VARIACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DIDÁCTICAS EN LA ETAPA DE FORMACIÓN DEL PROFESOR DE MATEMÁTICA

II Congreso Internacional
sobre profesorado
principiante e inserción
profesional a la docencia
El acompañamiento a los docentes noveles:
prácticas y concepciones
Buenos Aires, del 24 al 26 de febrero de 2010

II Congreso Internacional sobre profesorado principiante e inserción profesional a la docencia
Casetta, Inés – Vergara, Ma. Elina 1
Eje temático 5: Las pedagogías de la formación y el acompañamiento a los noveles.
Implicancias en la formación inicial.
REPORTE DE INVESTIGACIÓN
VARIACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DIDÁCTICAS EN LA ETAPA
DE FORMACIÓN DEL PROFESOR DE MATEMÁTICA
Casetta, Inés
DNI: 12881091
inescasetta@yahoo.com.ar
Vergara, María Elina
DNI: 11891261
eli@telered.com.ar
Instituto José C Paz. Nivel superior
Palabras clave: hacer matemática - concepciones didácticas - docentes noveles-
modelos docentes – formación docente
Resumen
El trabajo que reportamos aquí se encuadra en la línea de investigación didáctica
que hace centro en la problemática del profesor.
Hemos ponderado que en la carrera de profesor en Matemática para ESB y
Polimodal, dictada en el Instituto José C Paz, existen razones que obstaculizan el enlace
entre la adhesión de los alumnos a los marcos teóricos y su movilización en el ejercicio
profesional.
Basándonos en que la formación pedagógica y didáctica promueve al profesor de
matemática con competencias para atravesar su práctica por el "hacer matemática", nos
proponemos dar cuenta de las concepciones didácticas que en este sentido desarrollan
en la formación los alumnos de la cohorte 2006-2009.
El estudio que realizamos se llevó a cabo en tres momentos de la formación. El
primero, en el año 2006, con los alumnos de primer año y el último a mediados de cuarto
año con los mismos alumnos. Clasificamos la información en mapas cognitivos utilizando
tres categorías: docente, alumno, tarea, y realizamos las comparaciones entre ellos
buscando identificarlos con diferentes modelos docentes.
Finalmente pudimos inferir que nuestros alumnos, en la finalización de su
formación en la Institución, conciben al docente como responsable de plantear buenas
situaciones problemáticas, piensan la tarea en la mayoría de los casos, como una
actividad compuesta por problemas de diferentes tipos y consideran que sin la
ejercitación suficiente su tarea no es completa. Por último consideran que el alumno debe
ser activo y responsable del esfuerzo pero no siempre el centro del hacer matemático.

VARIACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DIDÁCTICAS EN LA ETAPA DE
FORMACIÓN DEL PROFESOR DE MATEMÁTICA
Introducción
La formación del profesor de matemática está sostenida por diversas
elaboraciones teóricas. Por un lado, las argumentaciones de los lineamientos que la
política educativa pone de manifiesto a través de los diseños, tanto de la formación como
del nivel al cual está dirigida la carrera. En ellos se establece la necesidad de concebir la
matemática como ciencia dinámica, que en su proceso de construcción incluye la
intuición y la creatividad. Por otro, las sucesivas conceptualizaciones aportadas desde la
didáctica específica avanzando hacia la idea de que las nociones matemáticas se
elaboran en el proceso de buscar respuestas a preguntas vinculadas con los problemas,
contextualizados en lo extramatemático como en lo intramatemático.
En acuerdo con estas elaboraciones, en el ámbito de la educación matemática se
está avanzando hacia la comprensión de que para lograr la conceptualización de un
objeto matemático se hace necesario el "hacer" sobre el problema y la reflexión sobre
ese "hacer".
El presente trabajo forma parte de un proceso de investigación al interior del
Instituto José C Paz, en la carrera del profesorado de matemática para ESB y Polimodal.
Para que el lector pueda comprender la problemática que abordamos y el contexto
específico de la misma; aportamos los siguientes elementos: El Instituto tiene una
extensa trayectoria en la formación de profesores. A fines de la década del setenta, se
constituyó como la única Institución en el distrito y en los distritos de incidencia en que se
podía cursar el profesorado en Matemática. En la actualidad esta influencia está
compartida con otras instituciones de gestión pública como privada, de nivel terciario y
universitario.
La población de alumnos que ingresa a la carrera está formada por, egresados
recientes del nivel polimodal, por algunos adultos que intentan cumplir objetivos de
estudio postergados y un porcentaje de estudiantes provenientes de otras carreras
generalmente incompletas, especialmente universitarias. Entre otras cuestiones esta
diversidad de origen hace que el ideal de cada uno de ellos sobre como ser un "buen
docente" en el área, sobre cuál es el "hacer" del profesor de matemática sea muy
diferente.

