Método analítico para resolver circuitos de redes múltiples

1. APLICACIÓN DE LAS LEYES DE
KIRCHHOFF
PARA RESOLVER
ANÁLISIS DE MALLAS.
Realizado por:
Ing. Omar J. Ramírez

2. Analizaremos el siguiente circuito Separemos el circuito en sus
mallas principales (i)
b
ca d
Eab
e
Eab
a
b
c
d
e
R1
R2R3
R4
R6 R5
Malla 2
Malla 1 Malla 3
i2
i1 i3
(i) Toda malla que no contiene a otra.

3. Procederemos a establecer la primera ley de Kirchhoff:
A.- La suma de las caídas de voltaje en el recorrido de cualquier malla es igual
a la suma de las elevaciones de voltaje de las fuentes de dicha malla, es decir:
Malla 1: Vad + Vde + Vea = 0 No existe fuente alguna en esta malla.
Malla 2: Vbc + Vcd + Vda = Eab
Malla 3: Vce + Ved + Vdc = 0 No existe fuente alguna en esta malla.
B.- Aplicando la ley de Ohm, tendremos:
Malla 1: R3.iad + R4.ide + R6.iea = 0
Malla 2: R1.ibc + R2.icd + R3.ida = Eab
Malla 3: R5.ice + R4.ied + R2.idc = 0
Observamos que:
iad = i1 – i2; ide = i1 – i3; iea = i1
icd = i2 – i3; ida = i2 – i1; ibc = i2
ied = i3 – i1; idc = i3 – i2; ice = i3

4. Malla 1: R3.(i1 – i2) + R4.(i1 – i3) + R6.i1 = 0
Malla 2: R1. i2 + R2.(i2 – i3) + R3.(i2 – i1) = Eab
Malla 3: R5. i3 + R4.(i3 – i1) + R2.(i3 – i2) = 0
Reemplazando las corriente entre los nodos:
Reagrupando términos en función de las corrientes:
Malla 1: (R3 + R4 + R6) i1 – R3 i2 – R4 i3 = 0
Malla 2: – R3 i1 + (R1 + R2 + R3) i2 – R2 i3 = Eab
Malla 3: – R4 i1 – R2 i2 + (R2 + R 5 + R4) i3 = 0
Se nos ha generado un sistema de ecuaciones simultáneas, es decir:
Malla 1: R11 i1 + R12 i2 + R13 i3 = 0 (1)
Malla 2: R21 i1 + R22 i2 + R23 i3 = Eab (2)
Malla 3: R31 i1 + R32 i2 + R33 i3 = 0 (3)

5. MOMENCLATURA:
RJK
Malla en particular donde está la resistencia.
Corriente que está pasando por la Resistencia.
Si J = K se tendrá una Resistencia Propia, las resistencias que pertenecen
a esa malla por donde circula su propia corriente.
Si J ≠ K Se tendrá una Resistencia Mutua, La (s) resistencia (s) que está (n)
en la malla J por donde circula la corriente de una malla vecina K.

6. Malla 1: R11 i1 + R12 i2 + R13 i3 = 0 (1)
Malla 2: R21 i1 + R22 i2 + R23 i3 = Eab (2)
Malla 3: R31 i1 + R32 i2 + R33 i3 = 0 (3)
Refiriéndonos a las siguientes ecuaciones, tendremos:
R11 = R3 + R4 + R6
R22 = R1 + R2 + R3
R33 = R2 + R5 + R4
Resistencias Propias Resistencias Mutuas (ii)
R12 = R21 = - R3
R13 = R31 = - R4
R23 = R23 = - R2
(ii) Las Resistencias Mutuas no son negativas, este signo indica que las
corrientes que circulan por dicho ramal están encontradas o en sentidos
opuestos. Es decir, que si dichas corrientes circulan en el mismo sentido
en dicho ramal, tendrá un signo positivo.
(iii) Al realizar la suma algebraica de las fuentes, se debe considerar que la
misma será positiva si su sentido es el mismo que la corriente asignada
por el usuario, caso contrario, será negativa.
Sumatoria de fuentes (iii)
∑E1 = 0
∑E2 = Eab
∑E3= 0

7. Malla 1: R11 i1 + R12 i2 + R13 i3 + . . . . + R1n in = ∑ E1n
Malla 2:
Malla 3:
En General, podremos recurrir a un sistema de ecuaciones simultáneas: (a)
Malla n:
.
.
.
.
R21 i1 + R22 i2 + R23 i3 + . . . . + R2n in = ∑ E2n
R31 i1 + R32 i2 + R33 i3 + . . . . + R3n in = ∑ E3n
Rn1 i1 + Rn2 i2 + Rn3 i3 + . . . . + Rnn in = ∑ Enn
.
.
(a) Sistema de ecuaciones simultáneas que puede ser resuelto con
el algebra de determinantes de orden n.

