apunte

1. Conjuntos
Francois Moraga
Semana 8
2019

2. 2.- Conjuntos
2.1.- Deniciones básicas
En matemática, un conjunto es una colección bien denida de objetos distintos.
Por ejemplo, podemos denir el conjunto de los números 2,4,6 y 8, e identicarlo con la letra A. En
símbolos, se escribe:
A = {2, 4, 6, 8}
Las llaves { } son los símbolos reservados para la denición de un conjunto.
Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Se dice de ellos que pertenecen
al conjunto. Que un objeto x pertenezca a (= sea elemento de ) un conjunto C se nota x ∈ C, y que no
pertenece a C se nota x /
∈ C.
En el ejemplo anterior, 2 ∈ A (2 es un elemento de A, pertenece a A) pero 3 /
∈ A (3 no pertenece a A).
Hay que hacer bien la distinción entre un conjunto y sus elementos. Por ejemplo, 1 (número) es distinto
de {1} (conjunto). Especialmente, no tiene sentido 2 ∈ 1. En cambio 2 ∈ {1} es una proposición bien
formada (y falsa).
Ejemplo.
{(1, 2) , (3, 2) , (1, 1)} un conjunto de pares de números.
{x, y, z} un conjunto de variables.
{{1}, {1, 2}, {2, 5}} un conjunto de conjuntos.
{1, π {1}, {1, 2}} un conjunto de varios tipos de objetos.
Conjunto y orden o repetición de los elementos
La denición de un conjunto no toma en cuenta ningún orden de sus elementos. El conjunto A del ejemplo
anterior pude igualmente denirse como {2, 6, 4, 8}, o {8, 6, 4, 2}, o ... Las colecciones odenadas de objetos
se llaman sucesiones y se suelen notar con paréntesis, como por ejemplo (2, 4, 6, 8) (una sucesión con cuatro
términos), o (2, 6, 4, 8) (una sucesión distinta de la anterior).
Observar que, por denición, un conjunto tiene sus elementos distintos, por lo cual es incorrecto escribir
{2, 4, 2}. En cambio, una sucesión puede tener elementos repetidos: (2, 4, 2) es una sucesión bien denida.

3. Conjunto nitos y conjuntos innitos
Un conjunto puede ser nito o innito. El número de elementos de un conjunto nito se llama su cardinal,
y se nota con doble barra | | o con #. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6, 8} entonces |A| = 4 (A tiene cuatro
elementos o A tiene cardinal cuatro). Se puede notar también #A = 4.
Denir un conjunto por una propiedad característica de sus elementos
En vez de denir un conjunto dando la lista explicita de sus elementos, se puede denir dando una
propiedad caraceterística de sus elementos. Por ejemplo:
Sea B el conjunto de todos los números enteros pares n que cumplen con n ≥ 2 y n 9.
Esta denición se escribe con símbolos de la manera siguiente:
B = {n | es un entero y n ≥ 2 y n 9}
Explicación:
Las llaves { y } indican que se va a denir un conjunto.
{n | . . .} se lee el conjunto de los n tal que . . . y a continuación se da la propiedad característica de
los elementos del conjunto.
Mencionar que la letra n no juega ningún papel particular, y se puede igualmente denir B como, por
ejemplo:
B = {w | w es un entero y w ≥ 2 y w 9}
Ejemplo. Tenemos
[0, +∞[=
x2 | x ∈ R
x ∈ R | x ≥ 0 y x2 ≤ x = [0, 1]
Dar una descripción más simple de
x ∈ R | x2 = x .
El conjunto vacío
El conjunto más pequeño de todos es { }, el conjunto vacío. Es el conjunto sin ningún elemento. Se
suele notar ∅. Su cardinal es 0. Tiene muchas descripciones: para una propiedade dada nunca se da, es el
conjunto de los elementos que cumplen esta propiedad.
Ejemplo.
∅ = {x | x ∈ N y x + 1 = x}
Producto cartesiano de dos conjuntos
Denición Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a está en A
y b en B se denomina producto cartesiano de A por B, y se nota A × B.

