Lógica matemática

Lógica Matemática
1. Concepto de lógica matemática:
Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento; utilizando el
lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico.
La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias
lógicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas que participan
en el análisis de argumentos planteados.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el
que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje
formal.
Dentro de la misma, se complementa también de la heurística para resolver
problemas y es muy útil en matemáticas.
Suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la
demostración, teoría de conjuntos y teoría de los sistemas formales en relación
con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones y computación.
Objetivos
El objetivo de la lógica matemática es cuestionar los conceptos y las reglas de
deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto constituye a la lógica una
verdadera matemática.
Álgebra de la lógica
Parte de la lógica matemática basada en la aplicación de los métodos algebraicos al
estudio de los objetos lógicos: clases y proposiciones. Por una parte, la proposición
expresa un sentido (juicio); por otra, designa una verdad (V) o una mentira (M).
Así, las proposiciones «El Volga desemboca en el mar Caspio» y «2 x 2= 4»

expresan un sentido diferente, pero ambas designan una verdad (tienen el
significado de V).
El álgebra de la lógica examina las proposiciones sólo desde el punto de vista de su
significado, con la particularidad de que se consideran equivalentes las que poseen
un mismo significado de veracidad.
El álgebra de la lógica utiliza la notación simbólica (Simbolismo lógico). Además de
los símbolos de las proposiciones, se emplean símbolos para las operaciones:
conjunción, disyunción, implicación, negación, con los cuales el álgebra de la lógica
forma unas expresiones partiendo de otras.
Una expresión será compuesta si ha sido formada por otras mediante operaciones
algebraicas lógicas; en el caso contrario, será simple. Dos expresiones se llaman
equivalentes si en cada combinación posible de significados de las expresiones
simples en ellas contenidas presentan significados iguales. AsíA ® B es equivalente
a Aœ Ë B, dado que en las cuatro posibles combinaciones de significados de V y M
para A y B: VV, VM, MV, MM, A ® B presenta el mismo significado que Aœ Ë B.
En relación con los conceptos introducidos, se plantean en el álgebra de la lógica
una serie de problemas a cuya resolución se aplica esta disciplina. Históricamente,
el álgebra de la lógica surgió como álgebra de las clases (Boole) y sólo después fue
interpretada como álgebra de las proposiciones. Con los trabajos de V. I. Shestakov
y de Claude Shannon, el álgebra de la lógica encuentra amplia aplicación en la
teoría de los esquemas eléctricos y de los esquemas con relés de contacto.
2. Definición y clases de proporciones.
En el idioma científico, una proposición se refiere a un enunciado que puede ser
verdadero o falso, generalmente una oración enunciativa, base de lo que
constituye el lenguaje formal de la lógica simbólica.
Una proposición lógica es Expresión enunciativa a la que puede atribuirse un
sentido o función lógica de verdad o falsedad.
Propiedad fundamental de las Proporciones:
En una proporción se cumple SIEMPRE que el producto de los extremos es igual al
de los medios.

En las proporciones siguientes identifica el valor que debe tener x e identifica
extremos y medios de la proporción:
x/3 = 4/6
1/3=x/27
2:3=3:x
CLASES DE PROPORCIÓN
1. Proporción aritmética: Es la igualdad entre dos razones aritméticas
Ejemplo
Si 43 excede a 25 como 60 excede a 42, se puede escribir:
43 – 25 = 60 -42
Dónde:
43 y 60: antecedentes
25 y 42: consecuentes
43 y 42: términos extremo
25 y 60: términos medios
Propiedad: suma de términos extremos = suma de términos medios
43 + 43 = 25 + 60
Tipos de proporción aritmética
a) Discreta. (términos medios diferentes)
a – b = c – d
Dónde
d : es la cuarta diferencial de a ,b y c

Ejemplo
Halle la cuarta diferencial de 8; 3 y 10
Luego:
8 – 3 = 10 – x
x = 5
b) Continua. (Términos medios iguales)
a – b = b – c
Donde
c : tercera diferencial de a y b.
b : la media diferencial de a y c.
Ejemplo
Halle la media diferencial de 70 y 36.
Sea x la media diferencial, luego:
70 – x = x – 36
x = (70 + 36)/2
x = 53
2. Proporción geométrica: es la igualdad de dos razones geométricas.
Ejemplo
En una quincena un obrero gana S/.320, ¿cuánto tiempo tendrá que trabajar para ganar
S/.4160?
Resolución
En una quincena se gana S/.320; como en x quincenas se gana S/.4160.

