Este documento presenta una revisión de límites y derivadas de primer orden. En la primera sección, se plantean varios límites para que se razonen sin aplicar métodos. En la segunda sección, se piden valores numéricos de algunos límites utilizando la calculadora. La tercera sección revisa métodos para calcular límites indeterminados. La cuarta sección presenta ejercicios para calcular límites. La quinta sección revisa las reglas básicas para calcular derivadas. La sexta sección propone ejercicios de

1. REPASO DE LIMITES DE 1º ( non se pode usar L’Hopital)
1.º Sen aplicar ningún método, razoa o valor dos seguintes límites:
lim 2 x +1 = lim 3
x2 + 2 = lim (−5 ⋅ 22 x ) =
x → +∞ x → +∞ x → +∞
lim 2 x +1 = lim (e x − x 3 ) =
x → +∞
lim 4 − x =
x → −∞ x → −∞
x2 + 1 lim (3x − 23 ) = lim ( x 3 − 3 x 2 ) =
lim = x → +∞ x → +∞
x → +∞ e x
3 ⋅ 2x lim ( x 2 − 3 2 x + 1) = x3 + 3x
lim = lim =
x → +∞ 2 x + 1 x → +∞ x → +∞ x 3 − 1
x2 + 3 x3 + 3x lim (0'5 x + 1) =
lim = lim = x → −∞
x → +∞ x 3 − 1 x → +∞ x 2 − 1
2x
 3 1'5 x log 2 x
lim 1 +  = lim = lim =
x → +∞
 x x → +∞ x x → +∞ x
lim( x 3 − 5 x 2 + 3) = lim ( x 2 − 2 − x ) =
x→2 x → −∞
2º . Calcula usando a calculadora, sen aplicar ningún método, os seguintes límites
x
sen x lim( x − 3)·ln( x − 3) =  1
lim = x →3
lim 1 +  =
x→0 x x → +∞
 x
METODOS SEGUNDO O TIPO DE INDETERMINACIÓN
∞
Se procede dun cociente de polinomios divídese entre a maior potencia de x
∞
∞
se procede dun cociente con radicais , igual que en cociente de polinomios pero con coidado.
∞
∞ − ∞ se procede dunha resta de fraccións , faise a operación
∞ − ∞ se procede dunha resta con algún radical , multiplícase e divídese polo conxugado do radical
1∞ , método do número e
0
, tratase de simplificar ou ben sacando factor común ou ben usando Ruffini
0
3.- Calcula os seguintes límites:
5x 2 + 3x + 6 2x − 1 x3 − x 2 x 2 − 10 x + 12
lim lim lim lim
x→∞ x 3 + 2 x + 4 x→ 3 4 x + 3 x→−1 x 3 + 3x + 4 x→ 2 3x 2 − 3x − 6

2. x2 + 1 2 4x + 1 x 3 + x 2 − 5x + 3
lim x 2 + 3x − x lim lim − lim
x→∞ x→∞ 2x + 3 x→ 0 x x2 x→1 x3 − 2x2 + x
2
x2 − 9 + 4  3x 2 − 2 2 x 2   3x − 3 x 2 − 4 2 x 2 − 6x + 4
lim lim  −  lim  lim
x→∞  x + 1 x − 1 x → 2 x + 1  x→ 2 x 3 − 8 x 2 + 2 x − 16
x→∞ x +5
x+2 x 3 +1 x+3
 2 x + 5  3x − 2  x 2 −1  x+3 x3 + x2 + x
lim   lim   lim   lim
x →∞  2 x − 1 x →−1 5x + 4  x →∞  2 x − 1 x→ 0 2 x 2 + 3x
x2
( + x)
4
 x2  x3 − 2x 2 + 3  x +3 
2 x +1
2x
lim  2
 3x − 2 x + 1 
 lim lim  2  lim x −x− x
2 2 x +1
x →∞
  x →∞ x2 − x x →∞ x + x + 1  x →∞
 