4. Ejemplo. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, entonces el producto carteriaso
A × B = {(1, a) , (1, e) , (2, a) , (2, e) , (3, a) , (3, e)}
Podemos expresarlo en una tabla:
1 2 3
a (1, a) (2, a) (3, a)
e (1, e) (2, e) (3, e)
Esto nos deja ver claramente que, si los conjuntos A y B son nitos, entonces |A × B| = |A|·|B| (el cardinal
del producto cartersiano en el producto de los cardinales).
Ejemplo. El conjunto R × R (también notado R2) es el conjunto de todos los pares ordenados de números
reales: los (x, y), que podemos identicar a los puntos del plano.
2.2 Subconjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento
de B. Se nota A ⊆ B cuando A es un subconjunto de B (la notación debe evocar A es más pequeño que
B), y A 6⊂ B
Ejemplo.
{1, 2} ⊂ {1, 2, 3} pero {1, 4} 6⊂ {1, 2, 3} ya que /
∈ {1, 2, 3}.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
∅ ⊂ {1, 2}. De hecho, ∅ es un subconjunto de todos los conjuntos.
Para decir que A es un subconjunto de B, se dice también que A, es una parte de B, que A esta contenido
en B, que A esta incluido en B, o que B contiene A.
2.3.- Operaciones con conjuntos: unión, intersección, diferencia
Consideramos como ejemplo para las deniciones que siguen
X = {1, 2, 3} e Y = {1, 3, 5, 7}
La unión A ∪ B de dos conjuntos A y B es el conjunto de los objetos que pertenecen a (por lo menos)
uno de los conjuntos.
Ejemplo. X ∪ Y = {1, 2, 3, 5, 7}.
La intersección A ∩ B de dos conjuntos A y B es el conjunto de los objetos que pertenecen a sendos
conjuntos A e B.

5. Ejemplo. X ∩ Y = {1, 3}.
La diferencia A − B (A menos B) es el conjunto de los objetos que pertenecen a A pero no a B.
Ejemplo. X − Y = {2}, Y − X = {5, 7}. Se nota también a veces A B
Representamos convenientemente la unión, la intersección, la diferencia de dos conjuntos, al igual que otras
operaciones, mediante diagramas como los de la gura.
A B
Diagra de Venn A − B
A B
Diagra de Venn B − A
A B
Diagra de Venn A ∪ B
Cuando B es un subconjunto de A, entonces la diferencia A − B se llama también complementario de A
en B. A menudo, el conjunto A es jado sin ambiguedad. En este caso el complemento de B en A se denota
por Ac.
Se dene igualmente la unión de una colección cualquiera de conjuntos: el conjuntos de los objetos que
pertecen a por lo menos uno de los conjuntos. Y la intersección de una colección cualquiera de conjuntos: el
conjunto de los objetos que pertencen a todos los conjuntos de la colección.
Ejemplo. Consideramos los conjunto
0, 1
n
para todos los enteros positivos n. Los conjuntos de esta co-
lección son los intervalos [0, 1] (asociado a n = 1),
0, 1
2
(asociado a n = 2),
0, 1
3
(asociado a n = 3)... La
intersección de esta colección innita de conjunto es {0}.
Se dice de dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es vacía (A ∩ B) = ∅.
Ejemplo. Los intervalos ] − ∞, 0] y [0, +∞[ no son disjuntas, ya que su intersección es {0}. Los intervalos
abiertos ] − ∞, 0[ y ]0, ∞[ son disjuntos. Los intervalos ] − ∞, 0] y ]0, +∞[ también son disjuntos.
Sabemos que la adición y las multiplicación de los números son conmutativas (a+b = b+a , a×b = b×a),
asociativa ((a + b) + c) = (a + (b + c)) y similarmente para ×, pero al contrario de la división, por ejemplo,
que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición a×(b+c) = (a×b)+(a×c). Podemos, de manera
similar, hacer una lista de propiedades de las operaciones ∪, ∩ y complementario sobre los subconjuntos de
un conjunto jo X. Ver el siguiente listado de propiedades de conjutos:
Fórmulas de conjuntos
1. Ley de doble complemento
(Ac
)c
= A