x = 13 quincenas
Dónde:
1 y x: antecedentes
320 y 4160: consecuentes
1 y 4160: términos extremos
320 y x: términos extremos
Propiedad: “Producto de términos extremos = Producto de términos medio”
1 x 4160 = 320 x 13
Tipos de proporción geométrica
 a) Discreta. (Términos medios diferentes)
Dónde:
d = la cuarta proporcional de a, b y c
Ejemplo
Halle la cuarta proporcional de 5,10 y 15
Sea x la cuarta proporcional, luego:
Por lo tanto:
b) Continua. (Términos medios iguales)

Dónde:
c = tercera proporcional de a y b
b = media proporcional de a y c
Ejemplo
Halle le media proporcional de 16 y 25
Siendo x la media proporcional tendremos:
Por lo tanto: x = 20
Propiedad general de las proporciones geométricas
Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de una razón, en la
proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón.
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Serie de razones geométricas equivalentes

Es decir:
Antecedente = consecuente x razón
PROPIEDADES
Propiedad 1
Propiedad 2
Tipos de proposiciones
En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son abiertas,
significará que el conjunto de sustituciones está bien definido y la harán verdadera o falsa.
Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas,
dependiendo de cómo están conformadas.
Proposiciones Simples:
Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o
términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . .
entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no
entre oraciones.
Proposiciones Compuestas:
Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones
o términos de enlace entre oraciones componentes.

Ejemplos:
Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:
1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
2) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta)
3) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple)
4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)
5) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple)
6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta)
7) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta)
8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta)
9) No todos los números primos son impares. (Compuesta)
Algunas aclaraciones
a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo,
operativamente se consideran distintos. Similarmente 5) y 6).
b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x - 3 > 16, si x > 10.
3. Conectivos lógicos en proporciones compuesto
PROPOSICIONES COMPUESTASYCONECTIVOS LÓGICOS.
Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez
proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos.
Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En
particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con las cuales
combinamos proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que
hacer reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan proposiciones y,
para construir un álgebra necesitamos tener una manera simbólica de representar las
proposiciones simples y también las conectivas.
No debemos olvidar que dentro de la esfera de la lógica tradicional, calcada sobre un
gramaticismo un tanto confuso y discutible, el lenguaje corriente presenta ambigüedades.
Por eso, en la lógica moderna se trata de simplificar y de purificar el lenguaje lógico de
todo elemento que se preste a confusiones y de que, por la tanto, de lugar a
malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente:
Si quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente expresión
 Lenguaje natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"
 Se traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:
p = Pancho es un artista de cine

q = María se enojo
^ = conjunción conectiva "y"
Por lo pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores lógicos), signos de
importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como para la
determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término "conectivas" se
refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas.
Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos proposiciones coligativas a
aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión
de dos o más proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las
proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica
fundamental de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las
proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes:
a. LA NEGACIÓN (~):
Sea p una proposición. La negación de p es la proposición ~p que se lee “no p”, “no es
el caso que p” y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad.
p ~p
1 0
0 1
La tabla anterior dice, en forma sintética, que ~p es falsa cuando p es verdadera y que
~p es verdadera cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en
forma analítica mediante la siguiente igualdad:
VL (~p)= 1 –VL (p)
VL=Valor Lógico {0,1}
EJEMPLO 1:
“П no es un número racional “
p: П es un número racional
VL (p) = 0(falsa)
(~p) Es verdadera ya que p es falsa y se leer ía П no es un número racional
De forma analítica:
VL (~p) = 1-VL (p)
VL (~p) = 1-1
NOMBRE SIMBOLO TRADUCCIÓN
NEGACIÓN ~ No, no es el caso
CONJUNCIÓN ⋀ Y
DISYUNCIÓN (INCLUSIVA) V o
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA V o … o
CONDICIONAL → si …., entonces
BICONDICIONAL ↔ si y sólo si

