si

1. Capítulo 1
Funciones de varias variables
Problema 1 Sea f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



x2
− y2
ex+y − 1
x > −y,
2x x ≤ −y.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2
.
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f(x, 1). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en su
caso, calcular g .
•
Solución:
(i) f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: x = −y} por ser composición de funciones ele-
mentales. Falta examinar que ocurre en puntos de la recta x = −y, es decir, (a, −a), a ∈ IR.
Para el cálculo de l´ım
(x,y)→(a,−a)
f(x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
está definida a trozos.
l´ım
(x,y)→(a,−a)
x>−y
x2
− y2
ex+y − 1
= l´ım
(x,y)→(a,−a)
x>−y
(x − y)
(x + y)
ex+y − 1
= 2a
l´ım
(x,y)→(a,−a)
x≤−y
2x = 2a.
Por tanto, el límite existe y vale 2a = f(a, −a), es decir, f es continua en estos puntos.
(ii) La función g está definida como
g(x) = f(x, 1) =



x2
− 1
ex+1 − 1
x > −1,
2x x ≤ −1.
1

2. 2 Problemas
Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR − {−1}
por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar qué
ocurre con x = −1. Procedemos mediante la definición de derivada.
l´ım
x→−1
g(x) − g(−1)
x + 1
= ...
Para calcular este límite tenemos que calcular los límites laterales.
• l´ım
x→−1+
x2
− 1
ex+1 − 1
+ 2
x + 1
= l´ım
x→−1+
x2
− 3 + 2ex+1
(ex+1 − 1)(x + 1)
= l´ım
x→−1+
2x + 2ex+1
ex+1(x + 1) + (ex+1 − 1)
= l´ım
x→−1+
2 + 2ex+1
ex+1(x + 1) + 2ex+1
= 2
• l´ım
x→−1−
2x + 2
x + 1
= l´ım
x→−1−
2 = 2.
En los cálculos anteriores se ha aplicado la regla de L’Hopital.
Por tanto g es derivable en x = −1. Para finalizar calculamos g .
g (x) =



ex+1
(2x − x2
+ 1) − 2x
(ex+1 − 1)2
x > −1,
2 x ≤ −1.
Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



x2
cos
1
x
+ y x = 0,
y x = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: (0, y)} por ser producto, cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (0, b) con b ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
l´ım
(x,y)→(0,b)
x2
cos
1
x
+ y = [0 × acotada ] = b = f(0, b).
Por tanto, f también es continua en los puntos (0, b).

3. Varias variables 3
Problema 3 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



y2
sin(
1
y
) + x y = 0,
x y = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: (x, 0)} por ser producto, cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (a, 0) con a ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
l´ım
(x,y)→(a,0)
y2
sin
1
y
+ x = [0 × acotada ] = a = f(a, 0).
Por tanto, f también es continua en los puntos (a, 0).
Problema 4 Sea f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



1 +
exy
− 1
xy
(x2
+ y2
)
1
x2 + y2
xy = 0,
(1 + y2
)1/|y|
x = 0 e y = 0,
(1 + x2
)1/|x|
y = 0 y x = 0,
1 (x, y) = (0, 0).
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2
.
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f( 1√
2
x, 1√
2
x)
|x|
. Analizar la derivabilidad de g y, en
su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto x = 0.
•
Solución: (i) f es continua en IR2
−{(x, y) ∈ IR2
: xy = 0} por ser composición de funciones
elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas x = 0, es decir, (0, a), a ∈ IR e
y = 0, es decir, (b, 0), b ∈ IR; y el límite en el punto (0, 0).
Para el cálculo de l´ım
(x,y)→(0,a)
f(x, y), a = 0 tenemos que distinguir dos regiones, ya que la
función está definida a trozos.
l´ım
(x,y)→(0,a)
x=0
1 +
exy
− 1
xy
(x2
+ y2
)
1
x2 + y2
=∗
(1 + a2
)1/|a|
l´ım
(x,y)→(0,a)
x=0
(1 + y2
)1/|y|
= (1 + a2
)1/|a|

