Experimento Monte Carlo

1. La aguja de Buffón
Héctor René Vega-Carrillo
Ua Estudios Nucleares de la UAZ
Buzón-e: fermineutron@yahoo.com
URL: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html
Facebook: http://www.facebook.com/neutron.hadron
Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ingeniería Nuclear
Septiembre 2012

2. Contenido
► Introducción.
 Cálculo de p.
 Fundamento del cálculo.
► Experimento con palillos.
► Otra idea.
► Otro experimento.

3. Introducción
► Georges Louis Leclerc Compte de Buffon (1707-
1788) propuso un método para determinar el
valor de p.
► Setrazan líneas paralelas con una separación L
y se lanzan, al azar, un conjunto de agujas de
longitud L.
► Se cuentan aquellas que al caer cruzan una de
las líneas paralelas (éxitos) y se divide entre el
total de agujas lanzadas (ensayos)

5. ► Alhacer esto las posiciones extremas de las
agujas es 0 y 180 grados.
► En una posición intermedia,

6. ► El cateto opuesto es L
Senq,  q : 0, p
2
► Trazando f(q)
► El área bajo la curva p
 Senq dq
de f(q) es, L
a f ( q) 
2 0

7. Encerrando la función dentro de un rectángulo

8. ► El rectángulo tiene
dimensiones de L/2
por p.
► Por lo tanto el área del
rectángulo es,
L x p/2

9. ► Larazón entre la figura envuelta y la
envolvente es,
p
L
a f (q ) 2  Sen q dq
L 2
 0
 
ARECTÁNGULO L L p p
p
2 2

10. ► Si sobre la figura trazamos puntos al azar,
► No se observa ningún patrón.

11. ► Si trazamos más puntos,
► Notamos que el número de puntos está relacionado con
el tamaño de las áreas, es decir entre mayor sea el área
tendrá una mayor cantidad de puntos.

12. ► Si trazamos un número muy grande, digamos infinito, las
áreas quedarán totalmente cubiertas, y si los puntos que
yacen fuera de f(q) los hacemos de un color y los que
están dentro de f(q) los pintamos de otro color
observamos lo siguiente,

13. ► Si al número de puntos dentro de f(q) le
llamamos n, y al total de puntos trazados
(fuera y dentro de f(q)) lo denominamos
N.
► Podemos establecer que existe una
relación entre la razón n/N y la que existe
entre las áreas af(q)/ARECTÁNGULO.
a f (q ) 2 n
 
ARECTÁNGULO p N

14. ► Porlo tanto el valor de p se puede estimar
mediante,
N
p 2
n
► donde n es el total de puntos dentro de f(q)
(éxitos) y N es el total de puntos producidos
(ensayos).

15. EXPERIMENTO
CON
PALILLOS

16. ► Trace un conjunto de líneas paralelas cuya
separación sea del tamaño de la longitud de
los palillos.
► Repita el siguiente procedimiento N veces:
 Seleccione 20 palillos y arrójelos sobre las líneas.
 Cuente aquellos que crucen alguna de las líneas
(éxitos) e1, e2, etc.

17. ► Alfinalizar los N ensayos, sume el total de éxitos:
n = e1, e2, …, ei.
► Estime el valor de p de la siguiente forma,
20 N
p  2
 ei i

18. !OTRA IDEA¡

19. ► Vamos a estimar el valor de p utilizando
sopa de pasta.
► Pero antes vamos a los fundamentos del
método.
► Si tenemos un círculo de radio R.

21. ► El área del círculo es,
A Circulo  p R 2
► Si encerramos al círculo dentro de un cuadrado de
lado 2 R.

23. ► Elárea del cuadrado será 2 R x 2 R, es decir, 4
R2.
► La razón entre las áreas será,
2
A Cuadrado 4 R 4
 
A Círculo pR 2
p

24. ►Despejando p,

25. Si lanzamos, en forma aleatoria, las sopas sobre la figura y
solo tomamos en cuenta las que caen dentro del cuadro
(N), algunas yacerán dentro del circulo (n).
El área del cuadro será proporcional a N, mientras que el
área del círculo será proporcional a n.

26. Por lo tanto, el valor de p se puede estimar mediante,

27. ► Parahacerlo aún más simple seleccionemos
un cuadrante de la figura,

28. ► Trace un cuadrado y dentro de él una cuarta parte
del círculo.
► Repita el siguiente procedimiento N veces.
 Tome un número fijo de sopas, digamos 50.
 Láncelas en la figura y cuente aquellos que se
encuentren dentro de la sección circular (éxitos), e1, e2,
…, ei.
 Algunos caerán fuera de la figura, esos réstelos de los
50 lanzados, (50 – Total que cayeron fuera) a la
cantidad que resulte llámele h.

29. ► Registresus datos en una tabla como la
siguiente,

30. ► Estime el valor de p mediante,