1. Resumen: Límites de funciones. Asíntotas
• lim f ( x) = f (a) siempre que se pueda sustituir x = a sin problemas en la
x→a
expresión de f(x)
• Los casos en los que no se puedan sustituir es:
k≠0
cuando tengamos =∞
0
Es indeterminado el signo del ∞ y depende de la regla de los signos.
Ejemplos:
1)
 x +1 4
lim
 x →3 − = = −∞ * para ver el signo se sustituye en 2'9
x +1  x − 3 * 0−
lim = ? ∞
x →3 x − 3
 lim x +1 4
= = +∞ * * para ver el signo se sustituye en 3'1
 x →3 +
 x − 3 ** 0 +
x 1
2) lim = = +∞ porque el denominador es siempre +
x→1 ( x − 1) 2 0 +
Los casos de indeterminación que son
0 ∞
∞-∞ , , , 0. ∞ , 1∞ , 00 , ∞0
0 ∞
Indeterminaciones
0 P( x)  P(a) 0  ( x − a) ⋅ ?
de funciones polinómicas: lim =
 Q ( a ) = 0  = x →a ( x − a ) ⋅ ?
 lim
0 x→a Q ( x)  
Se divide por Ruffini numerador y denominador entre x-a y se calcula el límite en
la expresión simplificada.
Ejemplos
0
2 x 2 + 3x + 1 0 ( x + 1) ⋅ (2 x + 1) 2x + 1 −1 1
1) lim 3 2
= lim 2
= lim 2
= =
x → −1 − 4 x − 4 x + x + 1 * x → −1 ( x + 1) ⋅ ( −4 x + 1) x → −1 − 4 x + 1 −3 3
* Dividimos numerador y denominador entre x+1 por Ruffini
2 3 1 -4 -4 1 1
-1 -2 -1 -1 4 0 -1
2 1 0 -4 0 1 0
2)
0 0
4 3 3 2 3 2
− x + 4 x − 16 x + 16 ( x − 2) ⋅ (− x + 2 x + 4 x − 8)
0 − x + 2x + 4x − 8 0
lim 3 2
= lim 2
= lim =
x→ 2 x − 3x + 4 * x→ 2 ( x − 2) ⋅ ( x − x − 2) x→ 2 x2 − x − 2 *
( x − 2) ⋅ ( − x 2 + 4) − x2 + 4 0
= lim = lim = =0
x → 2 ( x − 2) ⋅ ( x + 1) x→ 2 x +1 3
* Dividimos numerador y denominador entre x-2 por Ruffini

2. -1 4 0 -16 16
1 -3 0 4
2 -2 4 8 -16
2 2 -2 -4
-1 2 4 -8 0
1 -1 -2 0
2 -2 0 8
2 2 2
-1 0 4 0
1 1 0
0
de funciones irracionales: se multiplica numerador y denominador por el
0
conjugado
Ejemplos
1)
0
2
x − 2x − 1 ( x − 2 x 2 − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1)
0 x 2 − (2 x 2 − 1)
lim = lim = lim =
x→1 x −1 x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1)
− x2 +1 ( x − 1) ⋅ (− x − 1) − x −1 −2
= lim = lim = lim = = −1
x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x →1
x + 2x 2 − 1 2
2)
0
3− x +9 0 (3 − x + 9 ) ⋅ (3 + x + 9 ) ⋅ (−5 − x + 25 )
lim = lim =
x→ 0 x→ 0
− 5 + x + 25 (−5 + x + 25 ) ⋅ (−5 − x + 25 ) ⋅ (3 + x + 9 )
= lim
[9 − ( x + 9)] ⋅ (−5 − x + 25 )
= lim
− x ⋅ (−5 − x + 25 )
= lim
− 5 − x + 25
=
− 5 − 5 − 10
=
x→ 0
[25 − ( x + 25)] ⋅ (3 + x + 9) x→ 0
− x ⋅ (3 + x + 9 ) x→ 0
3+ x +9 3+3 6
Si observáis los ejercicios anteriores esta indeterminación al igual que en las
funciones racionales se termina cuando:
0
f ( x) 0 ( x − a) ⋅ ?
lim = lim
x→a g ( x) x→a ( x − a) ⋅ ?
Límites de polinomios en ∞
Sea un polinomio p(x) = anxn + an-1xn-1 + ……… + a1 x + a 0
lim p ( x) = lim(a n x n ) = ? ∞ El signo del ∞ se obtiene con la regla de los signos
x →∞ x →∞
Ejemplos
1) lim (−5 x 4 + 2 x 3 − x + 2) = lim (−5 x 4 ) = −∞ 2) lim ( −5 x 4 + 2 x 3 − x + 2) = lim ( −5 x 4 ) = −∞
x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞

3. 3) lim (−2 x 7 + 4 x 2 + 1) = lim (−2 x 7 ) = −∞ 4) lim ( −2 x 7 + 4 x 2 + 1) = lim ( −2 x 7 ) = +∞
x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞
5) lim ( 4 x 5 − 9 x 3 + x ) = lim ( 4 x 5 ) = +∞ 6) lim ( 4 x 5 − 9 x 3 + x ) = lim ( 4 x 5 ) = −∞
x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞
Indeterminación ∞⁄∞ de funciones racionales e irracionales
Se resuelve dividiendo numerador y denominador entre xp siendo p la mayor
potencia de numerador y denominador. Se puede obtener la siguiente regla:
 an
 b si n = m
a n x n + ..... 
m
p ( x) 
lim = lim = 0 si n < m
x→a q( x) x → a b x m + .....
m ∞ si n > m ( El signo del ∞ depende de la regla de los signos )



Ejemplos
4x 5 − 9x3 + x 4 4x 6 − x3 + 1
1) lim = = −2 2) lim = −∞ (en +∞ : 4x6 e s + y -2x5 es -)
x → +∞ x − 2 x 5 − x 2 −2 x → +∞ − 2 x 5 − 3 x 2
− x 4 + 2x3 + x x8 + x5 − 1
3) lim =0 4) lim = +∞ (en -∞ : x8 e s + y -x3 es +)
x → +∞ x 6 − 3 x 2 + 1 x → −∞ − x 3 − 3x 2
x2 −1 1 1
2 1− 2 1− 2
x −1 x 2
x x = 1− 0 = 1
5) lim = lim = lim = lim
x → +∞
9x 4 − x x → +∞ 4
9x − x x → +∞ 4
9x − x x → +∞
1 9−0 3
2 4
9− 3
x x x
Indeterminación ∞ - ∞
∞
x2 x 3 ∞ −∞ x 2 ⋅ ( x + 1) − x 3 ⋅ ( x − 1) − x 4 + 2x3 + x 2 ∞
Tipo 1 lim ( − ) = lim = lim = −∞
x → +∞ x − 1 x +1 x → +∞ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x → +∞ x2 −1
∞
x3 x 4 − x 3 − 2 x 2 ∞ −∞ x 3 ⋅ ( x − 1) − x 4 + x 3 + 2 x 2 2x 2 ∞
lim ( − ) = lim = lim 2 = 2
x → +∞ x + 1 x2 −1 x → +∞ x2 −1 x → +∞ x − 1
Tipo 2
∞ −∞ ( 4 x 2 + x − 2 x) ⋅ ( 4 x 2 + x + 2 x) 4x 2 + x − 4x 2
lim ( 4 x 2 − 1 − 2 x) = lim = lim =
x → +∞ x → +∞
4x 2 + x + 2x x → +∞
4x 2 + x + 2x
∞
x ∞ 1 1
= lim = =
x → +∞
4x 2 + x + 2x 4+2 4

4. Límites de funciones a trozos
3 − x x <1
 4x − 4
 2 1≤ x < 3
 x −1
f ( x) = 
 1 3≤ x <6
x −3
4
 x≥6
lim f ( x) : como a izquierda y derecha de 1 hay funciones diferentes es necesario calcular límites laterales:
x→1
lim f ( x) = lim (3 − x) = 2 
x →1− −
x →1