VL (~p) = 0
b. LA CONJUNCIÓN (⋀)
Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p ⋀ q, que
se lee “p y q”, y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad:
p q p⋀q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
La tabla de verdad o la igualdad anterior nos indica que p ⋀ q es verdadera en el
caso de que p y q sean ambos verdaderos, y que es falso en los otros tres casos.
También se puede definir la conjunción mediante la siguiente igualdad:
VL (p ⋀ q)= min {VL (p), VL (q)}
Min es el valor mínimo de los valores lógico
EJEMPLO 2:
“2+2=5 y 3 es primo”
p: 2+2=5
q: 3 es primo
VL (p) =0
VL (q) =1
(p ⋀ q) es falsa, por que basta con que una sea falsa para que la proposición
compuesta sea falsa
VL (p ⋀ q) = min {VL (p), VL (q)}
VL (p ⋀ q) = min {0, 1}
VL (p ⋀ q) = 0
c. LA DISYUNCIÓN (V)
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se
lee “p o q”, y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad:
La tabla de verdad o la igualdad anterior nos indica que p v q es verdadera en el
caso de que p sea verdadera, q sean verdadera o ambas son verdaderas, y
solamente es falso cuando ambas, p y q, sean falsas.
p q pVq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

VL (p V q) = Max {VL (p), VL (q)}
Max es el valor máximo de los valores lógico
EJEMPLO 3:
“un cuadrilátero tiene cuatro lado ó 5 es par”
p: un cuadrilátero tiene cuatro lados
q: 5 es par
VL (p) =1
VL (q) =0
(p V q) es verdadera, porque basta con que una sea verdadera para que la
proposición compuesta sea verdadera
VL (p V q) = Max {VL (p), VL (q)}
VL (p V q) =Max {1, 0}
VL (p V q) =1
d. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA(⊻)
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la
proposición p ⊻ q, que se lee “o p o q”, y cuyo valor lógico está dado por la
siguiente tabla de verdad:
Comparando la tabla de verdad de la disyunción con la tabla de disyunción
exclusiva se ve que se diferencian en la primera fila. La disyunción exclusiva p ⊻ q
es falsa si ambas, p y q son verdaderas.
VL (p ⊻ q) = | VL (p), VL (q) |
EJEMPLO 4:
“ó 4 es múltiplo de 2 ó ½ es un número racional”
p: 4 es múltiplo de 2
q: ½ es un número racional
VL (p) =1
VL (q) =1
(p ⊻ q) es falsa, ya que ambos valores lógicos son iguales, verdaderos.
VL (p ⊻ q) = | VL (p)-VL (q) |
VL (p ⊻ q) = | 1-1 |
VL (p ⊻ q) = 0
p q p⊻q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

e. EL CONDICIONAL (→)
Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es
la proposición p → q, que se lee “si p, entonces q”, y cuyo valor lógico está dado
por la siguiente tabla de verdad:
antecedente→ consecuente
La tabla anterior nos dice que el condicional es falso sólo cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente falso; en cualquiera de los otros tres casos es falso.
VL (p →q) = min {VL (~p), VL (q)}
En Matemática, las proposiciones condicionales tienen especial relevancia, debido
a que la gran mayoría de sus teoremas son proposiciones de este tipo. En este
caso, al antecedente se llama hipótesis y al consecuente tesis.
Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:
“p sólo si q”.
“q si p”.
“p es una condición suficiente para q”.
“q es una condición necesaria para p”.
“q se sigue de p”.
“q a condición de p”.
“q es una consecuencia lógica de p”.
“q cuando p”.
EJEMPLO 5:
“Si -3 es un número real, entonces su cuadrado es positivo”
p: -3 es un número real
q: su cuadrado es positivo
VL (p) =1
VL (q) =1
(p → q) es Verdadera, ya que sólo es falso cuando el antecedente es positivo (p) y
el consecuente es falso (q).
VL (p → q) = Max {VL (~p), VL (q)}
VL (p → q) = Max {1-1,1}
VL (p → q) = Max {0,1}
VL (p → q) = 1
p q p→q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

f. EL BICONDICIONAL(↔)
Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la proposición p ↔ q, que
se lee “p si y solo si q”, o “p es condición necesaria y suficiente para que q” y cuyo valor
lógico está dado por la siguiente tabla de verdad:
La tabla nos dice que p↔q es verdadera cuando VL (p) =VL (q) y es falsa cuando VL (p) ≠
VL (q)
VL (p ↔ q) = min {VL (p →q), VL (q →p)}
EJEMPLO 6:
“Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud mayor. T es
rectángulo si, y sólo si a2+b2 = c2”
p: T es rectángulo
q: a2+b2 = c2
VL (p) =1
VL (q) =1
(p ↔ q) es Verdadera, ya que ambas proposiciones tienes el mismo valor lógico
VL (p ↔ q) = min {VL (p →q), VL (q →p)}
VL (p ↔ q) = min {Max { VL(~p), VL(q) } , Max { VL(~q), VL(p) } }
VL (p ↔ q) = min {Max {1-1, 1}, Max {1-1, 1} }
VL (p ↔ q) = min {1, 1}
VL (p ↔ q) = 1
RESUMEN DE CONECTIVOSLÓGICOS:
p q p↔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p q ~p ~q p⋀q pVq p⊻q p→q p↔q
1 1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1 1