Es así como en la formación la tarea más compleja consiste en abordar la
construcción y puesta en práctica de un ideal que ponga en diálogo el contenido
matemático, el conocimiento didáctico del contenido y el conocimiento de la gestión del
aula, que tenga en cuenta la diversidad social y de capital cultural de los alumnos. Es en
esta puesta en diálogo en que se manifiesta una idea que se constituyó en origen y motor
del trabajo que aquí reportamos. Entendemos que la formación pedagógica y didáctica
promueve al profesor de matemática con competencias para atravesar su práctica por el
"hacer matemática". Sin embargo, ponderamos que existen razones que obstaculizan el
enlace entre la adhesión de los estudiantes a los marcos teóricos y su movilización en el
ejercicio profesional.
Es por ello que nos proponemos dar cuenta de las concepciones didácticas que
en este sentido desarrollan en la formación los alumnos. Entre las decisiones
metodológicas que hemos considerado, definimos trabajar con la totalidad de los
estudiantes de la cohorte 2006-2009 que se encuentran en posición de ser en corto
período institucional profesores noveles en matemática. Luego establecimos tres
momentos de la formación para recabar información que nos permita responder a la
propuesta. El primero, es el de ingreso a la carrera y el contexto, el espacio de
Matemática y su enseñanza. El segundo, en situación de abordar los primeros textos de
educación matemática. El tercero, en situación de próximo egreso, usando como contexto
la culminación del tránsito por el espacio de la Práctica Docente.
La organización de este artículo se establece de la siguiente manera: en la
sección 2., incluimos una síntesis del marco teórico. En la sección 3., presentamos la
información, su clasificación y comparación. Aportamos el diseño de lectura de la
información, su fundamentación y ejemplificamos con un estudiante.
Finalmente en la sección 4., proponemos las primeras conclusiones, junto con el
estado de discusión.
Marco teórico
Este trabajo se encuadra en la línea de investigación didáctica que hace centro en
la problemática del profesor, concebido como docente investigador de su propia práctica.
Pensamos al profesor de matemática elaborando realizaciones didácticas reflexivas, en
oposición a una práctica ingenua, sosteniendo su práctica a través de una metodología
que le permita producir conocimiento sobre el sistema didáctico en el que se halla
inmerso. Esperamos que el egresado pueda posicionarse en la clase centrándose en el
"hacer matemática".

