Ecuación de Cauchy-Euler

2. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER: DEFINICI ´ON
Una ecuaci´on diferencial lineal de la forma:
anxn dny
dxn
+ an−1xn−1 dn−1y
dxn−1
+ ... + a1x
dy
dx
+ a0y = g(x)
donde los coeficientes an, an−1, ..., a0 son constantes, se conoce como
ecuaci´on de Cauchy-Euler.
La caracter´ıstica observable de este tipo de ecuaci´on es que el grado
k = n, n − 1, ... , 1, 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el
orden k de la derivaci´on
dky
dxk
EJEMPLOS DE ECUACIONES DE CAUCHY-EULER
1 x2y + 5xy + 3y = 0
2 x3y − 3x2y + 6xy − 6y = 3 + lnx3

4. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
M ´ETODO DE SOLUCI ´ON
En las ecuaciones de Cauchy-Euler se buscan soluciones de la forma: y = xm.
Para establecer las soluciones se debe sustituir: y = xm
y sus respectivas derivadas: y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2 ...
En la ED homog´enea asociada, de manera que la ecuaci´on se transforma en
un polinomio en el cual se puede determinar los valores de m.
Hay tres casos a considerar que dependen de si las ra´ıces de la ecuaci´on son:
Reales y distintas. En este caso la soluci´on es de la forma
y = c1xm1 + c2xm2 + ... + cnxmn
Reales e iguales. Con soluci´on general:
y = c1xm1 + c2xm2 ln x + ... + c2xmn ln xn
Complejas conjugadas. En el ´ultimo caso las ra´ıces aparecen como
pares conjugados del tipo:
xα(c1cos(β ln x) + c2sen(β ln x))

5. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
EJEMPLO CASO 1: RA´ICES REALES DISTINTAS
1 Resolver la ecuaci´on diferencial: x2y − 3xy + 3y = 2x4ex
Soluci´on: Se inicia por resolver la ecuaci´on homog´enea asociada:
x2y − 3xy + 3y = 0
Haciendo la sustituci´on: y = xm y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2
La ED toma la forma: x2m(m − 1)xm−2 − 3xmxm−1 + 3xm = 0
Se operan los coeficientes de x y se toma el factor com´un xm:
xm(m − 1)(m − 3) = 0
De esta manera: m1 = 1 o m2 = 3
Como las ra´ıces son distintas, la soluci´on la ecuaci´on es homog´enea es:
y = C1x + C2x3
Mediante el m´etodo de variaci´on de par´ametros se encuentra la soluci´on
particular: yp = 2x2ex − 2xex.
Es decir, la soluci´on general de la ED es:
y = C1x + C2x3 + 2x2ex − 2xex

6. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
EJEMPLO CASO 2: RA´ICES REALES REPETIDAS
1 Resolver la ecuaci´on diferencial: x2y + 3xy + y = 0
Soluci´on: Para resolver esta ecuaci´on se inicia por hacer la sustituci´on:
y = xm y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2
Luego se reemplaza en la ecuaci´on diferencial.
x2m(m − 1)xm−2 + 3xmxm−1 + xm = 0
Se operan los coeficientes de x y se toma el factor com´un xm:
xm(m2 + 2m + 1) = 0
xm(m + 1)(m + 1) = 0
De esta forma: m1 = −1 o m2 = −1
Como las ra´ıces son iguales, la soluci´on general de la ecuaci´on es:
y = C1x−1 + C2x−1 ln x

7. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
EJEMPLO CASO 3: RA´ICES COMPLEJAS
1 Resolver la ecuaci´on diferencial: x3y + 5x2y 7xy + 8y = 0
Soluci´on: Para resolver esta ecuaci´on se inicia por hacer la sustituci´on:
y = xm y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2
y = m(m − 1)(m − 2)xm−3
Luego se reemplaza en la ecuaci´on diferencial.
x3m(m−1)(m−2)xm−3 +5x2m(m−1)xm−2 +7xmxm−1 +8xm = 0
Se operan los coeficientes de x y se toma el factor com´un xm:
xm(m3 + 2m2 + 4m + 8) = 0
xm(m + 2)(m2 + 4) = 0
De esta forma: m1 = −2, m2 = 2i o m3 = −2i
Y la soluci´on general de la ecuaci´on es:
y = c1x−2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sen(2 ln x)

8. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
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