Con el uso de equivalencias lógicas se pueden expresar la disyunción exclusiva, el
condicional y la Bicondicional con los demás conectivos:
p ⊻ q ≡ ( p ⋀ ~q) V ( q ⋀ ~p)
p ↔q ≡ ( ~p V q ) ⋀ ( ~p V q )
p →q ≡ ( ~p V q )
4. Proporciones condicionales.
El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o
imprecisamente como implicación material, es una conectiva lógica que conecta
dos proposiciones. En lógica proposicional, el condicional material es una función de
verdad binaria, que se vuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y se
vuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como
una relación de subconjuntos entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).
En el lenguaje natural, el condicional se expresa por medio de palabras como las
siguientes:
 Si llueve (, entonces) voy al cine.
 Voy al cine a menos que no llueva.
 Voy al cine solo / solamente si llueve.
 Voy al cine si llueve.
 Cuando llueve, voy al cine.
 Si A, entonces B.
El condicional material intenta ser la versión formal de estas expresiones del lenguaje
natural, y en orden descendente de acuerdo a la frecuencia de uso, se denota
formalmente como:

Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen
respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.
Es importante no confundir el concepto de condicional material con el de implicación
lógica. La confusión es exacerbada porque los símbolos y son imprecisamente usados
como expresiones equivalentes por muchos, cuando realmente no lo son. Aunque en
conversaciones del día a día la diferencia no tiene mayor impacto, la diferencia sutil entre
ambos conceptos es significativa en el entendimiento correcto de la lógica proposicional.
5. Proposición Bicondicional
Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargó,
que ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 =
2," entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q ambas son
falsas. La proposición p↔q se define como la proposición (p→q) (q→p). Por
esta razón, la flecha de doble cabeza ↔ se llama el bicondicional.
Obtenemos la tabla de verdad para p↔q construyendo la tabla para (p→q)
(q→p), que nos da lo siguiente.
Bicondicional
El bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a q," se
define por la siguiente tabla de verdad.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
La flecha "↔" es el operador bicondicional.
Ten en cuenta que, en la tabla de verdad, vemos que, para p↔q ser verdadera,
ambas p y q deben tener los mismos valores de verdad; sí no, es falsa la conversa.
Algunas frases del Bionditional

Cada uno de los siguientes es equivalente al bicondicional p↔q.
p si y solo si q.
p es necesario y suficiente para q.
p es equivalente a q.
Ten en cuenta que p↔q es lógicamente equivalente a q↔p (se le pedirá
mostrar esto como un ejercicio), así que podemos invertir p y q en las frases de
arriba.
Para la frase "p si y solo si q," recuerde que "p si q" significa q→p mientras "p solo si
q" significa p→q. Para la frase "p es equivalente a q," las proposiciones A y B son
lógicamente equivalentes si y solo si la proposición A↔B es una tautológia (¿por
qué?). Regresaremos a ese tema en la siguiente sección.
Ejemplo
(a) Verdad o falsa? "1+1 = 3 si y solo si Marte es un agujero negro."
(b) Reformula la oración: "Enseño matemáticas si y solo si me pagan una gran suma
de dinero."
Solución
(a) Verdadera. La proposición dada tiene la forma p↔q, dónde p: "1+1=3" y q:
"Marte es un agujero negro." Ya que ambas proposiciones son falsas, el
bicondicional p↔q es verdadera.
(b) Aquí están algunas maneras equivalentes de expresar esta oración:
"Enseñar matemática es necesario y suficiente para que me paguen una gran suma
de dinero."
"Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño matemáticas."
Lamentablemente para nuestras finanzas, ninguna de las dos oraciones es verdad.
6. Tautología, Equivalencia y contradicción.
•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para
todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones

componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella
proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.
Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones
que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de
unas con otras. Sea el caso:
•CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella
proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y
contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el
caso:
7. Leyes notables en la lógica

a. Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la
doble negación, esto es, la negación de la negación de una
proposición p, eslógicamente equivalente a p. Expresado
simbólicamente, ¬ (¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición
implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante
diferencia entre la negación clásica e intuicionista. Algebraicamente, la
negación clásica es llamada una involución de periodo dos.
b. Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre
¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es
demostrable de forma clásica, si su doble negación es demostrable de
manera intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de
Glivenko.
c. Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la idempotencia es la
propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así
conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola
vez. Un elemento que cumple esta propiedad es
un elementoidempotente, o un idempotente. De esta manera, si un
elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo,
este elemento es idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números
reales que son idempotentes, para la operación producto (·), son 0 y 1.
(0·0=0,1·1=1).
d. Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir que no
importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero)
cuando sumas o cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
e. Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que
puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y
la respuesta va a ser la misma.