Consideramos, siguiendo a Brousseau que "Hacer matemáticas" es superador del
aprender definiciones y teoremas, y reconocer condiciones y circunstancias de uso. Para
hacer matemática es necesario resolver problemas, y fundamentalmente poder construir
interrogantes cuyas respuestas posibiliten resolver problemas.
Simultáneamente y haciendo centro en la idea de atender a la diversidad cultural y
social que plantea nuestro país y en particular la provincia de Buenos Aires sostenemos
que: “Hacer matemática no es una actividad que permite a un pequeño grupo de elegidos
por la naturaleza o por la cultura, el acceso a un mundo muy particular por su
abstracción. Hacer matemáticas, es un trabajo del pensamiento, que construye los
conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los
conceptos construidos, que corrige y completa los conceptos para resolver problemas
nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en universos matemáticos
que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin
cesar." (CHARLOT, 1986).
En este sentido sostenemos que el aula debe estar atravesada por las
formulaciones, las conjeturas, las argumentaciones, las estrategias de resolución, las
validaciones sobre los procesos y las soluciones obtenidas.
La organización del trabajo cotidiano responde a una planificación que hace el
docente en la que la prioridad es el problema que utilizará como medio para hacer
circular en el aula el saber que pretende enseñar. Como el investigador, selecciona las
variables que considera harán funcionar las relaciones entre el contenido, el medio y los
alumnos.
Como hemos establecido en la sección 1. los estudiantes construyen
concepciones sobre ser profesor de matemática, sobre el hacer matemática en el aula de
escuela secundaria. En este sentido, nuestras indagaciones nos llevaron a variedad de
definiciones sobre que son las concepciones e inclusive hemos encontrado diferencias
entre creencias, concepciones, teorías implícitas. Optamos en el marco de este trabajo
adherir a Da Ponte (1999) que las define como constructos cognitivos a modo de
organizadores de las tramas conceptuales. Son esencialmente metacognitivas.
Sostenemos siguiendo al autor que forman parte del conocimiento y que por lo tanto
tienen una profunda incidencia en los modos y las formas en que los profesores
despliegan el hacer matemática en el aula de escuela secundaria. Asumimos que se
vinculan con la historia escolar de cada estudiante, que implican años de construcción
informal, que han sido determinadas por las improntas de la cultura escolar y social en la
que tanto el docente en formación como el docente novel están y estuvieron
involucrados.

Para identificar las concepciones didácticas de los alumnos centraremos la mirada
en los modelos docentes que aprueban o rechazan, tanto en las palabras como en las
prácticas.
Comenzaremos definiendo modelo docente, como conjunto de prácticas docentes
compartidas que permiten organizar y gestionar el proceso de enseñanza de las
matemáticas en una institución determinada (Gascón, 2001).
Siguiendo la clasificación propuesta por este autor podemos identificar distintos
tipos de modelos docentes, asociados a la concepción epistemológica de la matemática,
aunque aquí nos centraremos en los modelos docentes.
Trataremos en primer lugar los modelos docentes clásicos: teoricismo y
tecnicismo.
Llamaremos modelos docentes teoricistas, a los que están basados en una
concepción del saber matemático que pone el acento en los conocimientos acabados y
cristalizados en “teorías”, pone entre paréntesis la actividad matemática y sólo toma en
consideración el fruto final de esta actividad. (Gascón, 2001)
El teoricismo identifica “enseñar y aprender matemáticas” con “enseñar y aprender
teorías acabadas”, el proceso didáctico empieza, y prácticamente acaba, en el momento
en que el profesor “enseña” (en el sentido de mostrar) estas teorías a los alumnos
(Gascón, 1994).
En este modelo no se tienen en cuenta las tareas relacionadas con las estrategias
de resolución de problemas. Los problemas se asimilan a ejercicios, se tratan en forma
aislada y descontextualizada.
Llamaremos modelos docentes tecnicistas a aquellos que defienden el dominio de
la técnica, especialmente las algorítmicas, como único objetivo en el proceso de
enseñanza. “Este extremismo tecnicista conduce directamente a un “operacionismo”
estéril.”.(Gascón ,1994).
Enseñar y aprender matemática está identificado con estudiar y enseñar técnicas
algorítmicas. Se pierden de vista los problemas auténticos, se los trata en forma aislada,
descontextualizada, no incluidos en clases de problemas.
Intentando superar los modelos clásicos se desarrollan los modelos modernistas
que rescatan la resolución de problemas como actividad en sí misma. Los problemas se
constituyen aquí en el eje del proceso didáctico. La definición de problema está ligada a
que el alumno puede abordarlo desde su dominio conceptual, y para arribar a la solución
necesita explorar, formular conjeturas, buscar contraejemplos, problemas similares más
sencillos, etc.