 ⇒ ∃ lim f ( x) = 2
0
4x − 4 0 ( x − 1) ⋅ 4 4 x→1
lim f ( x) = lim 2 = lim = lim = 2
x →1+ x →1+ x − 1 x →1+ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x →1+ x + 1 

lim f ( x) : como a izquierda y derecha de 3 hay funciones diferentes es necesario calcular límites laterales:
x→3
4x − 4 8 
lim f ( x) = lim = =1 
−
x →3 −
x →3 x 2 − 1 8 
 ⇒ no ∃ lim f ( x) ( en x = 3 hay una D.I.S.I )
1 1 x→3
lim f ( x) = lim = lim + = +∞ 
x → 3+ x →3 + x − 3 x →3+ 0 

lim f ( x) : como a izquierda y derecha de 6 hay funciones diferentes es necesario calcular límites laterales:
x→6
1 1
lim f ( x) = lim
− −
= 
x →6 x →6 x − 3 3  ⇒ no ∃ lim f ( x) ( en x = 6 hay una D.I.S.F )
x→3
lim f ( x) = lim 4 = lim 4
+ + + 
x →6 x →6 x →3
lim f ( x) = lim 4 = 4
x → +∞ x → +∞
lim f ( x) = lim (3 − x) = −∞
x → −∞ x → +∞
Asíntotas de una función
Asíntotas verticales
Las posibles A.V. de una función y = f(x) se encuentran entre los x que anulan el
denominador y aquellos x que son frontera del dominio de la función. Además para que
x = a sea A. V se tiene que cumplir que lim f ( x) = ∞ o alguno de sus límites laterales.
x→ a
Asíntotas horizontales
Si lim f ( x) = b ⇒ la recta y = b es A.H. en +∞
x → +∞
Si lim f ( x) = c ⇒ la recta y = c es A.H. en -∞
x → −∞
Asíntotas oblicuas
Cuando una función no tiene A.H. puede tenerlas oblicuas y se calculan de la siguiente forma:

5. f ( x)
y = mx + n es A.O. cuando ∃ m = lim y ∃ n = lim( f ( x) − mx)
x →∞ x x →∞
Ejemplos: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones
x 2 − 2x
1) f(x) =
2x 2 − 8
A.V. : 2x2 - 8 = 0 ⇒ x = -2 y x = 2 son posibles A.V.
Para ver si lo son se calculan los siguientes límites:
0
2
x − 2x 0 x ⋅ ( x − 2) x 2
lim 2
= lim = lim = ⇒ x = 2 no es A.V.
x→2 2x − 8 x → 2 2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2) x → 2 2 ⋅ ( x + 2) 8
x 2 − 2x 8
lim = = ∞ ⇒ x = -2 es A.V. y para dibujar la función alrededor de la asíntota:
x → −2 2 x 2 − 8 0
 x −2
x − 2x 8 
2  xlim− 2( x + 2) = 0 − = +∞ sustituyendo en − 2'1
→ −2
lim 2 = =
x → −2 2 x − 8 0  x −2
lim+ = + = −∞ sustituyendo en − 1'9
 x →−2 2( x + 2) 0

A.H. : Para ver si existen se calcula el límite de la función en
±∞
x2 − 2x 1
lim = (porque el grado del numerador y denominador son iguales)
x → ±∞ 2 x 2 − 8 2
⇒ y = ½ es A.H. en +∞ y -∞
Dibujamos la función alrededor de la A.H.
100
En +∞ se sustituye en 100: f(100) = = 0’49
204
− 100
En -∞ se sustituye en -100: f(-100) = = 0’51
− 196
A.O. : no hay puesto que existen horizontales
x3 − 2x
2) f(x) =
x2 +1
A.V. : no existen porque x2 + 1 ≠ 0
A.H. : no existen porque lim f ( x) = ∞
x → ±∞
A.O. : y = mx + n
f ( x) x3 − 2x x3 − 2x
m = lim = lim ( 2 : x) = lim 3 =1
x →∞ x x →∞ x +1 x →∞ x + x
x3 − 2x x 3 − 2 x − x ⋅ ( x 2 + 1)
n = lim( f ( x) − mx) = lim ( 2 − x) = lim =
x →∞ x →∞ x +1 x →∞ x2 +1
x3 − 2 x − x3 − x − 3x
lim 2
= lim 2 = 0 (porque el grado numerador < grado denominador)
x →∞ x +1 x →∞ x + 1

