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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
                                                                 GUÍA DE ESTUDIO No. 1


                               IDENTIFICACIÓN
UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
                        ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL
UNIDAD TEMÁTICA  LA INTEGRAL

              COMPETENCIA                                         RESULTADOS DE APRENDIZAJE
                                                 El estudiante:
                                                 1. Calcula área bajo una curva utilizando la suma de Riemman
                                                 2. Utiliza la notación sigma y sus propiedades para el
Interpretar     el    significado                    planteamiento de una integral como sumas de área.
geométrico y analítico de la                     3. Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas
integral definida teniendo en                        básicas de integración        para dar solución a problemas de
cuenta sus propiedades para la                       aplicación en diferentes contextos
resolución de problemas                          4. Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
                                                     entorno de aplicación
                                                 5. Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales
                                                     sencillas

                                             ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

 1. Utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función dada,
    el eje x , sobre el intervalo establecido. Dibujar la región y verificar su respuesta aplicando el
    primer teorema fundamental del cálculo.
   a. y 8 2 x x 2 ,         2,0
     b.       y    4x  x 2 , 1,4
     c.       y    9 x 2 , 1,3
     d.       y    6 x 2 13 x 5 , 1,4

 2. Sabiendo que:                                                                  halle:

a)                                                       b)                   c)

                                                                              f)
d)                                                       e)

 3. Cuáles de las siguientes funciones son integrables en el intervalo                           2,2 y cuáles no? Exponga
    sus razones
   a. y ln x
     b.       y   x 3 senx
                    1
     c.       y
                  x 1
                  x 11
     d.       y
                   x 2
   e. y           tan x
 4. Evalúe las siguientes integrales
                                                                                             5                    e
          3                                  4   sen     sen tan 2                                                    t2    t 1
     a)       e u 1 du              b)                             d                    c)       2 x dx      d)                dt
          0                              0              sec 2                                1                    1
                                                                                                                           t




                                                                                                 VERSIÓN:   FECHA: II-2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
                                                                                       GUÍA DE ESTUDIO No. 1


                                                                                                           2
           3                                 4   1 cos 3                        0 .5    6                                    1
  e)           10 x 1 dx            f)                   d             g)                     dt       h) y        3   y        dy
       0                                 0         cos                          0 .3
                                                                                       1 t2                1                 y2
       4                                                                                      2
                                             4                              5   dt
  i)       (4       x )dx           j)           tan cos d            k)                    l) ( y 1) 3 y          y dy
       4
                                         0                                 1    6t            0


5. Determine el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4] y encuentre el valor de C que
   hace posible este valor.
6. Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años
   está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t. Encuentre, la población promedio de
   la tierra en los próximos 30 años.
7. Una compañía productora                                 de dispositivos neumáticos para una empresa ensambladora de
   automóviles, aproximo el                                número de dispositivos vendidos mensualmente U(t) mediante el
   modelo:
                                                                       1
                                                  U (t )     200 5t             donde t es el tiempo en meses
                                                                       2
           a) Encuentre el promedio de dispositivos neumáticos vendidos durante el primer año
           b) Determine el valor C que garantiza este valor medio

8. Encuentre G (x )
                            x
           a. G ( x)                (2t 1)dt
                             6
                            senx
           b. G ( x)                 (u 2        cos u )du
                            0
                                3
                            x
           c. G ( x )               ( sen 4 w tan w)dw
                            x2
                            x2 1
           d. G ( x)                     2 senv dv
                            1
9. Explique con exactitud:

           a) La proposición “La derivación y la integración son procesos inversos”
                                                                                                   1                   2                   8
           b) Como utilizaría la notación sigma para escribir                                 5        3       5             3   ...   5        3
                                                                                                   8                   8                   8
           c) Suma superior y suma inferior
           d) La integral definida como el área de una región

10. En la función definida gráficamente por:




           se sabe que                                 =8      y                        = 6. Halle:




                                                                                                                           VERSIÓN:    FECHA: II-2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
                                                                       GUÍA DE ESTUDIO No. 1




     a)                                             b)                  e indique qué representa.

11. Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada.




                                                             a
                                                                                                                        b




                                                         c
                                                                                                                             d



                                                         EVALUACIÓN

  1. Utilice el proceso de limite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función
             9 2
      y        x      3x , el eje x sobre el intervalo                       4,0 . Dibujar la región y verificar su respuesta
             2
      aplicando el primer teorema fundamental del cálculo.

  2. Determine si el enunciado es verdadero o falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que
     lo demuestre

              10                  10                             10
     a) Si          ai2   100 y         ai   20 entonces               (ai     1) 2        110
              i 1                 i 1                            i 1
                                                                                      b
     b) Si F ( x )        f ( x ) para toda x en a,b , entonces                           f ( x)dx   F (b) F (a )
                                                                                  a
                                              b
     c) La integral de la corriente               I (t )dt representa la carga
                                              a

     d)   x cos xdx        xsenx cos x c
  3. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el instante                                           t es
  v(t ) t 3 6t (medida en metros por segundo). Determine:
           a) La posición x(t ) de la partícula en función del tiempo t. Si x(1) 3
           b) La velocidad media en el intervalo de tiempo 0 t 5




                                                                                                          VERSIÓN:   FECHA: II-2010
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                                                           GUÍA DE ESTUDIO No. 1


   4. Evalué las siguientes integrales.
        4                                                                       2
                                      4                    5   (t 1) 2
   a)       (3 x   x 2 )dx   b)           cot sen d   c)                 dt   d) ( y 1) 3 y    y dy
                                  0                        2     4
        4                                                            t          0


Recuerda que los indicadores que debes alcanzar con esta guía son los siguientes:
      Calcular el área mediante la utilización de rectángulos inscritos o circunscritos.
      Evaluar la integral definida con la ayuda de las sumatorias de Riemman.
      Aplicar las propiedades y teoremas a la solución de una integral definida
      Resolver la derivada de una Integral definida


                                  BIBLIOGRAFÍA
BASICA
     LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill - CODIGO 515,15L334c
     STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson -
     CODIGO 515,1S811c
SUGERIDA
     PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice
     Hall- CODIGO 515,15P985C
     LEITHOLD , MATEMATICAS PREVIAS AL CALCULO - EDITORIAL Oxford Univ. Press-
     CODIGO 515,1L499m
     EDWARD, C.H Y D.E PENNEY. Cálculo y geometría analítica. Editorial Prentice – Hall
     Hispanoamericana. México
ALGUNAS REFERENCIAS EN LA WEB:
     www.vitutor.com
     www.matematicasbachiller.com
     www.matemáticas.net.




