Investigación Operativa - 7 - Modelos de Espera 20 v0

CAPÍTULO 7
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Gral. Pacheco – República Argentina
Ing. Sergio Daniel Verducci – Investigación Operativa

El ser humano espera que lo atiendan en innumerables
situaciones de su vida diaria y este suceso, en varios de
los casos, puede resultar molesto
El tiempo que insume esperar influye negativamente en
la calidad de vida de las personas y en su economía
Pero lamentablemente la posibilidad de eliminar las
esperas por completo es imposible dado que el costo de
lograrlo implica una pérdida mayor que la que provoca
Debe considerarse también, que la espera no es un
fenómeno reservado a las personas, dado que existen
otros casos que afectan a distintos tipos de servicio
requeridos por objetos (tangibles o intangibles) en ocasión
de múltiples procesos que, de igual forma, representan
condiciones similares por su ineficiencia

Así, como mayor aspiración, lo que se puede intentar
es encontrar un equilibrio entre el costo de brindar un
servicio y el costo de esperar por recibirlo
Nivel de Servicio
Costo
COSTO TOTAL
COSTO de SERVICIO
COSTO de ESPERA
 Costo
Mínimo Total
Nivel Óptimo 
PUNTO DE
EQUILIBRIO

“Una LÍNEA DE ESPERA es el efecto que produce
un desequilibrio temporal entre la capacidad que
exhibe un sistema para prestar un servicio y la
demanda que éste presenta”
La TEORÍA DE COLAS es una
colección de modelos matemáticos
que describen el comportamiento
de Sistemas de Líneas de Espera
De tal manera la LÍNEADEESPERA se presentará cuando
un conjunto de clientes llegan a un determinado lugar
demandando un servicio a un servidor con capacidad de
atención limitada y, ante la situación de no encontrarlo
disponible inmediatamente, deciden esperar

SISTEMA
Se entiende por SISTEMA a un modelo formado por
distintos componentes y procesos que describen el
comportamiento de los clientes (u objetos) que ingresan
demandando atención (o servicio), y al no encontrar un
servidor disponible, esperan con una determinada
disciplina para luego de ser atendidos, retirarse
FUENTE DE
CLIENTES
UNIVERSO
ENTRADA SALIDA
SUBSISTEMA
de ESPERA
SUBSISTEMA
de SERVICIO
LÍNEA DE ESPERA SERVIDOR

Los principales componentes del sistema son:
CLIENTE
Es el sujeto u objeto externo que llega al
sistema en busca de un servicio
Ejemplos: compradores en una verdulería,
automóviles en un taller, platos sucios en un
restaurant, aviones por aterrizar, camión cargado en un
puerto, etc.
SERVIDOR
Sujeto u objeto perteneciente al sistema que
produce el servicio buscado por los clientes
Ejemplos (respectivos): verdulero, mecánico,
lavaplatos, pista de un aeropuerto, grúa de
carga y descarga portuaria, etc.

Cuando aludimos a una ESPERA, nos podemos referir
tanto a la de los clientes como la de los servidores
Los clientes pueden esperar temporalmente en una cola
cuando los medios existentes no pueden satisfacer sus
demandas de servicios
Los servidores pueden esperar porque los medios
existentes son excesivos en relación con la demanda
temporal de los clientes
El dilema a resolver es:
► Asumir los costos de prestar un buen servicio
mediante la menor espera posible de los clientes
► Asumir los costos derivados de la formación de
largas colas con esperas excesivas de los clientes

Los posibles ESTADOS de estos componentes son:
• No Disponible: No preparado para brindar su servicio
Posibles ESTADOS de un SERVIDOR
Posibles ESTADOS de un CLIENTE
• Esperando: Formando la cola
• Siendo Servido: Recibiendo atención del servidor
• Fuera del Sistema: En la fuente de clientes o población
• Atendido: Saliendo del sistema hacia el universo
• Disponible: Esperando un cliente para prestar servicio
• Ocupado: Prestando servicio a un cliente

• De Servidor No Disponible: es el costo de disponer del
equipamiento necesario para ofrecer el servicio (amortizacionesde
equipos,bienesdeuso,etc.)
• De Servidor Disponible: es el costo de mantener disponible
el equipamiento necesario para ofrecer el servicio a un potencial
cliente (manodeobra,amortizacionesdeequipos,bienesdeuso,etc.)
• De Servidor Ocupado: es el costo de atender a un cliente
(insumos,manodeobra,amortizacionesde equipos,bienesdeuso,etc.)
Los posibles COSTOS de estos componentes son:
Posibles COSTOS de un CLIENTE
Posibles COSTOS de un SERVIDOR
Son difíciles de establecer y prácticamente sólo pueden ser
estimados a través de porcentajes de rechazos y abandonos
del sistema o mediante encuestas de satisfacción

El origen de la Teoría de Colas se remonta a 1909, año en
el cual el ingeniero danés Agner Krarup Erlang
analiza la congestión de tráfico telefónico
con el objetivo de cumplir la demanda
incierta de servicios en el sistema
telefónico de Copenhague
Sus investigaciones derivan en la
Teoría de Colas que hasta el presente
constituye una valiosa herramienta para
el mundo de los negocios debido a que
un gran número de problemas pueden caracterizarse,
como problemas de congestión llegada-salida

Sabemos que para optimizar el Sistema se debe lograr
un BALANCE ECONÓMICO entre el costo del servicio y el
costo asociado a la espera por ese servicio
La Teoría de Colas en sí, no resuelve este problema, pero
tiene como objetivo proporcionarnos la información
necesaria para la toma de decisiones adecuadas al:
► Identificar el óptimo nivel de capacidad del sistema
que minimiza su costo global
► Evaluar el impacto que las alternativas de
modificación de la capacidad del sistema tendrían en
su costo total
► Establecer un balance equilibrado (óptimo) entre
las consideraciones cuantitativas de los distintos
costos y las cualitativas de servicio

