Sistema de colas

Aplicación del Sistema o Teoría de Colas
1. SISTEMA DE COLAS
En nuestra vida diaria hemos experimentado el esperar por un servicio,
“hacemos colas” ya sea en restaurantes, en oficinas postales, bancos o en cajas
de tiendas comestibles. Esto no esta limitado a los seres humanos, sino que
también en los trabajos, así, un auto se detiene ante el semáforo.
Por ello, el estudio de colas determina las medidas del funcionamiento de una
situación de colas, donde se incluye tiempo de espera y la longitud de la cola
promedio, entre otras.
1.1. ORIGEN DEL SISTEMA DE COLAS:
El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang
(Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico
telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el
sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva
teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora
una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de
problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-
salida.
2. CARACTERISTICAS CLAVE DE UN SISTEMA DE COLAS:
1. Población de clientes: conjunto de clientes posibles.
2. Proceso de llegada: forma en que llegan los clientes.
3. Proceso de colas: manera en que los clientes esperan para ser atendidos
y la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio.
4. Procesos de salida: sistema de colas de un paso, cuando los productos o
clientes abandonan el sistema después de ser atendidos en un solo centro
o estación de trabajo; y red de colas, sistema en el que un producto puede
proceder de una estación de trabajo y pasar antes de abandonar el
sistema.

3. ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS
1. Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio
como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.
2. Servidor: actor principal en una situación de colas.
3. Instalaciones: a la llegada a las instalaciones, se inicia el servicio o se
espera en una cola si las instalaciones están ocupadas. Cuando una de
estas completa un servicio, de manera automática jala un cliente en espera
si hay alguno.
4. Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede
admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas.
5. Disciplina de las colas: se refiere al orden en el que se seleccionan sus
miembros para recibir el servicio.
FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se
atiende primero al cliente que antes haya llegado.
LIFO (last in first out) también conocida como fila que consiste en atender
primero al cliente que ha llegado el último.
RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera
aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro
orden.
Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la
red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el
mismo retraso.
6. Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar
haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede
suponerse finita o infinita.
7. Redes de colas. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen
de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas
operativos multitarea.
8. Fuente: la fuente de la que se generan los clientes es finita o infinita, la
primera limita las llegadas de los clientes al servicio y las infinitas que son
abundantes.
9. El proceso de servicio: Define cómo son atendidos los clientes.

10.Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más
instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales
paralelos de servicio, llamados servidores.
4. PROCESO DE COLAS
Habitualmente, se da de la siguiente manera: una línea de espera se forma frente
a una única estación de servicio, dentro del cual pueden existir uno o mas
servidores. Cada cliente, es atendido por un servidor después de esperar en la
cola su turno. Usualmente se piensa que se trata de la sucesión de personas
unas de tras de otras, para ser atendidas POR UNA PERSONA. Pero, puede ser
que no solo sean atendidas por un solo individuo sino por un grupo de personas
O también puede que no sea una persona física sino maquinas, vehículos o
dispositivos electrónicos.

5. PARAMETROS DE LA TEORÍA DE COLAS
 ?n = Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes
en el sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).
 1/? = Tiempo promedio entre llegadas.
 µn = Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes
en el sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio
la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no
hay escasez de clientes).
 1/µ = Tiempo promedio servicio.
 Lq = Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que
están en servicio).
 L = Número esperado de clientes que se atienden y/o esperan en el
sistema.
 Wq = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola.
 W = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que
emplea siendo atendido (tiempo esperado en el sistema).
 Po = Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.
 Pn = Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.
 ? = Fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están
ocupados.
6. CLASIFICACIÓN Y NOTACIÓN
se ha implantado una notación para representar los problemas de colas que
consta de 5 símbolos separados por barras.
A / B / X /Y / Z
A: indica la distribución de tiempo entre llegadas consecutivas
B: alude al patrón de servicio de servidores
X: es el número de canales de servicio
Y: es la restricción en la capacidad del sistema
Z: es la disciplina de cola

El símbolo G representa una distribución general de probabilidad, es decir, que
el modelo presentado y sus resultados son aplicables a cualquier distribución
estadística (siempre que sean Variables IID- Independientes e Idénticamente
Distribuidas).
Si no existe restricción de capacidad (Y = ∞) y la política de servicio es FIFO, no
se suelen incorporar dichos símbolos en la notación así:
M/D/3 es equivalente a M/D/3/∞/FIFO
y significa que los clientes entran según una distribución exponencial, se sirven
de manera determinista con tres servidores sin limitación de capacidad en el
sistema y siguiendo una estrategia FIFO de servicio.
La notación anteriormente representada, por general, deja demasiados casos
por resolver, pero es suficiente para los casos más importantes.

