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Limites

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Teoría de límites

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Limites

  1. 1. 1 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO2.1.2 Límites2.1.2.1 La idea intuitiva de límiteCon los siguientes ejemplos se trata de representar la idea de límite de una formaintuitivaEjemplosa) Sea f(x)=3x+2(1) ¿Cuál es el valor de f cuando x=1?(2) ¿Como se comporta f(x) cuando x está cerca de 1?Solución(1) Se sabe que f(1)=3.1+2, es decir, f(1)=5(2) Para resolver a la segunda pregunta se hace una tabla de valores tomando a xcerca de 1, es decir, un poco menor que 1 y un poco mayor que 1. Así: x 0,9 0,95 0,99 0,999 1,01 1,1f(x) 4,7 4,85 4,97 4,997 5,003 5,.3Se observa que cuando x está cerca de 1, la función f(x) está de cerca de 5.En la gráfica también se observa este hecho. y 7.5 5 2.5 0 -2 -1 0 1 2 x -2.5Se expresa esto diciendo que:"El límite de la función f(x)=3x+2 cuando x tiende a 1 es igual a 5".En símbolos se escribe:
  2. 2. 2 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO lim f(x)=lim(3x+2)=5 x->1 x->1b) Sea g la función definida por g(x)=3-x². ¿Cuál es el límite de g cuando x está cerca de 2?SoluciónSe hace una tabla de valores tomando a x un poco menor que 2 y un poco mayorque 2.Así:x 1 1,5 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5f(x) 2 -0,75 -0,9601 -0,966 -1,004 -1,040 -1,41 -3,25Se observa que cuando x está cerca de 2, la función g(x) está cerca de -1. Esdecir"El límite de la función g(x)=3-x² cuando x tiende a 2 es igual a -1".En símbolos se escribe: lim g(x)=lim(3-x²)=-1 x->2 x->2En la gráfica de g también se observa este hecho.
  3. 3. 3 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO y 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 x -1 1c) Calcular el límite de f ( x) = cuando x tiende a -1. x +1Se observa que cuando x tiende a -1 por la izquierda, el valor de la función es muygrande negativo y cuando x tiende a -1 por la derecha, valor de la función es muygrande positivo.En consecuencia, la función no tiende a tomar un valor bien definido cuando xtiende a -1, y el límite no existe.En la gráfica de g también se observa este hecho
  4. 4. 4 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO y 10 0 -2 -1 0 1 2 x -10 -20En los ejemplos anteriores se ha presentado la noción de una función que tiendehacia un límite. Así en general: Una función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como se quiera de la haciendo que x esté suficientemente cerca de a, sin importar si f está o no definida en a y f(x) l x a x
  5. 5. 5 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO2.1.2.2 ResoluciónPara la resolución de límites, consideraremos las siguientes indeterminaciones: 0a) Indeterminación ( ) 0 ∞b) Indeterminación ( ) ∞c) Límites con radicales Procedimiento:1) Evaluamos el límite 02) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la 0resolveremos factorando. ∞3) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la ∞resolveremos dividiendo cada término para la potencia de mayor grado, debiendo cons tan terecordar que = 0. ∞4) Para límites con radicales tenemos que resolverlos sea aplicando la conjugadao el producto notable que permita eliminar las raíces, o factorando.En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite. 02.1.2.2.1 Indeterminación ( ) 0Recordemos el procedimiento para resolver este tipo de indeterminación:1) Evaluamos el límite 02) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la 0resolveremos factorando.3) En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite.2.1.2.2.1.1 Ejemplos.
