modelos hidraulicos

1. 1
CAP II TEOREMA DE PI O BUCKINGHAM
(Capítulo sintetizado)
2.1 INTRODUCCION. –
El Teorema de Pi fue demostrado por el matemático francés J. Bertrand en 1978. Se pensó
inicialmente que serviría para problemas de electrodinámica y conducción del calor
específicamente, pero el análisis del mismo es que está fundado en principios básicos que indican
su utilidad para el modelado de cualquier fenómeno físico.
Fue el artículo de Edgar Buckingham el que introdujo el uso del símbolo "Πi" para las variables
adimensionales (o parámetros), y es la causa del nombre del teorema.
Para describir los fenómenos que nos rodean es necesario determinar primero las magnitudes que
pueden ser útiles, aquellas que tienen influencia primordial en su desarrollo, después nos interesa
conocer las relaciones entre ellas o leyes que existan.
Estas relaciones pueden obtenerse en forma experimental o siguiendo alguna teoría conocida, y
esta teoría e viene a ser el Teorema de Buckingham. Esta técnica es muy útil a los problemas en
general y en particular a la mecánica de fluidos.
2.2.- EL TEOREMA DE 𝝅
Existe un teorema notable, de naturaleza primordialmente matemática, que simplifica el trabajo
experimental y les da un sentido a estas investigaciones. El teorema de 𝝅 se puede demostrar por
medio de manipulaciones estrictamente matemáticas. La única física implicada es el principio de la
homogeneidad dimensional, que es la propia condición del enunciado del teorema.
La importancia del teorema de ∏, en esencia, permite que el investigador no tenga la necesidad
de tomar todas y cada una de las variables por separado con el fin de obtener una expresión válida
para una ley física.
2.2.1 ENUNCIADO DEL TEOREMA
Sean q1, q2, q3, …, qn las “n” magnitudes físicas relevantes del problema o fenómeno en estudio y
que se relacionan entre sí mediante un conjunto conocido de ecuaciones homogéneas. Esta relación
puede expresarse de la siguiente forma:
F1 (q1, q2, q3, …, qn ) = 0 Ec. (A)
o q1 = f (q2, q3, …, qm. ) Ec. (A)
Suponiendo que el número de dimensiones o magnitudes independientes que existan en este grupo
de “n” magnitudes, sea igual a “r”, entonces la ecuación (A) puede expresar con la siguiente relación
equivalente:

2. 2
F2 (∏1, ∏2, ∏3, …. ∏m) = 0 Ec. (B)
en donde ∏1, ∏2, ∏3, …. ∏m son parámetros adimensionales, obtenidos a partir de los parámetros
originales q1, q2, q3, …, qn y donde m = n-r, y r es el número de magnitudes independientes en el
problema analizado. Además, se considera:
Ec. (A) ≡ Ec. (B)
2.3.- CONSTRUCCION DE UN SISTEMA DE PARAMETROS ADIMENSIONALES
Para construir un sistema de parámetros adimensionales vamos aplicar el siguiente método a
pasos:
1. Definición precisa del fenómeno físico que se investiga, estudiar el contexto en el
que se Determinar el número de parámetros adimensionales que se desarrolla y
describirla correctamente a detalle
2. Definir el número de variables o parámetros o variables físicas que intervienen en
el fenómeno, asegurándonos incluir todos los parámetros dimensionales
relevantes. ¿Cómo saber cuáles son los parámetros dimensionales relevantes y
cuáles no? La mejor guía es la experiencia. Si se omite un parámetro relevante los
datos experimentales serán confusos ya que el parámetro no está bajo control. Aquí
se define el valor de “n”
3. Habiendo definido “n” encontrar el número de dimensiones fundamentales que
están incluidos en los n parámetros del fenómeno.
4. Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir.
Este número de denomina como “m” y se calcula con m = n – r
5. Escribir todos los parámetros o variables del fenómeno a estudiar en forma de
ecuaciones dimensionales.
6. Ahora hay que elegir “r” magnitudes o variables que contengan colectivamente las
“r” magnitudes fundamentales del fenómeno a estudiar. Estas r magnitudes deben
cumplir la condición de que sus exponentes unitarios o no unitarios de sus
expresiones dimensionales formen una matriz cuyo determinante sea distinto de
cero. Cumplida esta condición se procede a encontrar los “m=n-r” grupos
adimensionales ∏ mediante “m” operaciones algebraicas combinando el grupo
base con cada una de las variables sueltas y encontramos la siguiente expresión:
F2 (∏1, ∏2, ∏3, …. ∏m) = 0 Ec. (B)
o
∏1 = f (∏2, ∏3, …. ∏m)