POBLACIÓN
Fuente de Clientes
ENTRADA
AL SISTEMA
SERVICIO
INGRESO
AL SERVICIO
COLA DE
ESPERA
¿SERVIDOR
DISPONIBLE?
¿SERVIDOR
DISPONIBLE?
SALIDA DEL SISTEMA
SI
SI
NO
NO
ABANDONOS
UNIVERSO
SISTEMA
λ
µ [Clientes/Tiempo]
RECHAZOS
 Factor de Utilización del Sistema
Muchos clientes suelen
volver a la Población
UNIVERSO
[Clientes/Tiempo]

El desafío es encontrar un modelo que represente lo
más fielmente posible la realidad, de manera que se
puedan obtener conclusiones satisfactorias, y para ello
se debería identificar como entran y salen los clientes
del sistema, lo más exactamente posible
Disciplina de
ENTRADA al SISTEMA
Disciplina de
SALIDA del SISTEMA
l mTasadeEntrada TasadeSalida

Pero no obstante de tener claro el objetivo, existen
ciertas dificultades para alcanzarlo dado que en general
no se sabe con exactitud en que momento llegarán los
clientes, ni el tiempo que puede requerir la prestación
de un servicio que no tiene una duración fija
Para avanzar deben estudiarse las características
particulares del sistema, principalmente sus condiciones
de funcionamiento y las disciplinas de entrada y salida
de los clientes, siendo esta última, dependiente directa
del patrón de servicio o atención
También puede ser importante conocer la influencia de
las condiciones del subsistema de espera y la disciplina
con que los clientes pasan del subsistema de espera al
subsistema de servicio

Régimen de Funcionamiento
Disciplina de Entrada
Condiciones del Subsistema de Espera
Disciplina de Cambio de Subsistema
Patrón de Servicio
A continuación se analizarán las distintas características
necesarias para el estudio del sistema
Factor de Utilización

Conocido el esquema de funcionamiento básico del
sistema se observa que una de las claves está en
determinar el FACTOR de UTILIZACIÓN que permita
evaluar el proceso
λ → Cantidad de Clientes que Entran al Sistema por unidad de Tiempo
µ → Cantidad de Clientes que Salen del Sistema por unidad de Tiempo
→ Tasa de Entrada o de Nacimientos
→ Tasa de Salida o de Muertes
FACTOR de UTILIZACIÓN del SISTEMA
Analizando la relación podría asegurarse que si las tasas
de entrada y salida fuesen iguales …
λ = µ →  = 1 Condición Óptima de equilibrio
Si λ > µ →  > 1 Se acumularían clientes en la cola
Si λ < µ →  < 1 Se presentarían servidores ociosos

RÉGIMEN DE FUNCIONAMIENTO
Superada esa etapa, los factores del sistema se vuelven
independientes de las condiciones iniciales y se dice
que el sistema pasa a un Régimen de Funcionamiento
ESTACIONARIO o ESTABLE, etapa en la cual el nivel de
operación se considera normal y se debe cumplir
Al comienzo del proceso los distintos factores del
sistema se encuentran bastante influenciados por las
condiciones iniciales, durante lo que se conoce como
Estado o Régimen de Funcionamiento TRANSITORIO, el
cual se recomienda descartar para el análisis
También, en forma aislada, pueden presentarse otras condiciones
anormales como las “horas pico” que no consideraremos

DISCIPLINA de ENTRADA AL SISTEMA
Es el orden de ingreso de los clientes, caracterizado por
la tasa de entrada (λ) o su inversa, el tiempo entre dos
llegadas sucesivas (te) y puede resultar:
• DETERMINÍSTICO
Se presenta cuando la entrada de clientes es constante
(un ejemplo sería cuando se concedan turnos de atención)
• ALEATORIO
Es el caso más frecuente, que normalmente se puede
considerar como PROBABILÍSTICO puesto que, bajo
ciertas condiciones, se ajusta a una Distribución de
Poisson

Distribución de POISSON
Es una distribución de probabilidad aplicable a
variables discretas propuesta en 1838 por el
matemático francés Siméon Denis Poisson,
que a partir de una frecuencia de ocurrencia
media, expresa la probabilidad de que ocurran
un determinada cantidad de eventos (x) durante cierto
período de tiempo (T)
Esta distribución cuenta sucesos aleatorios teóricamente
ilimitados que se presentan con regularidad e independencia
en casos de muy baja probabilidad de ocurrencia (muy raros)
Es aplicable sólo cuando la probabilidad de que llegue un cliente para
un período dado sea la misma que para iguales períodos sucesivos y
cuando la llegada de un cliente no influye sobre la llegada de otro

La función de probabilidad, siendo λ la
cantidad promedio de ocurrencia es:
MEDIA → E(x) = >0
VARIANZA → V(x) =
0
Px (T)
Para valores medios de λ
resulta asimétrica y para
λ>10 se aproxima a una
distribución normal
DESVIACIÓNESTÁNDAR →

Ahora, el tiempo entre llegadas te se define como la
probabilidad de que no llegue ningún cliente
Es decir que los tiempos entre dos llegadas
sucesivas siguen una distribución exponencial
0
te (T)
Entonces se trabaja con:
• Cantidad de Llegadas → Poisson
• Tiempo entre Llegadas → Exponencial