 2x − 2
 x 2 − 1 se x > 1

f ( x) =  calcula lim f (x) lim f ( x )
x →∞ x→1
lim f ( x)
x→ 0
lim f (x)
x → −∞
 2 x − 1 se x < 1
 x

REPASO DE DERIVADAS DE 1º
CÁLCULO DE DERIVADAS. REGRAS DE DERIVACIÓN
y=k y' = 0
DERIVADA DUN Nº POR UNHA FUNCION
y=x y' = 1
y = xn y ' = nx n −1 y = k ⋅ f(x) y' = k ⋅ f' (x)
1
y= x y' =
2 x
1 DERIVADA DUNHA SUMA
y= n
x y' =
n x n −1
n
1 y = f(x) + g(x) y' = f' (x) + g' (x)
y = lnx y' =
x
y = ex y' = e x DERIVADA DO PRODUCTO
y = ax y ' = a x ⋅ lna
y = f(x) ⋅ g(x) y' = f' (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g' (x)
y = senx y ' = cosx
y = cosx y ' = − senx
1 DERIVADA DO COCIENTE
y = tanx y' =
cos 2 x f(x) f' (x) ⋅ g(x) − f(x) ⋅ g' (x)
−1 y= y' = 2
y = cotanx y' = g(x) g (x)
sen 2 x
1 REGRA DA CADENA
y = arcsenx y' =
1 − x2
1 y = f(g(x)) y' = f' (g(x)) ⋅ g' (x)
y = arctanx y' =
1 + x2

3. 4. Calcula as seguintes derivadas:
y = 3x 3 −5x 2 +3 y =7x 6 −2x 5 −1 y = (x 3 −1) ⋅(x 2 +2) y = (x 2 + 4x −1) ⋅(3x 5 +6x 2 )
y = (x −1)4 y = (2x +1)3 y = (x 2 + x +1)50 y = (x 2 +1)3 ⋅ x
y = x 3 ⋅(2x +1) y = (x 2 +7x − 8)3 y = x 2 ⋅e x y = x 3 ⋅ senx
x x +3 3x −4 1
y= y= y= y=
x 2 +1 x2 x 2 −6 x +1
1 1
y= y= y = lnx y = x ⋅ lnx
x2 (2x −1)3
y = (x 2 +3) ⋅ lnx y = ln(x 2 +5) y = L(2x −1) y = (Lx)4
y =e x y = x ⋅e x y = x 2 ⋅e x y = (Lx) ⋅ e x
2 2 +1
y = (x +1)2 ⋅ e x y =e x y =ex y = senx
y = sen(x 2 +3) y = sen(x 2 +3x) y = (senx)4 y = L(senx)
y = e senx y = e x ⋅ senx y = cosx y = x ⋅ cos2x
y = cos(x 2 ) y = (cosx +1) ⋅ senx y = e x ⋅(x 3 − x 2 +1) y = 3x 2 ⋅ Lx
y = tan(x 2 +1) y = cosx +e x − x 2 y = x 3 − Lx +cos3x y = sen 3 x + senx 3
1 +cosx x2 x ⋅ lnx senx
y =L y= y= y=
1 −cosx senx x −1 1 −cosx
y = x 2 ⋅ senx y = senx + x ⋅ cosx y = ln 2 (x 3 − x 2 ) y = 2lnx + senx −4cosx
y = x 3 ⋅ lnx y = sen(lnx) y = lnx 2 +ln 2 x y = e x +e −x
x  x −2  1 +lnx x +1
y= y = ln


 y= y=
(1 + x 2 )2  (x +1)3  x2 x −1
2
y = e x ⋅ senx y = 1 + sen 2 x y= L(tg(x 2 +1)) y = (1 −cosx) ⋅ tagx
5.- Calcula as funcións derivadas das seguintes funcións implicitas:
x2+y2=9 x2·y+2xy2*-2x-12=0 x4y-2xy2-3xy+45-4x=x ex·y-xy=0
6.- Calcula usando logaritmos as seguintes derivadas:
y=xsenx y=x3x y=(senx)3x y=(3x-1)x+5 y=(lnx)senx