4. 4 Problemas
Para ∗ utilizamos el infinitésimo l´ım
(x,y)→(0,a)
x=0
exy
−1
xy = 1 y, en ambos límites, que a = 0.
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, a), a = 0. Calculamos ahora
el l´ım
(x,y)→(b,0)
f(x, y), b = 0 :
l´ım
(x,y)→(b,0)
y=0
1 +
exy
− 1
xy
(x2
+ y2
)
1
x2 + y2
= (1 + b2
)1/|b|
l´ım
(x,y)→(b,0)
y=0
(1 + x2
)1/|x|
= (1 + b2
)1/|b|
Luego la función también es continua en estos puntos. Finalmente analizamos la continuidad
de la función en el origen de coordenadas:
• l´ım
(x,y)→(0,0)
xy=0
1 +
exy
− 1
xy
(x2
+ y2
)
1
x2 + y2
= [1∞
] =
e
l´ım
(x,y)→(0,0)
xy=0
1
x2 + y2
exy
− 1
xy
(x2
+ y2
)
=
e
l´ım
(x,y)→(0,0)
xy=0
exy
− 1
xy
x2 + y2
= [ infinitésimo ] = e0
= 1
• l´ım
(x,y)→(0,0)
x=0
(1 + y2
)1/|y|
= [1∞
] = e
l´ım
(x,y)→(0,0)
x=0
y2
|y|
= e
l´ım
(x,y)→(0,0)
x=0
y
y
|y|
= e0
= 1
• l´ım
(x,y)→(0,0)
y=0
(1 + x2
)1/|x|
= [1∞
] = e
l´ım
(x,y)→(0,0)
y=0
x2
|x|
= e
l´ım
(x,y)→(0,0)
y=0
x
x
|x|
= e0
= 1
Así pues la función es continua en todo IR2
.
(ii) La función g está definida como
g(x) = f(
1
√
2
x,
1
√
2
x)
|x|
=



2ex2
/2
− 1 x = 0,
1 x = 0.
Puesto que f es continua en IR2
, su restricción g es continua en IR. Además, g es derivable en
IR−{0} por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar
qué ocurre con x = 0. Procedemos mediante la definición de derivada.
l´ım
x→0
g(x) − g(0)
x
= l´ım
x→0
2ex2
/2
− 2
x
= l´ım
x→0
ex2
/2
− 1
x2/2
x = 0.

5. Varias variables 5
Por tanto g es derivable en x = 0 y g (0) = 0.
La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y − g(0) = g (0)(x − 0) =⇒ y = 1.
Problema 5 Estudiar la continuidad de f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



x2
− y2
ex+y − 1
x > −y,
2x x = −y,
sin(x2
− y2
)
x + y
x < −y.
•
Solución:
(i) f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: x + y = 0} por ser composición de funciones
elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas: x + y = 0, es decir, (a, −a), a ∈
IR.
Para el cálculo de l´ım
(x,y)→(a,−a)
f(x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
está definida a trozos.
l´ım
(x,y)→(a,−a)
x>−y
x2
− y2
ex+y − 1
= l´ım
(x,y)→(a,−a)
x>−y
x + y
ex+y − 1
(x − y) = 2a
l´ım
(x,y)→(a,−a)
x<−y
sin(x2
− y2
)
x + y
= l´ım
(x,y)→(a,−a)
x<−y
x2
− y2
x + y
= l´ım
(x,y)→(a,−a)
x<−y
(x − y) = 2a
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (a, −a).
Problema 6 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



x sin(xy)
x2 + y2
(x, y) = (0, 0),
0 (x, y) = (0, 0).
•
Solución:
La función f es continua en IR2
− {(0, 0)} por ser producto, composición y cociente de
elementales y no anularse el denominador. Para estudiar la continuidad en el (0, 0), debemos
estudiar el límite de la función.
l´ım
(x,y)→(0,0)
x sin(xy)
x2 + y2
= l´ım
(x,y)→(0,0)
x2
y
x2 + y2
= [0 × acotada ] = 0.

6. 6 Problemas
Por tanto, l´ım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 = f(0, 0) y f es continua en este punto.
Problema 7 Sea f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



ex+y
− 1
x + y
y = −x,
1 y = −x.
Estudiar la continuidad de f en IR2
.
•
Solución: La función es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: (x, −x)} por ser cociente de elemen-
tales y no anularse el denominador. Estudiamos que ocurre en los puntos de la forma (a, −a),
a ∈ IR.
l´ım
(x,y)→(a,−a)
ex+y
− 1
x + y
= [ infinitésimos equivalente] = 1 = f(a, −a).
Por tanto, f es continua en estos puntos.
Problema 8 Estudiar la continuidad de la función f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



sin(xy)
x
x > 0,
0 x = 0,
x2
− y
x
x < 0.
•
Solución: (i) f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: x = 0} por ser composición de funciones
elementales y no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de la recta:
x = 0, es decir, (0, b), b ∈ IR.
Para el cálculo de l´ım
(x,y)→(0,b)
f(x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
está definida a trozos.
l´ım
(x,y)→(0,b)
x>0
sin(xy)
x
= l´ım
(x,y)→(0,b)
x>0
xy
x
= b
l´ım
(x,y)→(0,b)
x<0
x2
− y
x
=∗∗ −b
0
= ∞
∗∗
Si b = 0, el límite es 0
0 que es indeterminado, es el caso que nos falta por analizar.