Ejemplo de llegadas con distribución de Poisson
Si a un sistema llegan entre las 14:00 y las 15:00 hs
un promedio de 6 clientes, la probabilidad de que x
clientes lleguen entre las 14:00 y las 14:30 hs será:
Calculando para cada valor de x y graficando, tenemos …
Con λ=6 clientes/h
T=0,5 h

Ejemplo de llegadas con distribución de Poisson
Si a un sistema llegan entre las 14:00 y las 15:00 hs
un promedio de 6 clientes, la probabilidad de que x
clientes lleguen entre las 14:00 y las 14:30 hs será:

CONDICIONES del SUBSISTEMA de ESPERA
CAPACIDAD:
Es la máxima cantidad de clientes que admite el
subsistema de espera, que puede ser finita o infinita
De saturarse se puede normalizar de tres maneras:
 Mediante el impedimento de nuevos ingresos
evitados por parte del sistema
 Mediante la acción de RECHAZO por parte de los
clientes que no ingresan al subsistema
 Mediante la acción de ABANDONO por parte de los
clientes que desisten de esperar
Por cuestiones de ocurrencia y simplicidad se va a
trabajar con capacidad infinita exclusivamente

• Una sola cola para un solo servidor
• Una sola cola para múltiples servidores
• Múltiples colas para múltiples servidores
HOMOGENEIDAD:
La cola se denomina HOMOGÉNEA cuando todos los
clientes que la conforman requieren esencialmente el
mismo servicio y HETEROGÉNEA cuando los clientes
demandan servicios distintos
• Colas sucesivas entre servidores sucesivos (en tándem)
CONFIGURACIÓN:
Es la característica del subsistema de espera definida
por la relación entre la cantidad de colas y servidores

Cola ÚNICA
Servidor MÚLTIPLE
Cola ÚNICA
Servidor ÚNICO
Cola MÚLTIPLE
Servidor MÚLTIPLE
Servidor SECUENCIAL

DISCIPLINA de CAMBIO de SUBSISTEMA
Se produce cuando llegado su turno, el cliente pasa del
subsistema de espera al subsistema de servicio
• FIFO (First In First Out) Se atiende al que ingresó primero
• SIRO (Service In Random Order) Se atiende aleatoriamente
• LIFO (Last In First Out) Se atiende al que ingresó último
• PRIO (Priority) Se atiende en base prioridades
El orden con que se seleccionan los clientes en espera
para recibir el servicio puede ser:
En los casos de atención de personas suelen combinarse
las disciplinas FIFO y PRIO de manera que se atiende
por orden de llegada salvo excepciones como el caso de
discapacitados, embarazadas, mayores de 70 años, etc.,
cuyo ingreso es inmediato

PATRÓN de SERVICIO
• DETERMINÍSTICO
Cuando el tiempo de servicio es fijo para todos los clientes
• ALEATORIO
Cuando el tiempo varía según el servicio prestado, aunque
en muchos casos, modelándolo de forma adecuada se
puede considerar PROBABILÍSTICO
Es el modelo de atención al cliente que se efectúa en el
Subsistema de Servicio y que se caracteriza por:
n → Cantidad de Servidores Activos
ts → Tiempo de Servicio por cliente de un Servidor
El tiempo que requiere la prestación de un servicio puede
ser de dos tipos:

PATRÓN de SERVICIO
Ese modelo representado por una determinada distribución de
probabilidad para los tiempos de servicio se encuentra entre
dos extremos:
• Exponencial
Entre otras de media y varianza conocidas, una distribución
intermedia es la de Erlang que utiliza un parámetro de forma
k para determinar su desviación estándar
• Determinístico
→  = MEDIA ; ts = ALEATORIO
→  = 0 ; ts = CONSTANTE
Si k= → Determinístico
Si k=1 → Exponencial
• Erlang → →

PATRÓN de SERVICIO Distribución EXPONENCIAL
T
0
P
P(t) = µ e –µ T
La probabilidad de que ts  T, sería:
Es la función de probabilidad en la cual
µ es el promedio de clientes que pueden
ser atendidos en un período de tiempo T
VARIANZA → V(t) =
MEDIA → E(t) = >0
DESVIACIÓN ESTÁNDAR →

PATRÓN de SERVICIO
Algunos ejemplos para tres valores de µ
P(t)
T
µ=1,5
µ=1,0
µ=0,5
Distribución EXPONENCIAL
P(ts<T)
µ=1,5
µ=1,0
µ=0,5
T

PATRÓN de SERVICIO Distribución de ERLANG
t
0
Px (t)
La probabilidad de que ts  T, sería:
Ejemplo con k=2

PATRÓN de SERVICIO Distribución de ERLANG
Algunos ejemplos para pares de valores de µ y k
P(t)
k=1 ; 1/µ=2
k=2 ; 1/µ=2
P(ts<T)
T
k=3 ; 1/µ=2
k=5 ; 1/µ=1
k=9 ; 1/µ=0,5
k=1 ; 1/µ=2
k=2 ; 1/µ=2
k=3 ; 1/µ=2
k=5 ; 1/µ=1
k=9 ; 1/µ=0,5

CODIFICACIÓN de los MODELOS de ESPERA
Ante la diversidad de modelos de espera, el matemático
británico David George Kendall, propuso en 1953 un método
de identificación que, a través del uso de 6 dígitos, permite
reconocer distintas características del modelo, a saber:
A | B | n | C | F | H
A → Disciplina de Entrada al Sistema
B → Disciplina de Salida del Sistema
n → Cantidad de Servidores del Sistema
C → Capacidad del Sistema (Se omite si es INFINITA)
F → Disciplina de Atención (Se omite si es FIFO)
H → Cantidad de Líneas de Espera (Se omite si es 1)
M Probabilística Poisson
D Determinística
G General (otra distribución)
M Probabilística Exponencial
D Determinística
G General (otra distribución)
E Probabilística Erlang

