Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica cuantificacional o de predicados. Explica que la cuantificación permite simbolizar y revelar la estructura lógica interna de enunciados no compuestos. Describe las proposiciones singulares, las funciones proposicionales y cómo se usan los cuantificadores universal y existencial junto con variables para expresar enunciados generales. También cubre las proposiciones negativas, la equivalencia lógica y presenta una matriz que muestra las conexiones entre

1. LÓGICA CUANTIFICACIONAL
O DE PREDICADOS
Rodrigo Jurado, MA

2. LA CUANTIFICACIÓN
Todos los humanos son mortales.
Sócrates es humano.
Por tanto, Sócrates es mortal.
Simbolizado:
T
H
∴ M
Parecería ser inválido porque las premisas no son compuestas y no se
puede revelar la estructura interna del argumento con los métodos
anteriores. Se necesita un método con el que los enunciados no
compuestos puedan describirse y simbolizarse de tal manera que sea
revelada su estructura interna lógica. La cuantificación es ese método.
Es decir, con la cuantificación, la estructura interna de las
proposiciones, las relaciones de sujetos y predicados, queda a la vista y
accesible gracias a los cuantificadores.

3. PROPOSICIONES SINGULARES
Una proposición singular afirmativa indica que un
individuo particular tiene un atributo (i.e.
característica) específico.
Ej.: Sócrates es humano.
“Sócrates” es el sujeto.
“humano” es el predicado.
El sujeto denota a un individuo
particular.
El predicado designa algún atributo a ese
individuo..

4. ALGUNAS REGLAS
1. El sujeto puede ocurrir en diferentes proposiciones.
Ej.: Sócrates es mortal. / Sócrates es gordo. / Etc.
2. El predicado puede ocurrir en diferentes proposiciones.
Ej.: Aristóteles es humano. / Brasil es humano. / Etc.
3. “Individuo” puede referirse no únicamente a personas, sino a cualquier cosa
individual (e.g. un país, un libro, etc.).
4. Los atributos no tienen que ser adjetivos; también pueden ser sustantivos.
Ej.: No es necesario distinguir entre “Samuel es humano” y “Samuel es un
humano”.
5. Los predicados también pueden ser verbos.
Ej.: “Adán escribe” puede expresarse así: “Adán es escritor”.
6. En la Lógica de predicados se ignora el factor tiempo y se utiliza el verbo “es”
en el sentido atemporal (i.e. es, será o ha sido).
7. Para denotar individuos utilizamos letras minúsculas de la a a la w. Es
conveniente denotar a un individuo por la primera letra de su nombre. Ej.: s
para Sócrates.
8. Para simbolizar atributos se utilizan letras mayúsculas. Es conveniente utilizar
la primera letra del atributo referido. Ej.: H para humano.

5. EL SÍMBOLO Hx
1. La constante individual, que es un símbolo utilizado en la notación lógica para denotar a
un individuo, puede constituir los nombres.
2. Una variable individual es un símbolo utilizado como marcador de posición para una
constante individual.
3. Hx es una función proposicional porque contiene una variable individual “(x)”, y porque
se convierte en un enunciado cuando una constante individual (“Sócrates”, por ejemplo)
es sustituida por la variable individual “(x)”.
4. Una función proposicional tendrá algunas instancias de sustitución verdaderas y otras
falsas. Ej.: si H simboliza “humano”, s simboliza “Sócrates” y c simboliza “Chicago”,
entonces Hs es verdadera y Hc es falsa.
5. Primero tenemos la función proposicional; luego, con la sustitución, tenemos una
proposición.
6. Existe un número ilimitado de funciones: Hx, Mx, Bx... Éstas son predicados simples
porque son funciones que tienen algunas instancias de sustitución verdaderas y algunas
falsas, cada una de las cuales es una proposición singular afirmativa.
7. La generalización es el proceso de formar una proposición a partir de una función
proposicional, colocando un cuantificador universal o existencial antes de ésta.