3. 3
7. Reordenar los grupos ∏ a la conveniencia de mejor expresión. Desde el punto de
vista del teorema de ∏, cualquier sistema de (n-r) parámetros adimensionales e
independientes formados a partir de n parámetros dimensionales es aceptable.
Cualquier sistema de parámetros adimensionales independientes es tan bueno
como cualquier otro. Cualquier miembro del mismo se puede reemplazar por un
parámetro adimensional al:
1. Multiplicar el parámetro por una constante
2. Elevar el parámetro a cualquier potencia positiva o negativa
3. Multiplicar cualquier potencia del parámetro con cualquier
potencia de por otro parámetro
4. O combinar cualquiera de los puntos anteriores.
8.- Con la ecuación planteada preparada en lo posible para facilitar la investigación
ahora se debe entrar a laboratorio y obtener los valores experimentales para
encontrar la solución matemática o gráfica.
2.4.- EJERCICIO DE APLICACIÓN DE CARÁCTER ESTANDAR
¿Cómo se encontró el diagrama de Moody?
CALCULO DE LA PERDIDA DE CARGA EN TUBERIAS CILINDRICAS
1.- Definición precisa del fenómeno a estudiar
L
Sea: P1
∆ P
P2
D
V
𝝐, 𝝆, 𝝁
Un tubo recto de sección cilíndrica (diámetro D) y longitud L, por el cual circula en estado
estacionario y con velocidad media V , un fluido de densidad ρ y viscosidad 𝜇, gracias a una diferencia
de presión entre las secciones de entrada y salida (∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2) y una gradiente de presión;
(∆𝑃/𝐿) y una rugosidad de la tubería (ɛ). Se estima que hay una relación entre las diferentes
variables que ocasionan una pérdida de carga entre ambos extremos o un gradiente de presión
entre los extremos. No se toma en cuenta la temperatura por considerarla no común a los
problemas de ingeniería civil. ¿cuál será la relación
entre estas variables?

4. 4
2.- Definir el número de variables que intervienen
De acuerdo al planteamiento del problema se observan las siguientes variables:
Diámetro (D), longitud de la tubería (L) pero ya entra en otro parámetro, velocidad media
(V), densidad del fluido circulante (ρ), viscosidad dinámica (𝜇), gradiente de presión (∆𝑃/𝐿)
y rugosidad absoluta de la tubería (ɛ). Entonces; n = 6
3.- Número de dimensiones fundamentales
Considerando todo el grupo de las variables, encontramos las siguientes dimensiones
fundamentales:
[M], en presión y viscosidad absoluta
[L], en diámetro, velocidad, viscosidad, rugosidad
[T], en velocidad
Entonces r = 3, que es lo más común en la hidráulica del agua
4.- Número de parámetros adimensionales
m = n-r = 6- 3 = 3
5.-Ecuaciones dimensionales de los parámetros de los variables
[D] = [L]
[V] = [L T-1
]
[ρ] = [M L-3
]
[𝝁] = [M L-1
T-1
]
[∆𝑷/𝑳] = [M L-2
T-2
]
[ɛ] = [L]
6.- Encontrar r variables o magnitudes
Ahora hay que elegir “3” magnitudes o variables que contengan colectivamente las “3”
magnitudes fundamentales del fenómeno.
Las variables que se escojan no tienen que formar un grupo adimensional es decir al
multiplicarlas para agilizar el estudio jamás darán un grupo adimensional, basta con que no
haya un par de dimensiones fundamentales de tres posibles
Escogiendo: Grupo base: ρ, V, D; [M L-3
] [L T-1
] [L] = [M L-1
T-1
]