En los análisis preliminares ya fueron definidos …
De acuerdo a las características del SERVICIO, tenemos:
l → Tasa de Entrada de Clientes del Sistema o de Nacimientos
Cantidad Promedio de Llegadas por unidad de Tiempo
 → Factor de Utilización del Sistema
m → Tasa de Salida de Clientes del Sistema o de Muertes
Cantidad Promedio de Salidas por unidad de Tiempo
→ Tiempo Promedio entre llegadas sucesivaste
n
ts → Tiempo Promedio de Servicio
ms → Tasa de Salida de Clientes por Servidor
Cantidad Promedio de Salidas por Servidor por unidad de Tiempo
→ Cantidad de Servidores

De acuerdo a las características de la COLA, tenemos:
… y respecto del SISTEMA en su conjunto:
Ls → Cantidad Promedio de Clientes en el Sistema (Lenghtinsystem)
Ws → Tiempo Promedio en el Sistema (Waitinsystem)
Lq → Cantidad Promedio de Clientes en la Cola (Lenghtinqueu)
Wq → Tiempo Promedio de Espera en la Cola (Waitinqueu)
Estos son los habitualmente denominados
PARÁMETROS de DESEMPEÑO del sistema utilizados
para evaluar su rendimiento
o “perfomance”

Disciplina de
ENTRADA al SISTEMA
Disciplina de
SALIDA del SISTEMA
Disciplina de
SALIDA de la COLA y
ENTRADA al SERVIDOR
Wq ; Lq
Ws ; Ls
n ; tsl ; te m ; ms
Entradas
o Nacimientos
Salidas
o MuertesLq es también conocido como “Longitud de la Cola”
( RESUMEN )

Estable si o siλ  µ   1
Funcionamiento del Sistema
Tasa de Entrada y Tiempo entre Entradas sucesivas
(Modelo Estable)
µ = n µs
Tasas de Salida, Cantidad de Servidores y Tiempo de Servicio
Cantidad de Clientes en Espera y en el Sistema
Ls = Lq + n ConocupaciónPLENA deServidores

(Modelo Estable)
Ws = Wq + ts
Tiempos en Espera, de Servicio y en el Sistema
Lq = λ Wq
La ley formulada por John Little en 1961, establece la
relación entre el promedio de cantidad de clientes con el
tiempo promedio, tanto en la espera como en el sistema:
Fórmula de Little
Ls = λ Ws
Son aplicables en sistemas funcionando en régimen estable
con infinita cantidad de clientes y colas simples

Problema Ejemplo •
Suponiendo que el ingreso se representa con un modelo determinista se
pide:
1) El numero de puestos de atención para que el sistema resulte estable
2) La tasa de salida
3) El factor de utilización resultante del sistema
CASO A - Citando clientes en grupos de 20 cada hora
4) El tiempo promedio de espera
5) El tiempo promedio en el sistema
6) La cantidad promedio de clientes la cola
7) La cantidad promedio de clientes en el sistema
CASO C – Ídem Caso A citando clientes en grupos de 5 cada 15 minutos
CASO B – Ídem Caso A citando clientes en grupos de 10 cada 30 minutos
CASO D – Ídem Caso A citando clientes en grupos de 4 cada 10 minutos
A un centro de atención llegan 20 clientes por hora y la atención de cada
uno de ellos insume un tiempo fijo de 10 minutos

1) El numero de puestos de atención para que el sistema resulte estable
Datos: λ = 20 [ Clientes / hora ] ; ts = 10 [ min ]RESOLUCIÓN
ts = 10 [ min ] . 1 [ h ] / 60 [ min ] → ts = 0,1667 [ h ]
µ = n µs
→ µ  λ  20 [ Clientes / hora ]
n = 4 3,333 →
2) La tasa de salida
µ = n µs = 4 . 6 → µ = 24 [ clientes / hora ]
3) El factor de utilización resultante del sistema
 = 0,83
Se asumen Entradas Determinísticas y Salidas Determinísticas

16 . 10 + 12 . 10 + 8 . 10 + 4 . 10 = 400 [min]
Wq = 400 [ min ] / 20 [ Clientes ] → WqA = 20 [ min ]
4a) El tiempo promedio de espera
5a) El tiempo promedio en el sistema
Ws = Wq + ts = 20 [ min ] + 10 [ min ] → WsA= 30 [ min ]

Lq = λ Wq = 20 [ Clientes / hora ] . 20 [ min ] . 1 [ hora] / 60 [ min ] →
LqA = 6,67 [ clientes ]
7a) La cantidad promedio de clientes en el sistema
Ls = λ Ws = 20 [ Clientes / hora ] . 30 [ min ] . 1 [ hora] / 60 [ min ] →
LsA = 10 [ clientes ]
6a) La cantidad promedio de clientes en la cola

6 . 10 + 2 . 10 + 0 + 6 . 10 + 2 . 10 = 160 [min]
Wq = 160 [ min ] / 20 [ Clientes ] → WqB = 8 [ min ]
CASO B - Citando clientes en grupos de 10 cada 30 minutos
4b) El tiempo promedio de espera
5b) El tiempo promedio en el sistema
Ws = Wq + ts = 8 [ min ] + 10 [ min ] → WsB= 18 [ min ]

LqB = 2,67 [ clientes ]
7b) La cantidad promedio de clientes en el sistema
LsB = 6 [ clientes ]
6b) La cantidad promedio de clientes en la cola
CASO B - Citando clientes en grupos de 10 cada 30 minutos