6. Instancia de sustitución se refiere a la sustitución de enunciados por
variables. El argumento que obtengo al hacer eso es una instancia de
sustitución. (Cualquier enunciado que resulte de la sustitución
consistente de enunciados por variables enunciativas es una instancia
de sustitución de la forma enunciativa).
Ejemplo:
M = “mortal”
Mx = Es una función proposicional que dice: “X es mortal”.
Ms: Es una instancia de sustitución de Mx, una proposición singular
afirmativa que dice: “Sócrates es mortal” (en el caso de que “s”
simbolice “Sócrates”).
INSTANCIA DE SUSTITUCIÓN (RECORDATORIO)
individuo atributo

7. CUANTIFICADOR UNIVERSAL: (x) Mx
“Todo es mortal”.
Todas las cosas son mortales.
Dada cualquier cosa individual, ésta es mortal.
Dada cualquier x, x es mortal.
Dada cualquier x, Mx.
(x) Mx
X, la variable individual, reemplaza
al pronombre (“ésta”) y su
antecedente (“cosa individual”):
Ésta reemplaza a “cosa”:
Dada cualquier x se llama el
cuantificador universal y se
simboliza como “(x)”.
¿Qué pasa si se quiera afirmar que más de un individuo posee el atributo en cuestión?
Es igual a:
Ejemplo:
Cuantificador
universal:
(x)
en (x) Mx

8. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: (Ǝx) Bx
“Algo es bello”.
Existe por lo menos una cosa que es bella.
Existe al menos una x tal que x es bella.
Existe al menos una x tal que Bx.
(Ǝx) Bx
X, la variable individual, reemplaza
al pronombre (“que”) y su
antecedente (“cosa”):
“Existe al menos una x tal que” se
llama el cuantificador existencial y
se simboliza como “(Ǝx)”:
Utilizamos la notación de
predicados (i.e. Bx) para sustituir
“X es bella”:
Ejemplo:
Es igual a la siguiente proposición,
donde “que” nos remite a “cosa”:
Cuantificador existencial:
(Ǝx)
en (Ǝx) Bx

9. El SIGNIFICADO DE “UNIVERSAL” & “EXISTENCIAL”
1. La cuantificación universal de una función
proposicional, (x)Mx, es verdadera si y sólo si
todas sus instancias de sustitución son
verdaderas.
2. La cuantificación existencial de una función
proposicional, (Ǝx) Mx, es verdadera si y solo si
posee al menos una instancia de sustitución
verdadera.

10. PROPOSICIONES NEGATIVAS
No todas las proposiciones son afirmativas. Uno
puede negar que Sócrates es mortal, diciendo:
~Ms, “Sócrates no es mortal”.
Si Ms es una instancia de sustitución de Mx,
entonces ~Ms puede considerarse una instancia de
sustitución de la función proposicional ~Mx.

11. “Nada es perfecto”.
Todo es imperfecto.
Dada cualquier cosa individual, ésta no es perfecta.
Dada cualquier cosa x, x no es perfecta.
(x) ~Px
EJEMPLO DE PROPOSICIONES NEGATIVAS
Si P simboliza “ser perfecto”,
con el cuantificador y el signo
de negación se puede expresar
la proposición “Nada es
perfecto” así:
Que a su vez puede escribirse
como:
Que puede reescribirse como:
Puede parafrasearse como:
Ejemplo:

12. EQUIVALENCIA LÓGICA (RECORDATORIO)
1. La equivalencia material (≡) (e.g. bicondicional) es una conectiva que
puede ser verdadera o falsa, dependiendo de la verdad o falsedad de los
elementos que conecta.
Ej.: Ricardo se pone de mal humor si y solo si Andrea llora. R ≡ A
2. La equivalencia lógica (≡), en cambio, no es una conectiva. Expresa una
relación que no es veritativa-funcional entre dos enunciados.
3. Dos enunciados son lógicamente equivalentes solo cuando les es
absolutamente imposible tener diferentes valores de verdad. Pero si dos
enunciados siempre tienen el mismo valor de verdad, tienen que tener el
mismo significado y, en ese caso, pueden sustituirse el uno al otro en
cualquier contexto veritativo-funcional sin cambiar el valor de verdad de
ese contexto.
4. Los enunciados que solo son equivalentes materialmente, no pueden
sustituirse el uno al otro.
T

13. 1. “Todo es mortal” ((x) Mx) es negada por “Algo no es mortal”
((Ǝx) ~Mx). Por tanto,
2. “Todo es mortal” ((x) Mx) es igual a decir “No existe nada que no sea
mortal” (~(Ǝx)~Mx). Por tanto,
3. “Nada es mortal” ((x) ~Mx) es negada por “Algo es mortal” ((Ǝx)
Mx). Por tanto,
4. “Todo no es mortal” expresa lo mismo que “No existe nada que sea
mortal”. Por tanto,
CONEXIONES ENTRE LA CUANTIFICACIÓN UNIVERSAL Y LA EXISTENCIAL
~(x)Mx ≡ (Ǝx)~Mx
T
(x)~Mx ≡ ~(Ǝx)Mx
T
(x)Mx ≡ ~(Ǝx)~Mx
T
~(x)~Mx ≡ (Ǝx)Mx
T

14. Antes de enlistar los cuatro bicondicionales, reemplazamos el predicado
M (para mortal) con el símbolo ф (la letra griega phi), que representa
cada predicado simple, cualquier que éste sea.
Antes: Ahora:
(x)Mx ≡ ~(Ǝx)~Mx [(x)фx] ≡ [~(Ǝx)~фx]
~(x)~Mx ≡ (Ǝx)Mx [(Ǝx)фx] ≡ [~(x)~фx]
(x)~Mx ≡ ~(Ǝx)Mx [(x)~фx] ≡ [~(Ǝx)фx]
~(x)Mx ≡ (Ǝx)~Mx [(Ǝx)~фx] ≡ [~(x)фx]
CONEXIONES GENERALES

15. Lista:
[(x)фx] ≡ [~(Ǝx)~фx]
[(Ǝx)фx] ≡ [~(x)~фx]
[(x)~фx] ≡ [~(Ǝx)фx]
[(Ǝx)~фx] ≡ [~(x)фx]
MATRIZ DE CONEXIONES GENERALES
Contrarias
Subcontrarias
(x)фx (x)~фx
(Ǝx)фx (Ǝx)~фx
Matriz

16. LECTURA DE LA MATRIZ
Contrarias
Subcontrarias
(x)фx (x)~фx
(Ǝx)фx (Ǝx)~фx
1. Las dos proposiciones superiores
son contrarias. Ambas pueden
ser falsas, pero no pueden ser
ambas verdaderas.
2. Las dos proposiciones inferiores
son subcontrarias. Ambas
pueden ser verdaderas, pero
ambas no pueden ser falsas.
3. Las proposiciones que están en
los extremos opuestos de las
diagonales son contradictorias.
Una debe ser verdadera y la otra
debe ser falsa.
4. En cada lado de la matriz, la
verdad de la proposición inferior
está implicada por la verdad de la
proposición que está directa-
mente arriba de ella.

17. LECTURA DE LA MATRIZ
Contrarias
Subcontrarias
(x)фx (x)~фx
(Ǝx)фx (Ǝx)~фx
1. (x)фx:
Todo es _____.
Dada cualquier cosa x, x es
_____.
2. (x)~фx:
Todo no es _____.
Dada cualquier cosa x, x no es
_____.
3. (Ǝx)фx:
Algo es _____.
Existe al menos una x tal que x es
_____.
4. (Ǝx)~фx:
Algo no es _____.
Existe al menos una x tal que x no
es _____.