– no son predecibles

33. Números Pseudoaleatorios
• Medianto algoritmos se pueden obtener una
buena cantidad de números cuyo comportamiento
es tan bueno como los aleatorios.
• En 1939 Kendall y Babington-Smith utilizaron una
máquina para generar 100,000 dígitos aleatorios.
• En 1955 la empresa RAND publicó una tabla con
1 000 000 de dígitos aleatorios.
• ERNIE es una máquina que genera números
aleatorios cuyo uso es seleccionar los números
ganadores de la lotería del Reino Unido.

34. Características deseables en los
generadores de números aleatorios
• Uniformidad
– Muestras independientes
– Distribución contínua
• Que tengan un periodo largo
• Que no exista correlación seriada
• Que los genere en forma rápida

35. Características de los xs
• Su función de distribución es la función constante
de amplitud unitaria.
• Para cada valor x, existe la misma probabilidad
de seleccionar un número entre 0 y 1.
• Con el primer y segundo momento (Teorema del
Valor Medio para distribuciones continuas) se
determina el promedio y la varianza.
1 1
 x f ( x) dx  x  x 
2
f ( x) dx
1 1
x  0
1
 2  0
1

2 12
 dx  f ( x) dx
0
0

36. 0.9 1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.4
0.5
0.2
0.4
4 6 8 10
100 200 300 400 500
n = 10 n = 500
1
0.8
0.6
0.4
0.2
500 1000 1500 2000
n = 2000 n = 10000

37. n = 50 000 n = 500 000

38. Generador lineal congruente
• Más utilizados
• Periódo máximo de 2n para números de n-
bits
• Xn+1=( aXn + c ) mod m
• a, c, m son constantes
• X0 es la “semilla”

39. Portales sobre xs
• http://www.math.grin.edu/~stone/events/scheme-
workshop/random.html
• http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q210.h
tml
• Sitio con generadores de números aleatorios
http://www.agner.org/random/

40. Experimentos
• Forme dos equipos.
• Nombre un líder para cada equipo.
• Experimentos
– Sopa
– Palillos