1 . 10 + 0 + 2 . 5 + 1 . 5 + 0 + 1 . 5 + 0 + 1 . 5 = 35 [min]
Wq = 35 [ min ] / 20 [ Clientes ] → WqC = 1,75 [ min ]
CASO C - Citando clientes en grupos de 5 cada 15 minutos
4c) El tiempo promedio de espera
5c) El tiempo promedio en el sistema
Ws = Wq + ts = 1,75 [ min ] + 10 [ min ] → WsC= 11,75 [ min ]

LqC = 2,67 [ clientes ]
7c) La cantidad promedio de clientes en el sistema
LsC = 6 [ clientes ]
6c) La cantidad promedio de clientes en la cola
CASO C - Citando clientes en grupos de 5 cada 15 minutos

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 [min]
Wq = 0 [ min ] / 20 [ Clientes ] → WqD = 0 [ min ]
CASO D - Citando clientes en grupos de 4 cada 10 minutos
4d) El tiempo promedio de espera
5d) El tiempo promedio en el sistema
Ws = Wq + ts = 0 [ min ] + 10 [ min ] → WsD= 10 [ min ]

LqD = 0 [ clientes ]
7d) La cantidad promedio de clientes en el sistema
Ls = λ Ws = 20 [ Clientes / hora ] . 10[ min ] . 1 [ hora] / 60 [ min ] →
LsD = 3,3 [ clientes ]
6d) La cantidad promedio de clientes en la cola
CASO D - Citando clientes en grupos de 4 cada 10 minutos
Comparando los distintos lotes de entradas se observa
que para el mismo sistema los parámetros de
desempeño mejoran, sólo a causa de citar más
convenientemente a los clientes

Para obtener los PARÁMETROS de DESEMPEÑO del SISTEMA
es necesario determinar algunas probabilidades de
ocurrencia en el sistema en estado estable
P(x)
P(0)
→ Probabilidad de que existan x cantidad de clientes en el sistema
→ Probabilidad de que NO existan clientes en el sistema
Considerando un sistema con n servidores en paralelo
Y aplicando la fórmula de Little

DisciplinadeEntrada Poisson
TiempoentreLlegadas Exponencial
Servidores 1 (Único)
CapacidaddelSistema Infinita
DisciplinadeAtención FIFO
LíneasdeEspera 1 (Única)TiempodeServicio Exponencial
Las probabilidades de que…
• Existan ‘x’ clientes en el sistema P(x)= (1–r) rx
P(0)= (1–r)• Existan 0 clientes en el sistema
P (Wq>0) = r• Un nuevo cliente deba esperar
P(Ls>x)= r x+1
• Los clientes en el sistema sean mayores a x
P(Ws>T)= e –µ(1–r)T
• El tiempo en el sistema sea mayor a T
P(Wq>T)= r e –µ(1–r)T
• El tiempo en la cola sea mayor a T

con Ls= l Ws →
Si la cantidad de clientes en el sistema es:
con Ws= Wq + ts →
con Lq= l Wq →
Deducible de la expresión precedente 

1) El factor de utilización del empleado que los atiende
2) La cantidad promedio de jubilados que se encuentran en la farmacia
3) La cantidad promedio de jubilados en espera
4) El tiempo promedio que los clientes permanecen en el local
5) El tiempo promedio de espera para ser atendidos
6) La tasa de servicio/salida requerida para lograr que el tiempo de espera
no supere los 8 minutos
La cadena de farmacias Otein cuenta con un sistema de atención de un
único servidor exclusivo para jubilados del PAMI que ingresan a los locales
a un ritmo promedio de 30 por hora de acuerdo a una distribución de
Poisson y son atendidos con una tasa promedio de 35 jubilados por hora
con tiempos de servicio exponenciales
Se pide:
Problema Ejemplo # 1 •

1) El factor de utilización del empleado que los atiende
Datos: λ = 30 [Clientes / hora] ; µ = 35 [Clientes / hora]RESOLUCIÓN
 = 0,857
2) La cantidad promedio de jubilados que se encuentran en la farmacia
Ls = 6 [ clientes ]
3) La cantidad promedio de jubilados en espera
Lq =  Ls → Lq = 0,857 . 6 Ls → Lq = 5,14 [ clientes ]

4) El tiempo promedio que los clientes permanecen en el local
Ws = 0,2 hs → Ws= 12 [ min ]
Wq = r Ws → Wq = 0,857 . 12 →
5) El tiempo promedio de espera para ser atendidos
Wq= 10,3 [ min ]
6) La tasa de salida requerida para no superar los 8 minutos de espera
Ws = 8 [ min ] = 0,133 [ hs ]
µ= 37,5 [ clientes / hora]

1) Los parámetros de desempeño del sistema
2) La probabilidad de no tener vehículos en el lavadero
3) La probabilidad de tener más de 3 vehículos en el lavadero
4) La probabilidad de permanecer más de 30 min en el lavadero
5) La probabilidad de esperar más de 30 min
En el Iccudrev Automatic Car Wash se atiende a un vehículo en 5 min.
según una distribución exponencial mientras los mismos llegan con una
tasa media de 9 por hora según una distribución de Poisson
Se pide:
Datos: l = 9 [ clientes / hora ] ; ts = 5 [ min ]RESOLUCIÓN
m = 1 / ts → m = ( 1 / 5 [min] ) ( 60 [ min] / 1 [hs]) →
r = l /m = 9 [ clientes/hora] / 12 [clientes/hora] →
m = 12 [ clientes/hora]
r = 0,75