a + b = b + a
a × b = b × a
f. Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero
hay que usarla con mucho cuidado Quiere decir que la respuesta es la
misma cuando:
 sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
 haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
Leyes de Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de
Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de
inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
Y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos
proposiciones P y Q, de esta forma:
8. Métodos de demostración
Métodos de Demostración en Matemáticas Lic. Renzo Hubert Osorio Coya

En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se
construye su demostración formal aunque la proposición sea válida para un
número finito de casos no significa quesea válida para todo el universo, por ejemplo
la conjetura de Gold Bach (todo número par mayor que 2 puede escribirse como
suma de dos números primos) se ha verificado utilizando computadoras para
millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.
Veamos el siguiente razonamiento: Si x=y entonces:
3x=3y2y=2xluego:3x+2y=3y+2x3x-3y=2x-2y3(x-y)=2(x-y)3=2¿qué paso?
Aquí consideraremos los siguientes métodos de demostración: a) Método directo
de demostración b) Métodos indirectos de demostración por contrapositiva por
reducción al absurdo) Método de Inducción matemáticas) Método por
contraejemplo
A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Aquí se tiene como hipótesis verdaderas
las proposiciones P1, P2,…,Pn procediendo a la deducción de que la conclusión Q es
verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir como una cadena de
implicaciones lógicas. El esquema de demostración en el método directo es de la
forma: P1 ∧ P2 ∧… ∧ Pn → Q
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de
inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado Modus Ponens: [P∧
(P→Q)] →Q que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.
B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTOS Método de demostración por
contrapositiva Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las
proposiciones P→Q y ~Q→~P) Para realizar una demostración por el contrario
positiva se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como ~Q para
obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como ~P, ello se puede
generalizar para el caso que se tengan varias premisas.
Método de demostración por reducción al absurdo Se atribuye al filósofo griego
Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención del método de reducción al
absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde
entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas.

El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo
una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧Pn) → Q consiste en:1) Asumimos que la
condicional es falsa luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y~Q son verdaderas2) De
lo anterior debemos llegar a una contradicción, por lo que la condicional tiene que
ser verdadera.
Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo en
dos principios: principio de no contradicción ~ (p∧~p) considerada ley suprema de
la lógica según Kant y Aristóteles, que significa que una proposición no es verdadera
y falsas simultáneamente y el principio del tercero excluido (p∨~p) que significa que
una proposición es verdadera o falsa.
Si no son aceptados los principios anteriores, el método de reducción al absurdo
carece de fundamento lógico.
C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El
principio de inducción matemática es un principio universalmente válido en
matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números naturales
construidos por el matemático italiano Giuseppe Peano a finales del siglo XIX.
Las demostraciones por el principio de inducción matemática se consideran
indirectas. El principio de inducción matemática es utilizado para demostrar la
veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor o igual que
un valor inicial no, el principio de inducción matemática consiste en:
1) Inicialmente se verifica que la proposición p(n) es verdadera para n=no es decir p
(no) es verdadera.
2) Se enuncia la hipótesis de inducción: p (k) es verdadera para el número natural.
3) Usando la hipótesis de inducción enunciada en (2) y otras proposiciones
verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1) es verdadera. 4)
La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para todo n≥no
D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO Este método se aplica de manera muy particular
para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida
mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar la falsedad
de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de
un cierto conjunto".

“Una demostración consiste en una sucesión de fórmulas que, o bien son axiomas,
o bien son teoremas, o se han obtenido de éstas mediante inferencias admisibles”.
Hilbert “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a
aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”. Carl Friedrich Gauss
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir
demostración previa. Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni
demostrada pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser
referida.
Un lema es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema
menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general Un
teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal.
Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
Un corolario es una conclusión obvia o inevitable que se desprende de ciertos
antecedentes

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