5. 5
M L T
ρ 1 -3 0
V 0 1 -1
D 0 1 0
Definido el grupo base se comienza el análisis algebraico:
Partimos de la definición:
∏1 = M0
L0
T0
= ρx1
Vy1
Dz1
𝜇=[M L-3
]X1
[L T-1
]Y1
[L]Z1
[M L-2
T-2
] = M( X1+1)
L( -3X1+Y1+Z1-1)
T(-Y1-1)
Para M x1+1 =0
Para L: -3X1+Y2+Z1-1 = 0
Para T: -Y1-1 = 0
Resolviendo: X1 = -1
Y1 = -1
Z1 = -1
Entonces: ∏1 = ρ-1V-1D-1 𝝁 =
𝝁
𝝆𝑽𝑫
Partimos de la definición:
∏2 = M0
L0
T0
= ρx2
Vy2
Dz2 ∆𝑃
𝑙
= [M L-3
]X2
[L T-1
]Y2
[L]Z2
[M L-2
T-2
] = M( X1+1)
L( -3X2+Y2+Z2-2)
T(-Y2-2)
Para M x2+1 =0
Para L: -3X2+Y2+Z2-2 = 0
Para T: -Y2-2 = 0
Resolviendo: X2 = -1
Y2 = -2
Z2 = 1
Entonces: ∏2 = ρ-1V-2D1 ∆𝑷
𝒍
=
𝑫
𝝆𝑽𝟐
(
∆𝑷
𝒍
)
Partimos de la definición:
∏3 = M0
L0
T0
= ρx3
Vy3
Dz3
ɛ= [M L-3
]X3
[L T-1
]Y3
[L]Z3
[L+1
] = M( X3)
L( -3X3+Y3+Z3+1)
T(-Y3)
Para M X3=0
Para L: -3X3+Y3+Z3+1 = 0
Para T: -Y3= 0
Resolviendo: X3 = 0
Y3 = 0
Z3 = -1
∆ = 1 Det ≠0

6. 6
Entonces: ∏3 = ρ-0V-0D-1 ɛ =
ɛ
𝑫
= ɛr
7.-Reordenamiento de grupos adimensionales
Un grupo adimensional puede convertirse en su inverso:
∏1 = (∏-1) =
𝝁
𝝆𝑽𝑫
=
𝝆𝑽𝑫
𝝁
= Re
Teniendo ahora la ecuación:
F2 (∏1, ∏2, ∏3, …. ∏m) = 0 Ec. (B)
F2 (Re,
𝑫
𝝆𝑽𝟐
(
∆𝑷
𝒍
), ɛr) = 0 Ec. (B) o
𝑫
𝝆𝑽𝟐
(
∆𝑷
𝒍
) = ф (Re, ɛr)
Despejando la diferencia de presión que es la variable que nos interesa:
∆𝑷 =
𝝆𝒍
𝑫
V2ф(Re, ɛr)
Dividiendo ambas expresiones por la gravedad y el segundo miembro multiplicando y
dividiendo por 2:
∆𝑷
𝜌𝑔
= 2 ф(Re, ɛr)
𝒍
𝑫
𝟏
𝟐𝒈
V2
El primer miembro es diferencia d altura de presión y además:
f = {2 ф (Re, ɛr)} Ec. (c)
hf = f
𝒍
𝑫
𝟏
𝟐𝒈
V2
que es la ecuación conocida de Darcy Weisbach
El problema se reduce ahora a encontrar la relación de f con Re y ɛr, para lo cual se recurrirá
a laboratorio. Nuestro laboratorio cuenta con el equipo para la medición experimental del
coeficiente de fricción “f” y con un equipo más grande y preciso se puede construir el
diagrama de Moody.
Como puede observarse en el diagrama de Moody (hoja siguiente) se observa que las
entradas principales corresponden al ɛr y Re, grupos adimensionales y el coeficiente “f “se
obtiene en la columna izquierda según lo que corresponda. Este gráfico incluye al flujo
laminar y la ecuación que se ha encontrado está pensado en flujo turbulento con tubería
con rugosidad.

7. 7
DIAGRAMA DE MOODY
2.5.- ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LOS GRUPOS DE APLICACIÓN
EN INVESTIGACIONES REALIZADAS
1)
Coeficientes de fricción en canales abiertos en función de Re para conducciones abiertas

8. 8
2)
Este gráfico se construye al ensayar una bomba de agua en laboratorio para calcular Hd con un
impulsor determinado a una velocidad específica y para un caudal dado. Se observa que todos los
parámetros son grupos adimensionales.
3)
Estudio de un vertedero con contracciones laterales, donde Lw/Lc, h/P son parámetros
adimensionales. Cd es un coeficiente de descarga, también adimensional.

9. 9
4)
Pérdida de energía en una contracción brusca. se observa que los parámetros son adimensionales
5)
Coeficientes de perdida Cc para tuberías de curva constante con Re>220000 en tubos rugosos.
Todos los parámetros son adimensionales.