Ls = r / ( 1 – r ) = 0,75 / (1- 0,75) → Ls = 3 [ clientes ]
Lq = r Ls = 0,75 3 [ clientes ] → Lq = 2,25 [ clientes ]
Ws = Ls / l = 3 [ clientes ] / 9 [ clientes / hora] →
Ws = 20 [ min ]
Wq = r Ws = 0,75 20 [ minutos ] → Wq = 15 [ min ]
Ws = 0,33 [hora] ( 60 [ minutos ] / 1 [ hs ] ) →
1) Parámetros de desempeño del sistema

P(0) = ( 1 – r ) r0 = (1- 0,75) 1 → P(0)= 0,25
3) La probabilidad de tener más de 3 vehículos en el lavadero
P( Ls > 3 ) = r x+1 = 0,75 3+1 → P(Ls>3)= 0,32
4) La probabilidad de permanecer más de 30 min en el lavadero
P(Ws>0,5)= 0,22P( Ws > 0,5 ) = e – m (1–r) T = e – 12 . 0,25 . 0,5 →
5) La probabilidad de esperar más de 30 min
P( Wq > 0,5 ) = r e – m (1–r) T = 0,75 e – 12 . 0,25 . 0,5 → P(Wq>0,5)= 0,17

LíneasdeEspera 1 (Única)TiempodeServicio General *
(*) La distribución general debe tener una media y una desviación estándar conocidas
Inicialmente se define el Coeficiente de Variación del tiempo
de servicio, como el cociente entre su desviación estándar y
su media:
Cs = ss my siendo → →
Ahora, según la aproximación de Pollaczek y Khinchine (1932),
aplicando este coeficiente de variación del tiempo de servicio,
se pueden obtener las siguientes expresiones para los
parámetros de desempeño …

Pero en 2010, Curry y Feldman proponen una relación
directa entre los modelos MM1 y MG1 que facilita los
cálculos aplicando un coeficiente de ajuste entre ambos
tiempos de espera
… y a partir de este resultado obtener al resto de los
parámetros de desempeño del sistema

2) Los parámetros de desempeño del sistema
3) La probabilidad de que un vehículo tenga que esperar
Se pide:
Datos: l = 9 [ clientes / hora ] ; ts = 5 [ min ] ; s = 2 [ min ]RESOLUCIÓN
La tasa de salida sigue siendo la misma que en el modelo M/M/1
m = 12 [ clientes/hora] r = 0,75
En el Iccudrev Automatic Car Wash ahora a los vehículos que siguen
llegado con una tasa media de 9 por hora según una distribución de
Poisson se los atiende en 5 minutos, pero según una distribución general
de s= 2 minutos
P(0) = ( 1 – r ) r0 = (1- 0,75) 1 → P(0)= 0,25

Lq = 1,31 [ clientes ]
Ls = Lq + r = 1,31 + 0,75 → Ls = 2,06 [ clientes ]
Ws = Ls / l = 2,06 [ clientes ] / 9 [ clientes / hora] →
Ws = 13,7 [ min ]
Wq = Ws – ts = 13,7 – 5 [ minutos ] → Wq = 8,7 [min ]
Ws = 0,23 [hora] ( 60 [ minutos ] / 1 [ hs ] ) →
2) Parámetros de desempeño del sistema
3) La probabilidad de que un cliente tenga que esperar
P (Wq>0) = r → P(Wq>0)= 0,75

DisciplinadeEntrada General *
TiempoentreLlegadas General *
LíneasdeEspera 1 (Única)TiempodeServicio General *
(*) Las distintas distribuciones tienen una media y una desviación estándar conocidas
Para resolver el caso debe definirse un
nuevo Coeficiente de Variación de Entradas →
Con ambos coeficientes de variación (de entrada y salida)
se puede aplicar la aproximación de difusión de Kingman
mediante la expresión que permite relacionar al tiempo de
espera en cola con el del modelo MM1

Se pide calcular los parámetros de desempeño del sistema
Al igual que en los modelos anteriores se mantienen los valores
En el Iccudrev Automatic Car Wash los vehículos siguen llegado con
una tasa media de 9 por hora, pero en este caso, según una distribución
de general de min. y se los atiende en promedio en 5 min. según
una distribución general de ss = 2 min.
se = 4
l = 9 [clientes / hora] 1 [hora] / 60 [min] → l = 0,15 [clientes / min]
m = 12 [ clientes/hora] 1 [hora] / 60 [min] → m = 0,20 [clientes / min]
Datos: l = 9 [clientes / hora] ; ts = 5 [min] ;
RESOLUCIÓN
ss = 2 [min] ; se = 4 [min]
Y considerando que se puede aplicar la aproximación de difusión
de Kingman …

Ls = 1,15 [ clientes ]
Ws = 7,7 [ min ]
Wq = C² Wq MM1 = 0,26 10,3 [ min ] → Wq= 2,7 [ min ]
Lq = l Wq = 0,15 . 2,7 [ clientes ] →
Ws = Wq + ts = 2,7 + 5 [ min ] →
Ls = l Ws = 0,15 . 7,7 [ clientes ] →
Se calcula el coeficiente combinado que resulta:
Ahora conociendo el tiempo de espera en el modelo MM1 …
→ C² = 0,26

LíneasdeEspera 1 (Única)TiempodeServicio Constante
Este modelo es un caso particular del MG1 con tiempo de
servicio constante, lo que implica que no existe dispersión
Por lo tanto, con ss=0, los parámetros de desempeño del
sistema resultan:

Para el caso del Iccudrev Automatic Car Wash con vehículos ingresando
según distribución de Poisson con la misma tasa de entrada al sistema y
tiempo de servicio constante de 5 min., se pide calcular los parámetros de
desempeño del sistema
Datos: l = 0,15 [clientes / min] ; ts = 5 [min] ;RESOLUCIÓN r = 0,75
→ Lq = 1,13 [ clientes ]
Wq = Lq / l = 1,13 / 0,15 → Wq= 7,5 [ min ]
Ws = 12,5 [ min ]Ws = Wq + ts = 7,5 + 5 →
Ls = l Wq = 0,15 . 12,5 → Ls = 1,88 [ clientes ]

