Angulos en la cincunferencias

1. C u r s o : Matemática
Material N° 16
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama
circunferencia de centro O y radio r al
conjunto de todos los puntos del plano que
están a la distancia r del punto O.
RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la
circunferencia y un punto de ésta (OA ).
CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una
circunferencia (DE).
DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la
circunferencia (BC ).
SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ
HJJ
G
).
TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto ( ). T punto de
tangencia.
TM
HJJG
ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de
ella ( p
CE ).
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro
de la circunferencia y sus lados son radios de la
misma ( DOE).
(
ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas
de ésta ( GHF).
(
cuerda
diámetro
secante
tangente
radio
T
arco
C
A
Q
P
B
D E
O
M
F
H
G
O
D
E
0: Centro
r: Radio
C(O,r) = (O,r)
O
r
EJEMPLO
1. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones es falsa?
A) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio
B) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro
C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes
D) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro
E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

2. 2. En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, el valor de a es
A) 10º
C
B
A
a
20º
O
B) 20º
C) 40º
D) 80º
E) 140º
fig. 1
3. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2, ¿cuánto mide el (ACB?
A) 22º
C
68º
O
A B
B) 34º
C) 36º fig. 2
D) 44º
E) 68º
4. En la circunferencia de centro O de la figura 3, (AOB = 70º y (BOC = 40º. ¿Cuánto mide
el ángulo ABC?
O
B
A C
fig. 3
A) 140º
B) 125º
C) 120º
D) 110º
E) 95º
2

3. MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro
que subtiende dicho arco.
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que
subtiende el mismo arco.
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que p
BA ≅ p
DC y q
AED + p
CB = 3 p
BA .
Entonces, la medida del ( x es
A) 45º
B) 60º
C) 72º
D) 84º
3
E) 90º
p
DE = ( DOE = α
O: centro de la circunferencia
β
α
0
C
A B
α
β
0
A B
D
E
B
β
α
0
A
O
α
E
C
B
A
D
O
x
D
E
β =
1
2
α
fig. 1
2. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si ( AOB = 2 BOC,
entonces el BDC mide
(
(
O
C
D
E
B
A
A) 30º
B) 35º
C) 45º
fig. 2
D) 600º
E) 120º

4. TEOREMA
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual
medida.
A
B
β
α
α = β
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
C
A
O
( ACB = 90º
O: centro de la circunferencia
B
TEOREMA
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Q
O
P
r
⇒ ⊥
QP tangente en P QP OP
EJEMPLOS
1. En la figura 1, (TPQ = 140º y (PRQ = 15º. ¿Cuánto mide el (PQT?
T R
P Q
A) 15º
B) 20º
fig. 1
C) 25º
D) 30º
E) 35º
4

5. 2. AC es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 2). ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
A) 15º
B
A
O
55º
B) 25º
C) 35º
D) 55º C
E) 70º
fig. 2
3. En la figura 3, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el (TPO?
T
P
O
40º
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 40º
E) 50º
fig. 3
4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, PA y PB son tangentes en A y B
respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
B
P
O
fig. 4
50º
A
C
A) 25º
B) 50º
C) 65º
D) 100º
E) 130º
5

6. EJERCICIOS
1. AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 1). Si el ángulo COD mide
80º, ¿cuánto mide el ángulo ABO?
D
A
O
B
C
•
A) 20º
B) 30º fig. 1
C) 40º
D) 45º
E) 50º
2. En la circunferencia de centro O y diámetro DB de la figura 2, ¿cuánto mude el ángulo
COA?
D
C
A
40º
O
30º
A) 70º
B) 100º
B
C) 120º fig. 2
D) 140º
E) 160º
3. O y O’ son los centros de las circunferencias de la figura 3. Si (DAC = 40º, ¿cuánto mide
el ángulo DCA?
6
A) 10º
B) 20º
C) 25º
B
D
O
•
O
•
’
A C
fig. 3
D) 40º
E) 50º
4. O es centro de la circunferencia de la figura 4, y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el
ángulo RSP?
S
O
P
A) 22,5º
B) 30º
fig. 4
C) 45º
D) 60º
E) 90º
Q R

7. 5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, ¿cuánto mide el ángulo OPR?
T •
O
P
R
70º
A) 35º
B) 40º
C) 45º Q fig. 5
D) 50º
E) 70º
6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, CA , AB y CB son secantes. Si α = 80º y
β = 50º, x =
(
O
fig. 6
C
B
A β
α
x
A) 65º
B) 75º
C) 90º
D) 100º
E) 130º
7. En la figura 7, O es el centro de la circunferencia. Si (QRO = 36º y (POR = 54º, cuánto
mide el (PTR?
P
O
R
T
• Q
A) 63º
B) 72º
fig. 7
C) 108º
D) 117º
E) 144º
8. En la circunferencia de centro O de la figura 8, ( BAC + ( BDC = 80º. Entonces, ( BOC
mide
O
C
B
D
A
A) falta información
B) 80º
C) 60º
D) 40º fig. 8
E) 20º
7

