Este documento presenta una guía de estudio para la asignatura de Cálculo Integral. La guía incluye 10 actividades de aprendizaje para practicar el cálculo de áreas bajo curvas, el uso de las reglas de integración, y la interpretación de integrales definidas. También incluye 4 ejemplos de evaluación de integrales y una bibliografía recomendada.

1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
IDENTIFICACIÓN
UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL
UNIDAD TEMÁTICA LA INTEGRAL
COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE
El estudiante:
1. Calcula área bajo una curva utilizando la suma de Riemman
2. Utiliza la notación sigma y sus propiedades para el
Interpretar el significado planteamiento de una integral como sumas de área.
geométrico y analítico de la 3. Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas
integral definida teniendo en básicas de integración para dar solución a problemas de
cuenta sus propiedades para la aplicación en diferentes contextos
resolución de problemas 4. Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
entorno de aplicación
5. Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales
sencillas
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1. Utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función dada,
el eje x , sobre el intervalo establecido. Dibujar la región y verificar su respuesta aplicando el
primer teorema fundamental del cálculo.
a. y 8 2 x x 2 , 2,0
b. y 4x x 2 , 1,4
c. y 9 x 2 , 1,3
d. y 6 x 2 13 x 5 , 1,4
2. Sabiendo que: halle:
a) b) c)
f)
d) e)
3. Cuáles de las siguientes funciones son integrables en el intervalo 2,2 y cuáles no? Exponga
sus razones
a. y ln x
b. y x 3 senx
1
c. y
x 1
x 11
d. y
x 2
e. y tan x
4. Evalúe las siguientes integrales
5 e
3 4 sen sen tan 2 t2 t 1
a) e u 1 du b) d c) 2 x dx d) dt
0 0 sec 2 1 1
t
VERSIÓN: FECHA: II-2010

2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
2
3 4 1 cos 3 0 .5 6 1
e) 10 x 1 dx f) d g) dt h) y 3 y dy
0 0 cos 0 .3
1 t2 1 y2
4 2
4 5 dt
i) (4 x )dx j) tan cos d k) l) ( y 1) 3 y y dy
4
0 1 6t 0
5. Determine el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4] y encuentre el valor de C que
hace posible este valor.
6. Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años
está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t. Encuentre, la población promedio de
la tierra en los próximos 30 años.
7. Una compañía productora de dispositivos neumáticos para una empresa ensambladora de
automóviles, aproximo el número de dispositivos vendidos mensualmente U(t) mediante el
modelo:
1
U (t ) 200 5t donde t es el tiempo en meses
2
a) Encuentre el promedio de dispositivos neumáticos vendidos durante el primer año
b) Determine el valor C que garantiza este valor medio
8. Encuentre G (x )
x
a. G ( x) (2t 1)dt
6
senx
b. G ( x) (u 2 cos u )du
0
3
x
c. G ( x ) ( sen 4 w tan w)dw
x2
x2 1
d. G ( x) 2 senv dv
1
9. Explique con exactitud:
a) La proposición “La derivación y la integración son procesos inversos”
1 2 8
b) Como utilizaría la notación sigma para escribir 5 3 5 3 ... 5 3
8 8 8
c) Suma superior y suma inferior
d) La integral definida como el área de una región
10. En la función definida gráficamente por:
se sabe que =8 y = 6. Halle:
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3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
a) b) e indique qué representa.
11. Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada.
a
b
c
d
EVALUACIÓN
1. Utilice el proceso de limite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función
9 2
y x 3x , el eje x sobre el intervalo 4,0 . Dibujar la región y verificar su respuesta
2
aplicando el primer teorema fundamental del cálculo.
2. Determine si el enunciado es verdadero o falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que
lo demuestre
10 10 10
a) Si ai2 100 y ai 20 entonces (ai 1) 2 110
i 1 i 1 i 1
b
b) Si F ( x ) f ( x ) para toda x en a,b , entonces f ( x)dx F (b) F (a )
a
b
c) La integral de la corriente I (t )dt representa la carga
a
d) x cos xdx xsenx cos x c
3. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el instante t es
v(t ) t 3 6t (medida en metros por segundo). Determine:
a) La posición x(t ) de la partícula en función del tiempo t. Si x(1) 3
b) La velocidad media en el intervalo de tiempo 0 t 5
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4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
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4. Evalué las siguientes integrales.
4 2
4 5 (t 1) 2
a) (3 x x 2 )dx b) cot sen d c) dt d) ( y 1) 3 y y dy
0 2 4
4 t 0
Recuerda que los indicadores que debes alcanzar con esta guía son los siguientes:
Calcular el área mediante la utilización de rectángulos inscritos o circunscritos.
Evaluar la integral definida con la ayuda de las sumatorias de Riemman.
Aplicar las propiedades y teoremas a la solución de una integral definida
Resolver la derivada de una Integral definida
BIBLIOGRAFÍA
BASICA
LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill - CODIGO 515,15L334c
STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson -
CODIGO 515,1S811c
SUGERIDA
PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice
Hall- CODIGO 515,15P985C
LEITHOLD , MATEMATICAS PREVIAS AL CALCULO - EDITORIAL Oxford Univ. Press-
CODIGO 515,1L499m
EDWARD, C.H Y D.E PENNEY. Cálculo y geometría analítica. Editorial Prentice – Hall
Hispanoamericana. México
ALGUNAS REFERENCIAS EN LA WEB:
www.vitutor.com
www.matematicasbachiller.com
www.matemáticas.net.
VERSIÓN: FECHA: II-2010