Los problemas en este modelo son elegidos por ser potenciales problemas para el
alumno y no por el contexto o por formar parte de una clase de problemas.
El modelo docente procedimentalista hace centro del proceso didáctico a dos
momentos, el primero de exploración, el segundo del trabajo de técnicas heurísticas para
su resolución y a la relación entre ellos. El procedimentalismo trabaja con “clases de
problemas" y se establece como cuestión principal la selección de qué clase de
problemas elegir para enseñar una determinada técnica de resolución.
Otro modelo en esta clasificación es el modelo constructivista, se entiende por
enseñar matemática posibilitar que el estudiante construya los conocimientos a partir de
la resolución de problemas. Existen distintos tipos de constructivismo, entre ellos el
constructivismo psicológico, en el que la resolución de problemas es sólo un medio para
construir conocimientos nuevos. En este modelo una situación problema, es
caracterizada como aquella en la cual (Douady, 1996).
• El alumno debe poder introducirse en la resolución del problema y ha de poder
considerar lo que es una solución posible.
• Los conocimientos del alumno tienen que ser, en principio, insuficientes para
resolver el problema.
• La “situación problema” debe permitir al alumno decidir si una solución
determinada es correcta o no.
• El conocimiento que se desea que el alumno adquiera (“construya”) tiene que
ser la herramienta más adecuada para resolver el problema propuesto, al nivel
de los conocimientos del alumno.
Otro modelo dentro del constructivismo es el modelo modelizacionista, en él
aprender matemática es un proceso de construcción de conocimientos matemáticos
(relativos a un sistema matemático o extramatemático) que se lleva a cabo mediante la
utilización de un modelo matemático de dicho sistema. La actividad de resolución de
problemas queda dentro de una actividad más amplia que se denomina modelización
matemática
Desarrollo
El trabajo que reportamos pretende, como hemos anticipado, dar cuenta de como
se modifican las concepciones del futuro docente sobre que significa “Hacer matemática”
en el aula de escuela secundaria. Para ello analizamos una producción de los alumnos
sobre el tema realizada en el año 2006, en la primera semana de clases. Repetimos la
toma una semana después, cuando los alumnos abordaron la lectura y un primer análisis

de documentos sobre educación matemática. Por último repetimos la toma a aquellos
alumnos que hoy se encuentran cursando el último año de la carrera y que habían
participado de la experiencia cuando eran alumnos de primer año. Cuestión esta que nos
permitió hacer tres cortes sobre la misma muestra en un período de cuatro años.
En la primera instancia se partió de la lectura de un texto fantástico sobre una
clase de matemática y se solicitó que lo reescriban, según ellos consideren que debe ser
la clase de matemática.
A la semana siguiente, después de haber trabajado en el espacio de Matemática y
su enseñanza I el análisis de un documento donde se detalla la concepción propuesta por
la Jurisdicción con relación al tema, se les pide la reescritura del texto anterior.
Finalmente, se realiza una nueva escritura cuando los alumnos están en situación de
próximo egreso como profesores de matemática.
Para realizar una lectura de las producciones que aporte a nuestro objetivo,
hemos decidido codificar la información que presentan según tres categorías. Las que, a
nuestro criterio, definen la concepción de enseñanza: a) el docente, b) la tarea, c) el
alumno.
El análisis de la codificación se realizó por medio de mapas cognitivos. Estos
fueron utilizados por Mellado Jiménez (1996) para analizar las concepciones de los
profesores de ciencia y vemos que relacionan en forma jerarquizada las unidades de
información con el sentido que el estudiante le da a las mismas. Esto nos permite tener
una visión más global de sus concepciones. Cada grupo de respuestas se enlaza de
forma inclusiva en cada categoría.
Un ejemplo del trabajo realizado es el siguiente:
Primera escritura de Claudia (2006):
“Se comenta que existe otra escuela matemática donde el maestro enseña a
sus alumnos con un método innovador en el cual [el estudiante no se veía
forzado a seguir un régimen estricto], sino que [se lo invitaba y seducía] con un
banquete tentador que [despertaba su interés], con los ingredientes anteriores
se elaboraba un menú delicioso que constaba de un pastel de [proposiciones ]y
una infusión de[demostraciones] y una pizca de canela[ imposible de olvidar],
logrando que sea incorporado a su [dieta diaria de saber”].