8. 9. En la figura 9, (ACB = 40º y (BDC = 30º. ¿Cuánto mide el (ABC?
B
C
D
A
30º
40º
A) 60º
B) 90º
C) 100º
fig. 8
D) 120º
E) 110º
10. En la figura 10, MQ es diámetro y (TNQ = 16º. ¿Cuánto mide el (TQM?
T
M
Q
N
A) 74º
B) 64º
fig. 10
C) 45º
D) 32º
E) 16º
11. En la figura 11, O es el centro de la circunferencia. Si BE // CD y ( AOC = 110º,
entonces ¿cuánto mide α?
A
C
D
B
E
•O
α
A) 55º
B) 110º
C) 125º fig. 11
D) 135º
E) 140º
12. En la figura 12, CB // DA . Si p
CD = 80º, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
E
A
D
B
C
I) (BCA = 40º
II) (BEA = 80º
fig. 12
III) p
DA = 100º
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
8

9. 13. O es centro de la circunferencia de la figura 13, ( POQ = ( QOR = ( ROS y ( RSO = 72º.
¿Cuánto mide el ángulo PTQ?
A) 54º T
B) 36º
C) 35º
O
D) 27º
E) 18º
fig. 13
S
P
R
Q
14. p
BC es un cuarto de circunferencia con centro en A (fig. 14). Si BD = AB , entonces
DAC mide
(
9
A) 15º
C
D
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º fig. 14
B
A
15. En la figura 15, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ángulo x es
C
A) 12,25º
B) 12,5º
50º
C) 25º
D) 37,5º
E) 50º
16. En la circunferencia de centro O (fig. 16), ( ABO = 2 AOB. ¿Cuánto mide el ángulo BAO?
(
A) 36º
B) 45º
C) 60º
D) 72º
E) 90º
a
a
x
O
D
A fig. 15
B
fig. 16
O
•
A B

10. 17. En la figura 17, ¿cuánto mide el ángulo inscrito β ?
k + 30º
A) 28º
2k + 10º
β
B) 40º
C) 55º
D) 80º fig. 17
E) 110º
k
18. En la circunferencia de centro O de la figura 18, ¿cuánto mide β ?
Q
A) 40º
P
R
β
O
•
140º
B) 70º
C) 80º
D) 100º
fig. 18
E) 140º
19. En la circunferencia de centro O, AB es diámetro y ( BCD = 125º (fig. 19). Entonces,
BAD mide
(
C
D
O B
A
A) 55º
B) 60º
C) 45º
D) 65º
E) no se puede determinar
fig. 19
20. En la circunferencia de centro O, AB es diámetro y DCB = 130º (fig. 20). Entonces, la
medida del ángulo x es
(
x
O
B
C
D
A
A) faltan datos para determinarlo
B) 40º
C) 55º
D) 65º
E) 70º
fig. 20
10

11. 21. En la circunferencia de centro O (fig. 21), ( AOB = 2 ( ABD. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
C
D
B
O
A
A) 22,5º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) 90º fig. 21
22. Si en la circunferencia de centro O de la figura 22, el ángulo inscrito ACB mide 80º, ¿cuánto
mide el ángulo ABO?
C
A B
O
•
A) 10º
B) 20º fig. 22
C) 25º
D) 50º
E) 70º
23. En la figura 23, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valor del
x?
(
x 126º
O
•
E
A
D
A) 36º
B) 26º
C) 18º
D) 12º
E) Falta información
fig. 23
24. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia de la figura 24, α - β = 120º. Si
2
α
γ = ,
¿cuánto mide el ángulo x? A
D
B
C
α
γ
x
β
A) 30º
fig. 24
B) 75º
C) 105º
D) 150º
E) 155º
11

12. 25. En la circunferencia de centro O de la figura 25, AB es diámetro y p p
CA BD
≅ .
Si p
CA = 3m + 10 y el ADC = 3m – 10, entonces ( x + ( y =
(
A) 170º
y
x
D
C
O B fig. 25
A
B) 160º
C) 150º
D) 140º
E) 120º
26. En la circunferencia de centro O de la fig. 26, se pude conocer el valor de x si:
(1) ( AOB = 2 α
B α
A
O
• fig. 26
(2) ( ABO = α
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. En la circunferencia de centro O de la figura 27, AD y BC son diámetros. Se puede conocer
el valor de x si:
(1) o
CA = 110º
x
A B
C D
O
(2) ACB + ( ADB = 70º
(
A) (1) por sí sola
fig. 27
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
12

13. 28. AB es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 28). La medida del ( ABC se puede
determinar si:
(1) AB = 2 AC
B
A C
O
(2) COB = 2 AOC
( (
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) fig. 28
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29. En la figura 29, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede saber la
medida del CDA si:
( C
O
A
D
(1) ( DCB = 80º
(2) ( DAB = 100º
B
A) (1) por sí sola
fig. 29
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
30. En la circunferencia de centro O de la fig. 30, A y B son puntos de tangencia. Se puede
determinar la medida del ( BOA si:
P
A
O•
B
(1) PBO = PAO
( (
(2) BOA = 3 BPA
( (
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
fig. 30
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
13

14. RESPUESTAS
1. E 6. D 11. C 16. D 21. D 26. A
2. D 7. A 12. C 17. C 22. A 27. D
3. C 8. B 13. E 18. C 23. C 28. D
4. C 9. E 14. B 19. A 24. C 29. E
5. D 10. A 15. B 20. B 25. D 30. B
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4
1 E
2 C A B
3 C A
4 C C A C
5 C A C
CLAVES PÁG. 6
DSIMA16
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web
http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/
14