7. DISTRIBUCION DE POISSON
La mayor parte de los modelos de colas estocásticas asumen que el tiempo entre
diferentes llegadas de clientes siguen una distribución exponencial. O lo que es
lo mismo que el ritmo de llegada sigue una distribución de Poisson.
Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la
investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele
describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a
una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos
casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores
no- negativos enteros.
8. DISTRIBUCION EXPONENCIAL:
Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos,
específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para
servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica
a un paciente.
9. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE COLAS
Una vez llegados a este punto se han obtenido una serie de datos y resultados,
de modo que el siguiente paso es analizarlos y buscarles una aplicación útil para
la empresa. Estos resultados son de suma utilidad a la hora de diseñar los
sistemas de líneas de espera.
La decisión a tomar más común es el número de servidores que deben estar en
funcionamiento, aunque también son importantes otros aspectos como número
de servidores por instalación de servicio, eficiencia de los servidores, número de
instalaciones de servicio, tamaño de la sala de espera
A la hora de tomar estas decisiones en la empresa el objetivo será normalmente
optimizar costes. Para ello se han de tener en cuenta dos grandes factores: en
primer lugar, el coste que supone dar el servicio, ya que cuanto mayor sea el
número de servidores en mayores costes incurrirá la empresa, cuanto mayor sea
la eficiencia de esos servidores incurrirá en menores costes pero mayor

inversión; en segundo lugar nos encontramos con el coste que supone que los
clientes esperen dentro del sistema. Así pues, la decisión correcta es la que
suma ambos costes y hace este resultado mínimo.
Si llamamos E(CT) al coste total esperado, E(CS) al coste de servicio esperado
y E(CW) al coste de espera de los clientes esperado, analíticamente quedaría
como:
La fijación del coste de servicio es relativamente sencilla: cuánto cuesta disponer
de ese nivel de servicio, cuál es el coste de mantener un cierto número de
servidores activos, cuál es el coste de la eficiencia de esos servidores…. Son de
datos de los que usualmente se dispone y no suponen mayor problema. Por
ejemplo, el coste de un procesador u otro, coste de un empleado más
El principal problema de este procedimiento, que parece en principio sencillo, es
la dificultad para establecer un coste concreto a la espera de los clientes, fijar
E(CW). Para esta tarea es importante conocer el tipo de organización y el tipo
de cliente. Para una organización no lucrativa, el coste es un coste social, por
ejemplo, listas de espera quirúrgica o comedores sociales. En este caso, al
tratarse de una empresa que tiene ánimo de lucro, debemos optimizar el sistema
para minimizar un coste real, no social.
Si los clientes son internos, este proceso se facilita bastante. Cada cliente puede
ser un trabajador o una máquina que genera un rendimiento para la empresa, de

esta manera es sencillo identificar el coste directo de que nuestros trabajadores
estén esperando. El tiempo perdido en la cola supone una ganancia no obtenida
por la empresa debido a la productividad perdida. Nos basamos en esto para
establecer CW.
Si los clientes en cambio son externos a la empresa, el coste de la espera estará
relacionado con la perdida de ganancias por ventas perdidas. El cliente puede
cansarse de esperar e irse, observar la cola existente y no llegar a entrar o
realizar su servicio, pero irse con una mala sensación y no volver más. Este coste
es mucho más difícil de establecer, y es justamente el caso en que nos
encontramos. Cuando el cliente no sea humano, quizá sí que podría asignársele
un coste de forma más sencilla, como por ejemplo el coste de los inventarios, el
mantenimiento, etc.
9.1. PROBLEMAS RELACIONADOS AL SISTEMA DE COLAS
Se clasifican en:
1. Problemas de análisis: Podría estar interesado en saber si un sistema
dado esta funcionando satisfactoriamente, respondiendo las siguientes
preguntas:
¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila
antes de ser atendido?; ¿Qué fracción del tiempo ocupan los servidores
en atender a in cliente o en procesar un producto?
Basándose en estas preguntas, los gerentes tomaran decisiones como
emplear o no mas gente; agregar una estación de trabajo adicional, etc.
2. Problemas de diseño: para diseñar las características de un sistema que
logre un objetivo general.
¿Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un
servicio aceptable?;¿deberán los clientes esperar en una sola fila o en
diferentes filas?;¿Que tanto espacio se necesita para que los clientes o
los productos puedan esperar?, etc.
Estas decisiones se toman mediante la evaluación de los méritos de las
diferentes alternativas.

10. MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE
COLAS
El objetivo último de la teoría de colas consiste en responder cuestiones
administrativas pertenecientes al diseño y a la operación de un sistema de colas.
Por ejemplo, el gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o
cuatro cajeros durante la hora del almuerzo.
10.1. ALGUNAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO COMUNES
Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los
administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así
como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas
medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de las siguientes
preguntas:
1. Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como:
a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que
esperar en la fila antes de ser atendido? (tiempo promedio de espera
representado con Wq)
b. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente invierte en el sistema entero,
incluyendo el tiempo de espera y de servicio? Asociado al tiempo
promedio den el sistema (W)
2. Preguntas cuantitativas pertenecientes al número de clientes, como:
a. En promedio, ¿Cuántos clientes están esperando en la cola para ser
atendidos? Relacionado a la longitud media de la cola, representada con
Lq.
b. ¿Cuál es el numero promedio de clientes en el sistema? Asociada al
numero medio en el sistema L.
3. Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los
servidores, por ejemplo:
a. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente que llegue tenga que esperar a
ser atendido? (probabilidad de bloqueo Pw)
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un servidor este ocupado? La medida de
rendimiento es la utilización (U).

c. ¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema? La
medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad P0
de que no haya clientes, la probabilidad P1 de que haya un cliente y así
sucesivamente. Esto es la distribución de probabilidad de estado
representada por Pn, n= 0,1, …
d. Si el espacio de espera es finito: ¿Cuál es la probabilidad de que la cola
este llena y que un cliente que llegue no sea atendido? Esto será
probabilidad de negación de servicio representada por Pd
4. Preguntas relacionadas con los costos, como:
a. ¿Cuál es el costo promedio por unidad de tiempo para operar el sistema?
b. ¿Cuántas estaciones de trabajo se necesitan para lograr la mayor
efectividad de costos?
11.ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL DE UNA
SOLA LÍNEA CON LLEGADA EXPONENCIAL Y PROCESOS DE
SERVICIO (M/M/1)
El sistema de colas M/M/1 consiste en lo siguiente:
1. Una población de clientes finita.
2. Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo con
un proceso de Poisson con una tasa promedio de λ clientes por unidad de
tiempo.
3. Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de
capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar
primero en salir
4. Un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los
clientes de acuerdo con una distribución exponencial con un promedio de
µ clientes por unidad de tiempo.

11.1. EJEMPLO: PROBLEMA DE COLAS DE LA OHIO TURNPIKE
COMMISSION
La Comisión de la Autopista de Ohio (Ohio Turnpike Commission, OTC) tiene un
número de estaciones para el pesado de camiones a lo largo de la autopista de
cuota de Ohio para verificar que el peso de los vehículos cumple con las
regulaciones federales. Una de tales estaciones se ilustra en la figura 13.5. La
administración de OTC esta considerando mejorar la calidad del servicio en sus
estaciones de pesado y ha seleccionado una de las instalaciones como modelo
a estudiar, antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar
y entender el desempeño del sistema actual de las horas pico, cuando llega a la
báscula el mayor número de camiones suponiendo que el sistema puede
desempeñarse bien durante este periodo, el servicio en cualquier otro momento
será aun mejor.
El gerente de operaciones siente que el sistema actual de la figura 13.5 cumple
con las cuatro condiciones presentadas anteriormente. Su siguiente paso es
estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en dicha estación. De lo datos
disponibles, suponga que la gerencia determina que los valores son:
λ = numero promedio de camiones que llegan por hora = 60
µ = numero promedio de camiones que pueden ser pesados por hora = 66
el valor de µ = 66 es mayor que el de λ =60, de modo que es posible hacer el
análisis de estado estable de este sistema.
Calculo de medidas de rendimiento:
Existe una formula para calcular la intensidad de tráfico: cociente de la tasa de
llegadas entre la tasa de servicio:

ƿ = λ / µ
= 60/66 = 0.9091
Mientras mas cerca este ƿ de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene
como resultado colas mas largas y mas tiempos de espera.
Entonces las medidas de rendimiento se resolverán de la siguiente manera.
1. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (P0)
P0 = 1- ƿ
= 1- 0.9091
=0.0909
Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no
tiene que esperar a que se le proporcione el servicio. Entonces un 91% del
tiempo un camión que llega debe esperar.
2. Numero promedio en la fila (Lq)
La estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones
esperando para obtener el servicio.
3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq)

Este valor indica que un camión tiene que esperar 0.1515 horas
aproximadamente 9 minutos, en la fila antes de que empiece el proceso de
pesado.
4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W)
Este valor indica que, en promedio, un camión invierte
0.1667 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale.
5. Numero promedio en el sistema (L)
Este valor indica que, en promedio, existe una total de 10 camiones en la
estación de pesado, ya sea en la bascula o esperando a ser atendidos.
6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar (pw )
Indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene
que esperar.
7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn)

Esta tabla proporciona la distribución de
probabilidad para el numero de camiones
que se encuentran en el sistema.
8. Utilización (U)
Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones
de pesado están en uso.
11.2. EJEMPLO 2: M/M/1
En una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora,
Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe
que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.
Se solicita:
a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema.
b) Número promedio de clientes en la cola.
c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.
λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 45/60
clientes/minutos
µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60
clientes/minutos
Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)
a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws).
Lo podemos calcular a partir de Wq y µ.

En promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema distribuidos así 3
minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.
b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula
siguiente: Lq= λ Wq.
En la cola puede haber más de dos clientes en la cola.
c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos
hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.
Es decir, en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que
solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por
lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en
espera

BIBLIOGRAFIA
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colas de supermercado usando visión por computador y métodos
estadísticos. Pontificia Universidad Católica de Chile, Tesis, ubicado en:
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