La visión de este texto en un mapa cognitivo es la siguiente:
El mapa cognitivo nos permitió entender que Claudia tiene una concepción del
proceso de enseñar y de aprender matemática, trivializado en el sentido planteado por
Gascón. Desde esta posición es posible pensar que adhiere a un modelo clásico, destaca
la idea de un docente que puede controlar completamente el proceso. La variable de
control es la seducción que en la concepción de esta estudiante, en los primeros
momentos de la formación, es la clave para que el alumno incorpore un conocimiento
acabado y completo. Puede observarse que la tarea se centra en proposiciones y
demostraciones, parece considerar las actividades como determinadas a priori por los
contenidos a los cuales deben responder.
En la línea en que entendemos este primer mapa cognitivo identificamos que
ubica un momento esencial en el inicio cuando el profesor hace una mostración de
teorías y resoluciones. En este sentido, si reportamos los trabajos realizados por otros
alumnos en el mismo momento señalan a un docente que “expone los contenidos y
conceptos” como ingredientes del futuro saber matemático. “Deberá explicar reiteradas
veces con mucha paciencia de distintas maneras, para que los alumnos consigan el
conocimiento que necesitan”
En tanto los alumnos van “conociendo los diferentes conceptos, de los cuales
algunos son agradables y otros no “.
En otros casos señalan como método leer, escribir lo leído lo cual nos parece que
alude a la repetición para lograr el aprendizaje.

La siguiente es la forma en que se muestra la segunda escritura de Claudia.
En este mapa observamos que la alumna al conocer la existencia de distintos
tipos de problemas y de la resolución de problemas modifica su forma de ver la
matemática que puede desarrollarse en la escuela, si bien aún no adjudica funciones al
docente en forma directa.
En relación con la tarea, creemos que la inclusión de la variable: resolución de
problemas debe entenderse como intentos de elaborar, el pasaje a un nuevo modelo
docente. Los problemas muestran el anclaje en los modelos clásicos (afianzar
conocimientos, ampliar conocimientos), con un intento de avanzar en la destrivialización
del proceso didáctico. En la introducción de cierta tipificación de los problemas, en las
acciones del alumno es posible identificar un modelo de segundo orden. Parece
establecer la necesidad del dominio de estrategias complejas de resolución de
problemas, intentando instalarse en un modelo procedimentalista (cabe señalar que la
propuesta de la Jurisdicción se enmarca en el modelo constructivista).
En este sentido en los otros trabajos puede leerse que los problemas posibilitarán
que los alumnos “inventen procedimientos, justifiquen la elección de las estrategias,
reflexionen sobre los instrumentos, aprenden sobre la forma de pensar en el área,”
cuestiones estas que los acercan a los modelos modernos.

En otro casos proponen incluir problemas totalmente desconocidos junto a otros
similares a los ya trabajados permitiéndoles hallar distintos procedimientos.
Por último, en la producción del último año, la misma alumna identifica como
elementos necesarios: “…problemas para construir contenidos, contenidos matemáticos,
aprendizaje significativo, imaginación, creatividad, estrategias de resolución incentivo…”
“…debemos trabajar como docentes para poder brindar lo necesario para que
[una enseñanza significativa] sea posible…”.
Entendemos que si la tarea se centra en problemas “para construir conocimiento”,
el docente “brinda lo necesario para que el aprendizaje sea significativo” y el alumno
“busca estrategias de resolución” permite observar los intentos de esta estudiante para
producir una sinergia entre las variables que permiten identificar un posible modelo
docente influenciado por el modelo epistemológico constructivista
Esto se pone de manifiesto, en el resto de la muestra, cuando en la última
escritura un futuro docente dice: “Lo interesante es el gusto y la sorpresa”, otro señala
que “el alumno no cumple un rol pasivo, sino todo lo contrario “, “Podrá obtener un
sentido de lo aprendido si logramos inducirlo y enseñarle a razonar, pensar y descubrir
los nuevos conocimientos. Por esta razón sostengo que la mejor forma de enseñar
matemática es a través de situaciones que lleven al alumno a construir, pensar y razonar,
a través de sus propias equivocaciones, o no, y que los docentes mantengamos un rol de
acompañamiento y guía…”, “…Dejando un lugar a la operatoria pero como herramienta
de aplicación“.