  6. 6. 6 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO a) Hallar el límite de: lim 4x²-9x-5 x->11) evaluamos el límite lim (4x²-9x-5) = 4(1)²-9(1)-5=4(1)-9-5=4-9-5=-10 x->12) En vista de que al evaluar el límite no se obtuvo ninguna indeterminación, elvalor del límite es -10 lim 4x²-9x-5= -10 x->1b) Hallar el límite de: u2 − 4lim u−2u->21) evaluamos el límite u 2 − 4 (2) 2 − 4 4 − 4 0lim = = = u−2 2−2 0 0u->2 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando 0 (u + 2)(u − 2)lim , (factorando la diferencia de cuadrados en el numerador). u−2u->2lim u + 2 , simplificandou->2lim u+2=2+2=4, evaluando el límiteu->2 u2 − 4 lim =4 u−2 u->2
  7. 7. 7 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADOc) Hallar el límite de: 2x − 6lim x−3x->31) evaluamos el límite 2 x − 6 2(3) − 6 6 − 6 0lim = = = x−3 3−3 0 0x->3 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando 0 2( x − 3)lim (factorando el factor común en el numerador). x−3x->3lim 2 , simplificandox->3lim 2=2, evaluando el límitex->3 2x − 6 lim =2 x−3 x->3d) Hallar el límite de: x 2 − 6x + 9lim x−3x->31) evaluamos el límite x 2 − 6 x + 9 (3) 2 − 6(3) + 9 9 − 18 + 9 18 − 18 0lim = = = = x−3 3−3 0 0 0x->3 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando 0
  8. 8. 8 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO ( x − 3) 2lim (factorando el trinomio cuadrado perfecto en el numerador). x−3x->3lim x − 3 , simplificandox->3lim x − 3 = 3 – 3 = 0, evaluando el límitex->3 x 2 − 6x + 9 lim =0 x−3 x->3e) Hallar el límite de: ( x + h) 3 − x 3lim hh->01) evaluamos el límite ( x + h) 3 − x 3 ( x + 0) 3 − x 3 x 3 − x 3 0lim = = = h h 0 0h->0 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando 0 [( x + h) − x][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )lim ,(factorando la diferencia de cubos). hh->0 [ x + h − x][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]lim hh->0 [h][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]lim , simplificando hh->0 [h][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]lim , simplificando h
  9. 9. 9 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADOh->0evaluando el límite [( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]lim = ( x + 0) 2 + ( x + 0) x + x 2 = x 2 + x 2 + x 2 = 3 x 2h->0´ ( x + h) 3 − x 3 lim =3x2 h h->02.1.2.2.1.2 Ejercicios propuestos 11. lim 3x − 6 , Sol. ∞ x->2 h3 − 82. lim h − 4 , Sol. 3 2 h->2 x2 −13. lim x + 1 , Sol. − 2x->-1 5x 2 − 2 x + 1 404. lim 6x − 7 , Sol. 11x->3
  10. 10. 10 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO ∞2.1.2.2.2 Indeterminación ( ) ∞Recordemos el procedimiento para resolver este tipo de indeterminación:1) Evaluamos el límite ∞2) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la ∞resolveremos dividiendo cada término para la potencia de mayor grado, debiendo cons tan terecordar que = 0. ∞3) En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite. La idea de evaluar infinito la debemos asociar con un número sumamente grande Por ejemplo si sumamos ∞ a 1 predomina ∞. Es como tener 1’000000 +1 predomina 1’000000
  11. 11. 11 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO2.1.2.2.2.1 Ejemplosa) Hallar el límite de: 3x + 9lim 4x − 7x-> ∞1) evaluamos el límite 3(∞) + 9 ∞ + 9 ∞lim = = 4(∞) − 7 ∞ − 7 ∞x-> ∞ ∞2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la ∞potencia de mayor grado. 3x 9 +lim x x (la potencia de mayor grado es 1). 4x 7 − x xx-> ∞ 9 3+lim x , simplificando 7 4− xx-> ∞ 9 3+lim ∞ , (evaluamos el límite) 7 4− ∞x-> ∞ 3+0 cons tan telim ,( debemos recordar que = 0 .) 4−0 ∞x-> ∞ 3+0lim 4−0x-> ∞ 3x + 9 3 lim = 4x − 7 4 x-> ∞
  12. 12. 12 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADOb) Hallar el límite de: x−3lim x2 + 9x-> ∞1) evaluamos el límite ∞−3 ∞ ∞lim = = (∞ ) + 9 ∞ + 9 ∞ 2x-> ∞ ∞2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la ∞potencia de mayor grado. x 3 2 − 2lim x x (la potencia de mayor grado es 2). 2 x 9 2 + 2 x xx-> ∞ 1 3 − 2lim x x , simplificando 9 1+ 2 xx-> ∞ 1 3 − 2lim ∞ ∞ , (evaluando el límite) 9 1+ 2 ∞x-> ∞ 0−0 cons tan telim , (debemos recordar que = 0 .) 1+ 0 ∞x-> ∞
  13. 13. 13 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO 0lim 1x-> ∞ x−3 lim =0 x2 + 9 x-> ∞c) Hallar el límite de: x2lim 2x + 1x-> ∞1) evaluamos el límite (∞ ) 2 ∞ ∞lim = = 2(∞) + 1 ∞ + 1 ∞x-> ∞ ∞2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la ∞potencia de mayor grado. x2lim x2 (la potencia de mayor grado es 2). 2x 1 + x2 x2x-> ∞ 1lim , simplificando 2 1 + x x2x-> ∞ 1lim , (evaluando el límite) 2 1 + 2 ∞ ∞x-> ∞ 1 cons tan telim ,(debemos recordar que = 0 .) 0+0 ∞
  14. 14. 14 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADOx-> ∞ 1lim 0x-> ∞ x2 lim =∞ 2x + 1 x-> ∞d) Hallar el límite de: x 3 − 100 x 2lim x +1x-> ∞1) evaluamos el límite (∞) 3 − 100(∞) 2 ∞ − 100∞ ∞lim = = (∞ ) + 1 ∞ ∞x-> ∞ ∞2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la ∞potencia de mayor grado.
