Ejercicio 2.13 del Libro: Introduccion a la Mecanica Cuantica David J. Griffiths

1. El Oscilado Armónico
Cuántico
Calculo y Relaciones de los Primeros 3 Estados

2. a) Normalice  1 ( x) mediante integración
directa.
m 2
 
 x
 1 ( x)  iA1 2m xe 2
Verifique su respuesta comparándola con
la formula general
 m  (i)n
1/4
An  
  
 n !( )n

3. m 2 2
iA  
   x
  ( x) dx   dx  1
2
2
1 2m xe
 
2
Esta Integral puede
 a  resolverse por medio
 a 2 x 2ebx dx  ,b  0
2
del Método de
 3
4 2b
Feynman
m 2 2
A12 2 2m   2 
3
 iA  
  x
2m xe 2
dx   
2  m 
 1
4
 m  (i)n
1/4
1/4
 m  An   
A1   3 
       n !( ) n

4. b) Encuentre,  2 ( x) pero no se moleste en
normalizarla.
m 2
 x 1
 n ( x)  An (a ) en 2
  2 ( x)  (a ) 2 0
2
1  d  d 
(a a ) f ( x)     m x    m x  f ( x)
2m  dx  dx 
1  2 d 2 d df 2
   dx 2  m dx  xf   m x dx   m x  
2m  
1  2 d2  d  2
(a )     dx 2  m 1  2 x dx    m x  
2
2m    

5. 1
 2 ( x)  (a )2 0
2
1   d2  d  m x 2   m x2
 A0    1  2 x   e 2
2 2  m dx 
2
dx    
1  m x 2  2m x 2  m x 2   m x2
 A0    1   e
2
2 2       
1  m   2m 2   m x2
1/4
 2 ( x)   x  1 e 2 
2    
  

6. c) Grafique  0 ( x) , 1 ( x) y  2 ( x) .

7.  Verifique la ortogonalidad de  0 ( x) , 1 ( x) y  2 ( x)
Nota: si usted explora la paridad e
imparidad de las funciones, realmente hay
solamente una integral más por evaluar
explícitamente.
1 m   2m 2   m x2
 2 0dx  2    x  1 e dx
*
  
m    m x2 2m  2  m x2 
  e
 
 dx  x e 2  dx 
2   
m    2m   
  m   2m
 0

2   m 

8. Bibliografía
Griffiths, D. J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics.
Upper Saddle River, NJ 07458: Prentice Hall, Inc.