Notablemente mantienen su postura sobre la necesidad de que el docente tenga
buena predisposición, amor y paciencia para alcanzar los objetivos. Cuestión esta ya
observada en los primeros escritos.
Conclusiones, discusiones finales
La concepción inicial interpreta que el rol docente se sostiene en un alto
porcentaje de paciencia, comprensión y poniendo en acción la reiteración de
explicaciones. El rol del alumno articulado con ese modelo docente se manifiesta como
bien predispuesto y participativo. Luego la tarea no reviste ninguna relevancia, no es
determinante para el aprendizaje.
La concepción mediada por las primeras lecturas muestra que los alumnos
descubren que la elección de las tareas que el docente propone en el aula no es azarosa.
La concepción elaborada al final de la formación hace centro en las actividades que el
docente propone en el aula, establecen con claridad el rol de los problemas constructivos.
La idea de un aprendizaje interesante ha cambiado hacia la de un aprendizaje
significativo. Continúan considerando que requiere creatividad, e imaginación pero ahora
tanto por parte del alumno como del docente. Otorgan un lugar a la ejercitación pero
limitado a pequeños períodos, no como actividad central de la matemática.
Nos gustaría señalar que luego de completada la última muestra los estudiantes
tuvieron la oportunidad de acceder a los mapas cognitivos realizados sobre sus
producciones. Las manifestaciones fueron de verdadera sorpresa al ver reflejados en
ellos el cambio en sus concepciones, fue ese un momento de toma de conciencia de su
propia evolución.
Continuamos interrogándonos sobre:
¿Cuáles y en qué medida, las concepciones que aquí aparecen como centrales
son puestas en acto al momento de desarrollar la práctica profesional?
¿Qué relación guarda el modelo epistemológico con que es formado el alumno en
las materias areales y el modelo didáctico al que adhiere al final de su primera
formación?

Bibliografía
• Blanco, L, Barrantes, M. "Concepciones de los estudiantes para maestro en
España, sobre la geometría escolar y su enseñanza-aprendizaje", en Revista
Relime, año 2003, vol. 6, Nº 002, pp. 106-132
• Brousseau,G: “Los diferentes roles del maestro”, Didáctica de Matemáticas.
Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Ediciones Paidos,1994,pp 64-94
• Chevallard,Y, Boch,M, Gascón, J ( 1997):Estudiar Matemáticas. El eslabón
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• Da Ponte,J. (1999): “Teachers’ beliefs and concpetions as a fundamental topic in
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• Gascón ,J: “El papel resolución de problemas en la Enseñanza de las
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• Gascón, J: “Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina
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• Gascón, J: “Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas”, Trabajo en
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• Llinares,S :”Formación de profesores de matemática. Desarrollo entornos de
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Conferencia invitada en la XIII Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las
Matemáticas –Jaen. Granada ,2007
• Mathiaud, M: “Enseñar a partir de las actividades”, La enseñanza de las
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Francia, Topiques éditions, 1996., pp.142-143
• Mellado Jiménez, V: “Concepciones y prácticas de aula de profesores de ciencia,
en formación inicial, primaria y secundaria” Enseñanza de las Ciencias, 1996,
14(3),pp. 289-306

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