6. 2. Leyes de Morgan
(A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
; (A ∩ B)c
= Ac
∪ Bc
3. Conmutatividad de ∩ y ∪:
A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A
4. Asociatividad de ∪ y ∩
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ; (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
5. Distributividad de cada una de las operaciones con respecto a la otra
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ; A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
6. A es idempotente para ambas operaciones:
A ∪ A = A ; A ∩ A = A
7. X y ∅ son neutros para ∩ y ∪ respectivamente,
A ∪ ∅ = A ; A ∩ X = A
8. X y ∅ son absorbentes para ∪ y ∩ respectivamente,
A ∪ X = X ; A ∩ ∅ = ∅
9. Ac es inversa de A para ∪ y ∩,
A ∪ Ac
= X ; A ∩ Ac
= ∅
10. Leyes de absorción:
A ∪ (A ∩ B) = A ; A ∩ (A ∪ B)
2.4.- Cuanticadores
Iniciaremos esta sección analizando los siguientes ejemplos:
1. Si n es un número entero impar, entonces n2 es un número impar.
2. Si x2 = 1 si y sólo si (x − 1)(x + 1) = 0, para todo número real x.
Aquí se puede observar que a la proposición (1) se le escapa un detalle, esto debido a que debería decir: para
todos los enteros x, si n es un entero impar, entonces n2 es un entero impar.
En otras palabras, nuestras implicancias son proposiciones generales que tienen que ser verdaderas para todos
los valores de la variable incluida, escribiremos esta situación en la forma:
∀ x ∈ U p =⇒ q
donde:

7. p : n es un número entero impar.
q : n2 es un número entero impar.
El símbolo ∀ se lee para todo y se llama cuanticador universal.
Ejemplo. Sea U = {1, 2, 3, 4}, existe en U un elemento cuyo cuadrado es 4. En símbolos se acostumbra a
representar por:
∃x ∈ U : x2
= 4
El cuanticador ∃ se denomina cuanticador existencial. Notemos que para este ejemplo la proposición es
verdadera dado que efectivamente existe un elemento del conjunto U que satisface la relación x2 = 4.
Ejemplo. Hay un elemento en U que es mayor que todos los demás, así,
(∃ x ∈ U) (∀ y ∈ U) (x y) , U = {1, 2, 3, 4}
Esta proposición es falsa.
En general, la verdad o falsedad de proposicones como las que hemos escrito depende del conjunto Universo
y de las operaciones denidas en éste.
Ejemplo. Averiguamos el valor de verdad de los giuientes enunciados:
p : ∀x ∈ Q , ∃y ∈ Q : 2x + y = 0
q : ∃y ∈ Q , ∀x ∈ Q : 2x + y = 0
Para p:
Si x =
1
2
∃ y = −1, 2 ·
1
2
+ (−1) = 0, lo cual es verdadero.
Si x = −5 ∃ y = 10, 2 · (−5) + 10 = 0, lo cual es verdadero.
es decir, para cualquier x ∈ Q existe y = (−2x) tal que 2x + y = 0, por tanto p es V .
Para q : si y =
1
2
la igualdad 2x +
1
2
= 0 no se cumple ∀x ∈ Q, por tanto q es Falsa.
Negación de cuanticadores La regla general para construir la negación de una forma proposicional es
la siguiente: Los ∀ se cambian por ∃ y los ∃ se cambian por ∀ y después se niega la forma proposicional.
La negación de la forma se construye mecánicamente del mismo modo como se realiza la negación de una
proposición.

8. Bibliografía
Matemáticas para administracióny economía. Haeussler y Paul.EditorialPrenticeHall. 2003
Algebra y trigonometría. Sullivan. Editorial Pearson.Educación.2006.