Calculo de predicados

1. José Gutiérrez
Calculo de Predicados
Cualquier teoría científica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc...
Con una validez m ́as o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo
interesa afirmar que todos los individuos de un cierto campo tienen la propiedad p o que
algunos la tienen.
El cálculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que
se necesitan en matemáticas. Por ejemplo, afirmaciones como “x
= 5” ́o “x>y” no son proposiciones ya que no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin
embargo, asignando valores concretos a las variables x e y, las afirmaciones anteriores son
susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten en proposiciones
La lógica de predicados (también llamada lógica de primer orden) es una extensión de la
lógica proposicional que usa variables para los objetos
Si usamos x para representar a algún humano, la afirmación cada persona es Hombre o
mujer” se puede representar como ∀x(H(x)∨M(x)) donde H(x)= “x es hombre”, M(x)= “x es
mujer”
Estas variables se pueden combinar con símbolos de función para representar objetos
nuevos y con símbolos de predicado para describir relaciones entre objetos.
Sintaxis de la lógica de predicados
Los símbolos que introduce la lógica de predicados son:
 Variables individuales, que representan individuos indeterminados. Se emplean las
últimas letras minúsculas del alfabeto: x, y, z.
 Constantes individuales, que representan individuos determinados. Se utilizan las
primeras letras minúsculas del alfabeto: a, b, c, d.
 Variables predicativas, que representan predicados indeterminados. Se usan estas
letras mayúsculas: F, G, H.
 Cuantificadores, hacen referencia a la totalidad o a una parte de los miembros de
un conjunto. Pudiendo ser la generalización universal o particular, los
cuantificadores son de dos tipos:
o (∀...) también con (˄): cuantificador universal
o ( ∃...) también con (˅): cuantificador existencial o Particular
Los símbolos “∀” y “∃” se llaman cuantificadores. En el espacio vacío que le sigue dentro
del paréntesis se colocan o bien variables individuales como(∀x) y (∃x), y entonces estamos
en el ámbito de la lógica de predicados de primer orden; o bien, variables predicativas como
(∀F) y (∃F) situándonos, con esto, en el contexto de la lógica de predicados de segundo
orden.
Universales Existenciales
Todo Algún
Ninguno Alguno
Cada Hay no

2. Cualquiera Cierto
Universales Existenciales
∀ (x) ∃(x)
˄(x) ˅(x)
Ejemplos
Todos los actores son famosos
˄(x) ( A(x) I(x))
∀ (x) ( A(x) I(x))
Algunos padres son responsables
˅(x) (P(x) ˄ R(x))
∃(x) (P(x) ˄ R(x))
Negado
Algunos miembros no son padres
˅(x) (M(x) ˄ ¬P(x))
∃(x) (M(x) ˄ ¬P(x))
ninguna bicicletas vuela
˄(x) ( B(x) ¬V(x))
∀ (x) ( B(x) ¬V(x))
Todos los carros se mueven
˄(x) ( C(x) M(x))
No es cierto que algunos carros no se mueven
¬˅(x) (P(x) ˄ ¬R(x))
˄(x) ( C(x) M(x))= ¬˅(x) (P(x) ˄ ¬R(x))
Otros ejemplos
(˅(x) (P(x))) = ¬ (˄(x) ¬( P(x)))
¬ (˅(x) (P(x))) = (˄(x) ¬( P(x)))
(˄(x) ( P(x))) = ¬ (˅(x) ¬(P(x)))
¬(˄(x) ( P(x))) = (˅(x) ¬(P(x)))