10. 10
2.6.- EJEMPLO
1.- Definición precisa del fenómeno a estudiar
La experiencia indica que la altura ∆Hd desarrollada `por turbo maquinas depende de las
variables siguientes: D (diámetro del rotor, N (velocidad de rotación, Q (caudal a través de la
máquina, ϑ(viscosidad cinemática y g (gravedad). Encontrar los grupos adimensionales.
2.- Definir el número de variables que intervienen
De acuerdo al planteamiento del problema se observan las siguientes variables:
Diámetro del rotor (D), longitud de la tubería (∆Hd), velocidad de rotación (N), caudal (Q)
viscosidad cinemática (ϑ), y gravedad (g). Entonces; n = 6
3.- Número de dimensiones fundamentales
Considerando todo el grupo de las variables, encontramos las siguientes dimensiones
fundamentales:
[L], en diámetro, gravedad, caudal
[T], en velocidad rotacional, caudal, gravedad
Entonces r = 2, que es lo más común en la hidráulica del agua
4.- Número de parámetros adimensionales
m = n-r = 6- 2 = 4
5.-Ecuaciones dimensionales de los parámetros de los variables
[D] = [L]
[∆Hd] = [L]
[g] = [L T-2
]
[𝑸] = [L3
T-1
]
[ϑ] = [L2
T-1
]
[N] = [T-1
]
6.- Encontrar r variables o magnitudes
Ahora hay que elegir “2” magnitudes o variables que contengan colectivamente las “2”
magnitudes fundamentales del fenómeno.
Las variables que se escojan no tienen que formar un grupo adimensional es decir al
multiplicarlas para agilizar el estudio jamás darán un grupo adimensional. En lo posible
escoger un grupo de variables simples.
Escogiendo: Grupo base: N, D; [ T-1
] [L]

11. 11
N D
L 0 1
T -1 0
Definido el grupo base se comienza el análisis algebraico:
Partimos de la definición:
∏1 = L0
T0
= Nx1
Dx1
Q= [ T-1
]X1
[L]y1
[L3
T-1
] = L( -X1-1)
T(+Y1+3)
Para L: -X1 -1 = 0
Para T: Y1+3 = 0
Resolviendo: X1 = -1
Y1 = -3
Entonces: ∏1 = N-1D-3Q =
𝑸
𝑵𝑫
3
Partimos de la definición:
∏2 = L0
T0
= Nx2
Dx2
ϑ = [ T-1
]X1
[L]y1
[L2
T-1
] = L( -X2-1)
T(+Y2+2)
Para L: -x2-1 =0
Para T: +Y2+2 = 0
Resolviendo: X2 = -1
Y2 = -2
Entonces: ∏2 = N-1D-2ϑ =
𝝑
𝑵𝑫
2
Partimos de la definición:
∏3 = L0
T0
= Nx3
Dy3
g = [ T-1
]X3
[L]y3
[L1
T-2
] = L(+y3-1)
T(-x3-2)
Para T: -x3-2 =0
Para L: +Y3+1 = 0
Resolviendo: X3 = -2
Y3 = -1
∆ = -1 Det ≠0

12. 12
Entonces: ∏3 = N-2D-1g =
𝒈
𝑫𝑵
2
Partimos de la definición:
∏4 = L0
T0
= Nx4
Dx4
∆Hd =[ T-1
]X4
[L]y4[L] = L( -y4+1)
T(-1)
Para L: -y4-1 =0
Para T: -x4 = 0
Resolviendo: X4 = 0
Y4 = -1
Entonces: ∏4 = N-0D-1∆Hd =
∆𝐇𝐝
𝑫
7.-Reordenamiento de grupos adimensionales
Un grupo adimensional se puede usar como su inversa:
2
∏2 = (∏2
-1)* =
𝝑
𝑵𝑫
2=
𝑵𝑫
𝝑
Teniendo ahora la ecuación:
F2 (∏1, ∏2, ∏3, …. ∏m) = 0 Ec. (B)
F2 (
𝑸
𝑵𝑫
3 ,
𝑵𝑫
𝝑
, 𝒈
𝑫𝑵
𝟐 ,
∆𝐇𝐝
𝑫
) = 0 Ec. (B) o
2
∆𝐇𝐝
𝑫
= ф(
𝑸
𝑵𝑫
3 ,
𝑵𝑫
𝝑
, 𝒈
𝑫𝑵
𝟐 ) solución
FIN DEL CAPITULO