                                                                                    VERSIÓN:    FECHA: II-2010

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  • 1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 1 IDENTIFICACIÓN UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD TEMÁTICA LA INTEGRAL COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE El estudiante: 1. Calcula área bajo una curva utilizando la suma de Riemman 2. Utiliza la notación sigma y sus propiedades para el Interpretar el significado planteamiento de una integral como sumas de área. geométrico y analítico de la 3. Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas integral definida teniendo en básicas de integración para dar solución a problemas de cuenta sus propiedades para la aplicación en diferentes contextos resolución de problemas 4. Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su entorno de aplicación 5. Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales sencillas ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función dada, el eje x , sobre el intervalo establecido. Dibujar la región y verificar su respuesta aplicando el primer teorema fundamental del cálculo. a. y 8 2 x x 2 , 2,0 b. y 4x x 2 , 1,4 c. y 9 x 2 , 1,3 d. y 6 x 2 13 x 5 , 1,4 2. Sabiendo que: halle: a) b) c) f) d) e) 3. Cuáles de las siguientes funciones son integrables en el intervalo 2,2 y cuáles no? Exponga sus razones a. y ln x b. y x 3 senx 1 c. y x 1 x 11 d. y x 2 e. y tan x 4. Evalúe las siguientes integrales 5 e 3 4 sen sen tan 2 t2 t 1 a) e u 1 du b) d c) 2 x dx d) dt 0 0 sec 2 1 1 t VERSIÓN: FECHA: II-2010
  • 2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 1 2 3 4 1 cos 3 0 .5 6 1 e) 10 x 1 dx f) d g) dt h) y 3 y dy 0 0 cos 0 .3 1 t2 1 y2 4 2 4 5 dt i) (4 x )dx j) tan cos d k) l) ( y 1) 3 y y dy 4 0 1 6t 0 5. Determine el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4] y encuentre el valor de C que hace posible este valor. 6. Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t. Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años. 7. Una compañía productora de dispositivos neumáticos para una empresa ensambladora de automóviles, aproximo el número de dispositivos vendidos mensualmente U(t) mediante el modelo: 1 U (t ) 200 5t donde t es el tiempo en meses 2 a) Encuentre el promedio de dispositivos neumáticos vendidos durante el primer año b) Determine el valor C que garantiza este valor medio 8. Encuentre G (x ) x a. G ( x) (2t 1)dt 6 senx b. G ( x) (u 2 cos u )du 0 3 x c. G ( x ) ( sen 4 w tan w)dw x2 x2 1 d. G ( x) 2 senv dv 1 9. Explique con exactitud: a) La proposición “La derivación y la integración son procesos inversos” 1 2 8 b) Como utilizaría la notación sigma para escribir 5 3 5 3 ... 5 3 8 8 8 c) Suma superior y suma inferior d) La integral definida como el área de una región 10. En la función definida gráficamente por: se sabe que =8 y = 6. Halle: VERSIÓN: FECHA: II-2010
  • 3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 1 a) b) e indique qué representa. 11. Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada. a b c d EVALUACIÓN 1. Utilice el proceso de limite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función 9 2 y x 3x , el eje x sobre el intervalo 4,0 . Dibujar la región y verificar su respuesta 2 aplicando el primer teorema fundamental del cálculo. 2. Determine si el enunciado es verdadero o falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre 10 10 10 a) Si ai2 100 y ai 20 entonces (ai 1) 2 110 i 1 i 1 i 1 b b) Si F ( x ) f ( x ) para toda x en a,b , entonces f ( x)dx F (b) F (a ) a b c) La integral de la corriente I (t )dt representa la carga a d) x cos xdx xsenx cos x c 3. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el instante t es v(t ) t 3 6t (medida en metros por segundo). Determine: a) La posición x(t ) de la partícula en función del tiempo t. Si x(1) 3 b) La velocidad media en el intervalo de tiempo 0 t 5 VERSIÓN: FECHA: II-2010
  • 4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 1 4. Evalué las siguientes integrales. 4 2 4 5 (t 1) 2 a) (3 x x 2 )dx b) cot sen d c) dt d) ( y 1) 3 y y dy 0 2 4 4 t 0 Recuerda que los indicadores que debes alcanzar con esta guía son los siguientes: Calcular el área mediante la utilización de rectángulos inscritos o circunscritos. Evaluar la integral definida con la ayuda de las sumatorias de Riemman. Aplicar las propiedades y teoremas a la solución de una integral definida Resolver la derivada de una Integral definida BIBLIOGRAFÍA BASICA LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill - CODIGO 515,15L334c STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson - CODIGO 515,1S811c SUGERIDA PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice Hall- CODIGO 515,15P985C LEITHOLD , MATEMATICAS PREVIAS AL CALCULO - EDITORIAL Oxford Univ. Press- CODIGO 515,1L499m EDWARD, C.H Y D.E PENNEY. Cálculo y geometría analítica. Editorial Prentice – Hall Hispanoamericana. México ALGUNAS REFERENCIAS EN LA WEB: www.vitutor.com www.matematicasbachiller.com www.matemáticas.net. VERSIÓN: FECHA: II-2010