8. Ejemplo: (Asignándole valores a los elementos del circuito analizado)
Eab
a
b
c
d
e
R1
R2R3
R4
R6 R5
i2
i1 i3
Datos (iv):
R1 = R6 = 3 Ω
R3 = R4 = 2 Ω
R5 = R2 = 1 Ω
Eab = 4 V
(iv) No se está considerando la resistencia
interna que está presente en cada fuente,
la cual se denotaría con R minúscula.

9. Para facilitar el cálculo se procederá a señalar cada paso.
1. Asignar en cada malla principal la dirección de las corrientes, se sugiere
colocarlas todas en el mismo sentido, horario o anti-horario.
2. Asignar la dirección de cada fuente, de la placa negativa hacia la positiva.
3. Calculo de las resistencias propias y mutuas:
R11 = R3 + R4 + R6 = 7 Ω
R22 = R1 + R2 + R3 = 6 Ω
R33 = R2 + R5 + R4 = 4 Ω
R12 = R21 = - R3 = - 2 Ω
R13 = R31 = - R4 = - 2 Ω
R23 = R23 = - R2 = - 1 Ω
4. Cálculo de la suma algebraica de las fuentes en cada malla:
∑E1 = 0 ∑E2 = Eab = 4 V ∑E3 = 0
5. Establecer sistema de ecuaciones que representará al circuito:
Malla 1: R11 i1 + R12 i2 + R13 i3 = ∑E1 (1)
Malla 2: R21 i1 + R22 i2 + R23 i3 = ∑E2 (2)
Malla 3: R31 i1 + R32 i2 + R33 i3 = ∑E3 (3)

10. 6. Reemplazo de valores calculados en los pasos 3 y 4:
7 i1 - 2 i2 - 2 i3 = 0 (1a)
- 2 i1 + 6 i2 - i3 = 4 (2b)
-2i1 - i2 + 4 i3 = 0 (3c)
7. Para resolver se utilizará el método de determinantes, obteniéndose:
I1 = 0.354 A I2 = 0.850 A I3 = 0.389 A
8. Es conveniente, más no mandatorio, comprobar los resultados
reemplazando los valores en algunas de las ecuaciones del paso 6.
- 2 (0.354) + 6 (0.850) - (0.389) = 4 (2b)
4.003 = 4.00 ok
9. Es probable que se tenga que calcular alguna de las caídas de tensión:
Vda = R2. Ida = R2 (i2 - i1) = 0.496 Volts
Vcb = R1. icb = R1. i2 = 2.55 Volts

11. Comentarios finales:
1. Al calcular las resistencias mutuas, considerar.
a) Que puedan haber más de una resistencia, ambas deben
considerar su signo dependiendo de las direcciones de las
corrientes.
b) Si no hay resistencia mutua, es decir valor nulo (+/-0), es
conveniente colocarle el signo.
2. Las resistencias propias serán siempre la suma de las resistencias y
serán positivas, sería la diagonal principal del sistema de ecuaciones.
3. Un valor negativo de la corriente calculada indicará que su sentido
real será en sentido contrario al supuesto.
4. Si la dirección de la fuente es en la misma que se ha señalado en la
malla, se considera como fuente con valor positivo, si ambos sentido
chocan o son opuestos, el valor de la fuente será negativa.
5. Antes de resolver el sistema de ecuaciones simultáneas mediante el
sistema determinantes, familiarizarse con el método sugerido en las
bibliografías.
6. Se sugiere comprobar los valores obtenidos del sistema de
ecuaciones.

12. Bibliografía:
1. Electric Circuits –Principles of Electrical Engineering Series.
Department of Electrical Engineering – M.I.T Cambrige Massachusetts.
April 1962 – pag. 124 – 127
2. Ley de Voltajes de Kirchhoff. Método de Mallas.
Antony García González, Julio 2013.
3. Video. Métodos de MALLAS en circuitos, muy bien explicado.
http://www.youtube.com/watch?v=wX-mHT
4. Video. Clase 62: Teoría sobre leyes de Kirchhoff, más un problema
Cesar Antonio Izquierdo Merlo
http://youtu.be/wiYKrBZoDm4
5. 01 Mallas en Circuitos Eléctricos de Corriente Directa.
http://es.onlinemschool.com/math/assi
6. TEORIA DE CIRCUITOS – Tema 2 Método de análisis. PDF
Josep Luis Rosello, Feb. 2011
7. Sistema de Ecuaciones simultáneas 3 x 3: determinantes
http://math2me.com
José Andalón, 22 agosto 2010.