  15. 15. 15 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO x 3 100 x 2 −lim x3 x 3 (la potencia de mayor grado es 3). x 1 3 + 3 x xx-> ∞ 100 1−lim x , simplificando 1 1 2 + 3 x xx-> ∞ 100 1−lim ∞ , (evaluando el límite) 1 1 + 3 ∞ 2 ∞x-> ∞ 1− 0 cons tan telim ,(debemos recordar que = 0 .) 0+0 ∞x-> ∞ 1lim 0x-> ∞ x 3 − 100 x 2 lim =∞ x +1 x-> ∞
  16. 16. 16 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO2.1.2.2.2.2 Ejercicios propuestos x2 + x +11. lim , Sol. 1 x 2 − 6x + 8 x-> ∞ x 2 + 1002. lim , Sol. ∞ x x-> ∞ u 2 + 100u + 173. lim , Sol. 0 u3 − 2 u-> ∞ 4t 2 − t + 14. lim , Sol. 0 t3 +1 t-> ∞2.1.2.2.3 Limites con radicalesRecordemos el procedimiento para resolver este tipo de límites:1) Evaluamos el límite ∞2) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la ∞resolveremos dividiendo cada término para la potencia de mayor grado, debiendo cons tan terecordar que = 0. ∞ 03) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la 0resolveremos sea aplicando la conjugada o el producto notable que permitaeliminar las raíces, o factorando.En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite.
  17. 17. 17 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO2.1.2.2.3.1 Ejemplosa) Hallar el límite de: x2 +1lim 4x + 3x-> ∞1) evaluamos el límite ∞2 +1 ∞ ∞lim = = 4∞ + 3 ∞ + 3 ∞x-> ∞ ∞2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la ∞potencia de mayor grado. x2 1 2 + 2 x xlim (la potencia de mayor grado es 1). 4x 3 + x xx-> ∞ 1 1+ x2lim , simplificando 3 4+ xx-> ∞ 1 1+lim ∞ 2 , (evaluamos el límite) 3 4+ ∞x-> ∞ 1+ 0 cons tan telim ,( debemos recordar que = 0 .) 4+0 ∞x-> ∞
  18. 18. 18 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO 1lim 4x-> ∞ x2 +1 1 lim = 4x + 3 4 x-> ∞b) Hallar el límite de: 4 − x2lim 3 − x2 + 5x->21) evaluamos el límite 4 − x2 4 − (2) 2 4−4 0 0 0 0lim = = = = = = 3− x +5 2 3 − (2) + 5 2 3− 4+5 3− 4+5 3− 9 3−3 0x->2 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación multiplicando y 0dividiendo por la conjugada. 4 − x2 3 + x2 + 5lim * (resolvemos la diferencia de cuadrados). 3 − x2 + 5 3 + x2 + 5x->2 (4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 )lim , simplificando 9 − ( x 2 + 5)x->2 (4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 )lim , simplificando 9 − x2 − 5x->2
  19. 19. 19 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO (4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 )lim , simplificando 4 − x2x->2lim (3 + x 2 + 5 ) , simplificandox->2lim 3 + 2 2 + 5 = 3 + 9 = 3 + 3 = 6 , (evaluando el límite)x->2 4 − x2 lim =6 3 − x2 + 5 x->2c) Hallar el límite de: x−2lim x2 − 4x->21) evaluamos el límite x−2 2−2 0 0 0lim = = = = x2 − 4 22 − 4 4−4 0 0x->2 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando. 0 x−2 ( x − 2)lim * (resolvemos la diferencia de cuadrados). ( x + 2)( x − 2) ( x − 2)x->2 ( x − 2)( ( x − 2) )lim , simplificando ( x + 2) ( ( x − 2) ) 2x->2
  20. 20. 20 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO ( x − 2)( ( x − 2) )lim , simplificando ( x + 2) ( x − 2)x->2 ( x − 2)lim , simplificando ( x + 2)x->2 2−2 0 0lim = = = 0 , (evaluando el límite) 2+2 4 2x->2 x−2 lim =0 x2 − 4 x->2d) Hallar el límite de: x−2lim x −4 2x->21) evaluamos el límite x−2 2−2 0 0lim = 2 = = x −4 2 −4 4−4 0 2x->2 02) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando. 0 x−2 ( x − 2)lim * (resolvemos la diferencia de cuadrados). ( x + 2)( x − 2) ( x − 2)x->2 ( ( x − 2) ) 2lim , simplificando ( x + 2)( x − 2) ( x − 2)x->2
  21. 21. 21 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO x−2lim , simplificando ( x + 2)( x − 2) ( x − 2)x->2 1lim , simplificando ( x + 2) ( x − 2)x->2 1 1 1 1lim = = = = ∞ , (evaluando el límite) ( 2 + 2) 2 − 2 ( 4) 0 (4)(0) 0x->2 x−2 lim =∞ x2 − 4 x->22.1.2.2.3.2 Ejercicios propuestos x −11. lim , Sol. 2 x +3−2 2 x->1 x 2 − 812. lim , Sol. -108 3− x x->9 13. lim x 2 + x − x , Sol. 2 x-> ∞ x4 + 34. lim , Sol. 0 x3 + x + 1 x -> ∞

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