LíneasdeEspera 1 (Única)TiempodeServicio Erlang
Es otro caso particular del modelo MG1 cuyos parámetros
de desempeño del sistema resultan:
Con media y desvío → →

Para el caso del Iccudrev Automatic Car Wash con vehículos ingresando
según distribución de Poisson con la misma tasa de entrada y un tiempo
de servicio de 5 min. con = 3,5 min., se pide calcular los parámetros
de desempeño del sistema
se
Datos: l = 0,15 [clientes / min] ; ts = 5 [min] ;RESOLUCIÓN ss = 3,5 [min]
→ k = 2
Wq = Lq / l = 1,69 / 0,15 → Wq= 11,25 [ min ]
Ws = 16,25 [ min ]Ws = Wq + ts = 11,25 + 5 →
Ls = l Wq = 0,15 . 17,25 → Ls = 2,44 [ clientes ]
→

(SERVIDOR ÚNICO)
M|M|1
M|G|1
G|G|1
M|E|1
M|D|1
Comparativo de las fórmulas de cálculo del Tiempo de Espera en Cola, para los distintos
modelos probabilísticos con servidor único y capacidad infinita

Servidores n >1
Para simplificar el estudio, se analizará el caso en que todos
los servidores del sistema se encuentran ocupados
Para obtener los Parámetros de Desempeño del Sistema
recordemos que era necesario determinar la probabilidad
de x cantidad de clientes en el sistema, y para el caso,
tenemos:

Servidores n >1
Ahora, operando matemáticamente se llega a las
expresiones de cálculo de los parámetros de desempeño:

En uno de los centros de distribución de Acayeh & Co se desea
analizar el costo total por hora del sector de descarga, al cual arriban
tres camiones de la flota propia por hora según una distribución de
Poisson y son descargados en una hora según tiempos de servicio
exponenciales
El costo de un camión ocioso se estima en u$s 60 por hora y se cuenta
con cuatro plataformas de descarga con un equipo de dos operarios cada
una a un costo de u$s 40 por hora
µs = 1 / ts = 1 [ camión ] / 1 [ hora ] → µs = 1 [ camión / hora ]
r = l / m = 3 / 4 → r = 0,75
µ = n µs = n / ts = 4 [plataformas] / 1 [hora] → µ = 4 [ camiones / hora ]
CCO = 60 [ u$s ] / [ hora ] ; CMO = 40 [ u$s ] / [ hora ]
RESOLUCIÓN Datos: l = 3 [ camiones / hora ] ; ts = 1 [ hs ]

La probabilidad de que no haya ningún camión en el sector es:

Ahora se calculan los parámetros de desempeño y el costo de operación
Lq = [ 1 / n! ] ( l / ms)n [ r / (1+r)² ] P(0)
Wq = Lq / l = 1,53 / 3 →
Lq = [ 1 / 4! ] ( 3 / 1)4 [ 0,75 / (1– 0,75)² ] 0,0377 →
Lq = 1,53 [ camiones ]
Wq = 0,51 [ horas ]
Ls = Lq + l / ms = 1,53 + 3 / 1 → Ls = 4,53 [ camiones ]
Ws = wq + 1 / ms = 0,51 + 1 → Wq = 1,51 [ horas ]
CTOTAL = CMO n + CCO Ls
CTOTAL = u$s 431,80CTOTAL = 40 4 + 60 4,53 →

Para evaluar y ajustar el RENDIMIENTO DE OPERACIÓN, o
“perfomance” de un sistema, los principales parámetros que
se deben considerar son los vinculados a la cantidad de
clientes y los tiempos que éstos permanecen en el mismo,
es decir, los parámetros de desempeño
Ls → Cantidad de Clientes en el Sistema
Ws → Tiempo en el Sistema
Lq → Cantidad de Clientes en la Cola o Longitud de la Cola
Wq → Tiempo de Espera en la Cola

Matemáticamente:
Ahora, estos costos dependen de la cantidad de servidores y
de clientes en la cola y el sistema, y se pueden desglosar en
cuatro ítems distintos
C TOTAL = C SERVICIO + C DISCONFORMIDAD
Costos de
SERVICIO
CMO → Costo de Mano de Obra
CI → Costo de Insumos *
C TOTAL = n . CMO + (Ls – Lq) CI + Lq . CW + (Ls – Lq) CS
Costos de
DISCONFORMIDAD
CW → Costo de Insatisfacción en Cola
CS → Costo de Insatisfacción en Servidor
Resultando:
(*) El factor que aplica a este costo puede cambiar dependiendo de las características del sistema
ANÁLISIS ECONÓMICO de COSTOS

Respecto a los Costos de Disconformidad deben ponderarse,
de ser posible, algunos efectos secundarios que trae
aparejado un cliente insatisfecho
• Moderadores Personales
Deben considerarse factores psicológicos, ambientales y
del propio servicio que influyen en el proceso y que
afectan tanto la percepción como la expectativa de los
clientes con respecto a su insatisfacción
El impacto de esos factores podría minimizarse con
estrategias adecuadas a condiciones competitivas y
repetitivas considerando
• Moderadores Ambientales
• Características del Servicio