6. 3) Así y = x es A.O.
Dibujo la función alrededor de la A.O.
 f (100) = 99'97
En +∞ se sustituye en 100: 
recta = 100
 f (−100) = −99'97
En -∞ se sustituye en -100: 
recta = −100
Observación importante: toda función racional donde el grado del denominador
sea una unidad menor que el grado del numerador tiene A.O. ( no tiene A.H)
Otro tipo de límites
Cuando se calcula un límite y aparece ∞ en el exponente siempre hay que estudiar su
signo como en los siguientes casos:
+ ∞ si a > 1 0 si a > 1
a +∞  a −∞ 
0 si 0 < a < 1 + ∞ si 0 < a <1
Ejemplos
5
 − 05− −∞
∞ 1 : 2 = 2 = 0 ( se sustituye 0 '9 en x − 1 : signo − )
1) lim(3 x − 1) x −1
=2 =  5
x →1
 + 0+ +∞
1 : 2 = 2 = +∞ ( se sustituye 1'1 en x − 1 : signo + )
5
 − 05+ +∞
∞ 1 : 2 = 2 = +∞ ( se sustituye 0 '9 en 1 − x : signo + )
2) lim(3 x − 1) 1− x
=2 =  5
x →1
 + 0− −∞
1 : 2 = 2 = 0 ( se sustituye 1'1 en 1 − x : signo − )
5
( x −1) 2 +∞
4) lim(3 x − 1) =2 =+∞
x →1
En todos los ejemplos anteriores x = 1 es A.V.
−5
( x −1) 2 -∞
5) lim(3 x − 1) =2 =0
x →1
 −  1  −∞ +∞
1
∞ 2 :   = 2 = +∞ ( se sustituye 1'9 en x − 2 : signo − )
 x + 1  x −2  1    2
6) lim 2  =  

x→2 x + 2
 2  + 1
+∞
 2 :  = 0 ( se sustituye 2 '1 en x − 2 : signo + )
 2
Indeterminación 1∞

f ( x) 1∞
1 
Nos basamos en el siguiente resultado: lim1 +
  = e
x →∞
 f ( x) 


7. Ejemplos
x
 2 − 3x 2 
1) lim  = 1∞ indeterminación
x →∞  x − 3 x 2 
 
1 2 − 3x 2 1 2 − 3x 2 2 − 3x 2 − ( x − 3x 3 ) 2− x x − 3x 2
1+ = ⇒ = -1= = ⇒ f (x) =
f ( x) x − 3x 2 f ( x) x − 3x 2 x − 3x 2 x − 3x 2 2− x
2− x
⋅x
x
x −3 x 2 2 − x
⋅ ⋅x  x −3 x 2  x −3 x 2
  



2 − x x −3 x 2
  2− x

   
x
 2 − 3x 
2
1 1 1 
lim 
 x − 3 x 2  = lim1 + x − 3 x 2

 = lim1 +  = lim 1 +   =
 x →∞  x − 3x 2  x →∞  x − 3x 2 
x →∞
  x →∞
 
    
 2− x   2− x   2− x  
 
2 x− x2
  x −3 x 2
2
x −3 x
  2− x

  2 x− x2
1  lim
= lim 1 +   = e x →∞ x −3 x 2 = e⅓
x →∞  x − 3x 2 
  
 2− x  
 
x3
 3x − 1  x +1
2) lim  = 1 indeterminación
∞
 3x 
x →∞
1 3x − 1 1 3x − 1 3x − 1 − 3x − 1
1+ = ⇒ = -1= = ⇒ f (x) = -3x
f ( x) 3x f ( x) 3x 3x 3x
x3 x3 1 x3 1 x3
⋅
 3x − 1  x +1  1  x +1  1 
− 3 x⋅ ⋅
−3 x x +1  1 
−3 x
 −3 x x +1
lim  = lim1 +  = lim1 +  = lim 1 +   =
x →∞
 3x  x →∞
 − 3x  x →∞
 − 3x  x →∞

 − 3x  

x3
lim 2
x→∞ −3 x +1
=e = e-∞ = 0