7. Varias variables 7
Por tanto, la función no es continua en los puntos de la forma (0, b), b = 0. Para calcular el
límite l´ım
(x,y)→(0,0)
x<0
x2
− y
x
tenemos que calcular los límites direccionales: y = mx.
l´ımx→0
x<0
x2
− mx
x
= l´ımx→0
x<0
x − m = −m.
Como los límites direccionales dependen de la dirección, l´ım
(x,y)→(0,0)
x<0
x2
− y
x
no existe. Por tanto,
f no es continua en (0, 0).
Problema 9 (i) Estudiar la continuidad de la función f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



ex2
−y2
− 1
x + y
x = −y,
2x x = −y.
(ii) Sea g(x) = ex2
− 1. Hallar el desarrollo de Taylor de orden cuatro de la función g(x) en el
punto x = 0.
•
Solución:
(i) La función es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: (x, −x)} por se cociente de elementales
y no anularse el denominador. A continuación estudiamos que pasa con los puntos de la forma
(a, −a), a ∈ IR.
l´ım
(x,y)→(a,−a)
ex2
−y2
− 1
x + y
= l´ım
(x,y)→(a,−a)
x2
− y2
x + y
= l´ım
(x,y)→(a,−a)
(x − y) = 2a = f(a, 0).
Por tanto f es continua en (a, −a), a ∈ IR.
(ii) Para calcular el desarrollo de Taylor de 4 orden de la función g(x) en el punto x = 0 pode-
mos proceder de dos formas. La primera de ellas consiste en calcular las derivadas directamente
y construir el polinomio:
g(x) = g(0) + g (0)x +
g (0)
2
x2
+
g (x)
6
x3
+
giv)
(x)
24
x4
.
g (x) = 2xex2
, g (x) = ex2
(2 + 4x2
), g (x) = ex2
(4x + 8x + 8x3
),

8. 8 Problemas
Problema 10 Sea f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



sen(x) sen(y)
exy − 1
xy = 0,
sen(x)
x
x = 0, y = 0,
sen(y)
y
x = 0, y = 0,
1 x = y = 0.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2
.
(ii) Sea g(x) = ex2
− 1 f(x, x). Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 de g en un entorno
del punto x = 0.
•
Solución:
(i) f es continua en IR2
−{(x, y) ∈ IR2
: xy = 0} por ser composición y producto de funciones
elementales y no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas
x = 0, y = 0, es decir, (a, 0), a = 0 y x = 0, y = 0, es decir, (0, b), b = 0 y en el punto (0, 0).
• (a, 0), a = 0.
l´ım
(x,y)→(a,0)
xy=0
sen(x) sen(y)
exy − 1
= l´ım
(x,y)→(a,0)
xy=0
sen(x)y
xy
=
sen(a)
a
= f(a, 0).
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (a, 0), a = 0.
• (0, b), b = 0.
l´ım
(x,y)→(0,b)
xy=0
sen(x) sen(y)
exy − 1
= l´ım
(x,y)→(0,b)
xy=0
x sen(y)
xy
=
sen(b)
b
= f(0, b).
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, b), b = 0.
• Calculamos ahora el límite en el (0, 0).
l´ım
(x,y)→(0,0)
xy=0
sen(x) sen(y)
exy − 1
= l´ım
(x,y)→(0,0)
xy=0
1 = f(0, 0)
La función es continua en (0, 0).
(ii) Calculamos g(x) = ex2
− 1 f(x, x) = sen2
(x). El polinomio de Taylor de orden 4 de g
en un entorno del punto x = 0 es:
P4,0(g)(x) = g(0) + g (0)x +
g (0)
2!
x2
+
g (0)
3!
x3
+
giv)
(0)
4!
x4
.

9. Varias variables 9
Calculamos en primer lugar las derivadas y las evaluamos en x = 0.
g(x) = sen2
(x) g(0) = 0
g (x) = 2 sen(x) cos(x) g (0) = 0
g (x) = 2(cos2
(x) − sen2
(x)) g (0) = 2
g (x) = 2(−2 cos(x) sen(x) − 2 sen(x) cos(x)) = −8 sen(x) cos(x) g (0) = 0
giv)
(x) = −8(cos2
(x) − sen2
(x)) giv)
(0) = −8
Por tanto,
P4,0(g)(x) = x2
−
x4
3
.
Problema 11 Sea f : IR2
−→ IR definida por:
f(x, y) =



senh(xy)
x
x = 0,
y x = 0.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2
.
(ii) Sea g(x) = f(x, x). Demostrar que g es C1
(IR) y hallar el polinomio de Taylor de orden 1
de g en un entorno del punto x = 0.
(Indicación: Si l´ım
x→a
k(x) = 0 entonces senh(k(x)) es un infinitésimo equivalente a k(x), x ∈ IRn
.)
•
Solución:
(i) f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: x = 0} por ser cociente de funciones elementales y
no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de la recta: x = 0, es decir,
puntos de la forma (0, b).
l´ım
(x,y)→(0,b)
x=0
senh(xy)
x
= l´ım
(x,y)→(0,b)
x=0
xy
x
= b = f(0, b)
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, b).
(ii) Calculamos g(x) = f(x, x).
g(x) =



senh(x2
)
x
, x = 0
0, x = 0.
Para demostrar que g ∈ C1
(IR) tenemos que probar que g es continua y derivable con
continuidad en IR.