La reacción ante la espera depende de la percepción del
tiempo (largo o corto) y consiste en respuestas como el
estrés, el aburrimiento y hasta la irritación
El CONFORT que se le brinde al cliente mientras
espera (temperatura, iluminación, amoblamiento
cómodo, entorno agradable, etc.) tienden a
subestimar la duración real de la misma
al generar emociones positivas
La falta de INFORMACIÓN sobre la espera
(de superar los 5–7 minutos) es una causa de
incertidumbre que puede evitarse declarando
su duración o, de ser necesario, las causas de
las demoras en caso de existir

La percepción de JUSTICIA en una cola alivia
al cliente y por ello debe respetarse el
cumplimiento de la disciplina de atención
y la idea de que la espera para todas las
personas es igual o parecida
La utilización de DISTRACTORES ADECUADOS, para desviar
la atención de los clientes durante la espera, tiene efectos
favorables cuando son diseñados para clientes con un
determinado perfil específico obtenido efectos favorables
sobre la percepción del tiempo de espera,
sin embargo, no son tan efectivos otros
distractores simples de orden genérico, como
el uso de pantallas de televisión y aún menos
en el caso de transmisión de noticias

Las RELACIONES INTERPERSONALES SATISFACTORIAS entre
los prestadores de servicios y el cliente suelen crear en
éste una dependencia y compromiso con el proveedor,
que fortalece la transferencia de información ‘boca a
boca’ entre clientes, lo que representa evitar un costo
asociado (‘Switching Cost’) como la posible
recomendación de reemplazo del prestador
en casos de experiencias negativas
transformándolas en generadoras de
potenciales nuevos clientes
La INTERACCIÓN ENTRE CLIENTES, para el caso de
esperas relativamente cortas, suele hacerlas más
amenas, dado que se ha demostrado que en
solitario se perciben más largos los tiempos
transcurridos

IO-GP Team desea conocer la cantidad de servidores que resulte
más económica para operar el sistema sabiendo que es
representable con un Modelo M/M/n
La consultora IO-GP Team cuenta con un servicio ‘0800’ de
atención al cliente del cual se conocen los siguientes datos:
- En promedio se reciben 225 llamadas por hora
- Una llamada dura aproximadamente 1,5 minutos
- Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos
- Los representantes de la empresa que atienden a los clientes
cobran $16 por hora
- El costo de las llamadas es de $0,18 por minuto ya sea cuando el
cliente espera en línea o esta siendo atendido
- El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en
línea es de $20 por minuto
- El costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido
es de $0,05

Como resumen de datos, ajustados a valores por hora, se
tiene:
 = 225 Clientes/h
ts = 0,025 h [1,5min.1h/60min]
Wq = 0,05 h [3,0min.1h/60min]
CMO = $16,00 /h
Ci = $10,80 /h [$0,18.60min]
Cw = $12,00 /h [$0.20.60min]
Cs = $0,05 /h [$0.05.60min]
Para asegurar un sistema con funcionamiento estable se
debe comenzar calculando la cantidad mínima de servidores
necesarios:
l  m → l  n ms → l  n / ts
n  l ts = 225 . 0,025 = 5,62 → nmin = 6
RESOLUCIÓN

C T = n.CMO + Ls.CI + Lq.CW + (Ls–Lq) CS
Considerando que en este caso los insumos se gastan tanto
durante la espera como el servicio, CI se afecta directamente
por Ls
Ahora se aplica la expresión:
Los valores de CMO ; CI ; CW y CS son datos, por lo tanto se deben
calcular los parámetros de desempeño Ls y Lq para un modelo
M/M/n, a partir del máximo tiempo de espera en cola admitido Wq,
en principio, para la menor cantidad de servidores que garanticen
e funcionamiento estable del sistema (n=6)
Luego se debe repetir el cálculo para valores crecientes de cantidad
de servidores (n=7 ; 8 ; 9 ; 10) y calcular el costo total para cada
caso
Los valores calculados se presentan en la siguiente tabla…

Ahora comparando el costo total de operación para cada cantidad
de servidores, se concluye que el menor
corresponde a n=8, con lo que se
obtiene el mejor balance entre las
condiciones el servicio que se desea
prestar y el costo que representa

MODELO de NIVEL de ASPIRACIÓN
Ante las habituales dificultades que se presentan para
medir los costos asociados a la insatisfacción del cliente
una alternativa para medir el rendimiento de un sistema
de varios servidores, es el MODELO de NIVEL de ASPIRACIÓN
Empleando directamente Parámetros de Desempeño del
sistema, propone establecer el nivel de servicio que se
considere aceptable, definido por un intervalo con
límites razonables
Así se calcula la cantidad ‘n’ de servidores necesarios
para la operación esperada del sistema en función de:
WS → Tiempo Promedio en el Sistema
x % → Porcentaje de Ociosidad de los Servidores

El Porcentaje de Ociosidad de los Servidores se puede
calcular como:
Donde ne es la cantidad esperada de servidores que resulta
de la diferencia entre la cantidad de clientes en el sistema
y en espera …
… y con Ls = Lq +  →
Luego, una vez establecidos los NIVELES DE ASPIRACIÓN
“aceptables” para Ws y x%, denominados  y  , con la
ayuda de una gráfica que ponga a ambos parámetros en
función de n, se puede hallar la solución obteniendo los
valores límite que definen el intervalo admisible

Definiendo
Inicialmente se
procede a ubicar
 y  en los ejes
WS y x%
x%
WS
WS x%


INTERVALO
ACEPTABLE
n0 nmin nmáx
WS  
x%  
Luego se trazan las
rectas horizontales
hasta encontrar la
curva correspondiente, para obtener los puntos de
intersección, cuyas verticales definen el intervalo del
NIVEL de ASPIRACIÓN del sistema

Fin
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Gral. Pacheco - República Argentina

Investigación Operativa - 7 - Modelos de Espera 20 v0

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