10. 10 Problemas
La función g es continua en IR por ser la restricción de una función continua. Por otro lado,
para cualquier punto x = 0 tenemos que
g (x) = 2 cosh(x2
) −
senh(x2
)
x2
,
que es continua por ser composición de funciones elementales y no anularse el denominador.
Para calcular la derivada en x = 0 aplicamos la definición.
g (0) = l´ım
x→0
g(x) − g(0)
x − 0
= l´ım
x→0
senh(x2
)
x2
= 1.
Por tanto, g es derivable en x = 0 y g (0) = 1. Además,
l´ım
x→0
g (x) = l´ım
x→0
2 cosh(x2
) −
senh(x2
)
x2
= 2 − 1 = 1 = g (0).
Por tanto g ∈ C1
(IR).
El polinomio de Taylor de orden 1 de g en un entorno del punto x = 0 es:
P1,0(g)(x) = g(0) + g (0)x = x.
Problema 12 Sea f : IR2
−→ IR la función definida por
f(x, y) =



(y3
− x)(ex−y
− 1)
x2 − y2
si x2
− y2
= 0
x2
−1
2 si x2
− y2
= 0
.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2
.
(ii) Sea g : IR −→ IR definida como g(x) = f(x, 1). Estudiar la derivabilidad de g en IR y en su
caso calcular la función g .
•
Solución:
(1) La función f es continua en IR2
− {(x, y) ∈ IR2
: x2
− y2
= 0} por ser composición de
funciones elementales que son continuas. Debemos estudiar sólo la continuidad en los puntos de
las rectas x−y = 0 y x+y = 0, ya que entorno de estos puntos la función cambia de definición.
• x − y = 0, los puntos son de la forma (a, a), a ∈ IR.
l´ım
(x,y)→(a,a)
y3
− x
x2 − y2
(ex−y
− 1) = l´ım
(x,y)→(a,a)
y3
− x
x + y
ex−y
− 1
x − y
=



a3
− a
2a
=
a2
− 1
2
= f(a, a) si a = 0
indeterminado si a = 0

11. Varias variables 11
Para resolver la indeterminación debemos calcular el límite mediante los límites por rectas:
y = mx =⇒ l´ım
x→0
m3
x3
− x
x + mx
= l´ım
x→0
m3
x2
− 1
1 + m
=
−1
1 + m
.
Como este último límite depende de las rectas, la función no es continua en el (0, 0), pero sí
lo es en los puntos de la forma (a, a), a = 0.
• x + y = 0, los puntos son de la forma (a, −a), a ∈ IR. Podemos suponer a = 0, ya que del
apartado anterior sabemos que no será continua en este caso.
l´ım
(x,y)→(a,−a)
y3
− x
x2 − y2
(ex−y
− 1) = l´ım
(x,y)→(a,−a)
y3
− x
x + y
ex−y
− 1
x − y
=
(−a3
− a)(e2a
− 1)
0
= ∞,
Luego f no es continua en los puntos de la forma (a, −a).
(ii) La función g(x) = f(x, 1) está dada por:
g(x) =



(1 − x)(ex−1
− 1)
x2 − 1
si x = 1, −1
0 si x = 1, −1
=



−(ex−1
− 1)
x + 1
si x = 1, −1
0 si x = 1, −1
La función g es continua en IR−{−1}, ya que la función f no era continua en (−1, 1). Por tanto
también sabemos que g no será derivable en x = −1. Por otro lado g es derivable en IR−{1, −1}
por ser composición de funciones derivables y no anularse el denominador. Luego sólo nos falta
por estudiar la derivabilidad en el punto x = 1, que debemos efectuar mediante la definición.
g (1) = l´ım
x→1
g(x) − g(1)
x − 1
= l´ım
x→1
−ex−1
−1
x+1
x − 1
= l´ım
x→1
−
ex−1
− 1
x − 1
1
x + 1
= −
1
2
,
lo que implica que g es derivable en x = 1.
Por último la función derivada es:
g (x) =
−ex−1
x+1
(x+1)2 si x = 1
−1
2 si x = 1