Clase 4 distribución de probabilidad

Santa Ana de Coro, Febrero 2021
Sesión de Clase Semana 4
ESTADÍSTICA APLICADA A LA
INVESTIGACIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DECANATO DE POSTGRADO
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO DEL
ÁREA CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
MAESTRÍA EN GERENCIA DE LA CALIDAD Y LA PRODUCTIVIDAD

Tema IV Distribución de Probabilidad
Definiciones Básicas
 Definición de Distribución de Probabilidad.
 Variable aleatoria. Clasificación. Ejemplificación
 Funciones de densidad y de distribución. Características.
 Esperanza y varianza. Propiedades.
 Distribuciones de probabilidad para variable discreta.
 Distribución binomial.
 Distribución de Poisson.
 Distribuciones de probabilidad para variable continúa.
 Distribución normal.
 Distribución normal estandarizada. Uso de tablas.
Pág 2

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
LA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
Describe la probabilidad de
que un evento se realice,
constituye una herramienta
fundamental para la
prospectiva, puesto que se
puede diseñar un escenario
de acontecimientos futuros
considerando las tendencias
actuales de diversos
fenómenos
VARIABLE ALEATORIA
Es una ecuación (forma o
fórmula) que describe o
intenta describir los resultados
(con un número) de un evento
cuyos resultados se deben al
azar
Pág 3
DEFINICIÓN
FUNCIÓN
DE

Pág 4
VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
Ejemplo: Número de personas,
Lanzamiento de la moneda
Toma valores enteros dentro de un
rango definido
CONTINUA
Ejemplo: Peso,
Estatura
Toma valores tanto
enteros o fraccionarios
dentro de un rango
determinado
TIPOS
Asociada a la Distribución de
Probabilidad
Asociada a la Función
Densidad

Una variable aleatoria bien podría ser la función de los
resultados del lanzamiento de un dado, se debe
tener cuidado con tres conceptos:
 Dado: No es la variable aleatoria. El dado es
simplemente un objeto.
 Lanzamiento de un dado: No es la variable
aleatoria. El lanzamiento de un dado es el
experimento aleatorio.
 Resultados del lanzamiento de un dado: Sí es la
variable aleatoria. Es la función que recoge los
resultados del lanzamiento del dado.
Pág 5

Ejemplo de variable aleatoria
Se lanza un dado común de 6 caras, se
desea que salga un número mayor a 2.
La Variable aleatoria seria
X: Que salga mayor que 2 al lanzar el dado
La Distribución de probabilidad del
lanzamiento de dado es la presentada
en la tabla que se muestra a lado
Las posibilidades de que no sea mayor a
2 (de las 6 serian 2 caras del dado: 1 y
2) es decir:
1/6 + 1/6 =2/6 =1/3
Las posibilidades que salga mayor a 2 ( de
las 6 caras sería: 3,4,5 y 6), es decir:
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6= 2/3
Pág 6
Opciones del dado Frecuenci
a
probabilidad
X F(X) P(X)
1 1 1/6
2 1 1/6
3 1 1/6
4 1 1/6
5 1 1/6
6 1 1/6
Sumatoria  =6 =1
La representación es la
Distribución de
probabilidad

PROPIEDADES DE UNAVARIABLE
DISCRETA
Cuando se trabaja con una variable discreta se puede realizar la
Distribución de probabilidad donde se indiquen cada uno
de los eventos posibles, claro en algunos casos esta labor no
es tan fácil por la cantidad de elementos que posee el
espacio muestral pero no es imposible. En base a esto a
continuación se presentan las propiedades
1) Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que
toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o
iguales a 1. Es decir, la probabilidades están comprendidas
entre 0 y 1 0≤ p(xi) ≤ 1
2) La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de
los valores que toma x debe ser igual a 1.
p(xi)d = 1
Pág 7

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE CONTINUA
Cuando se trabaja con una variable continua no se puede
realizar la Distribución de probabilidad porque colocar cada
uno de los eventos posibles resulta imposible, es por ello
que en este caso se trabaja con una Función Densidad que
usualmente es el resultado de la aplicación de una fórmula
que la define. En base a esto a continuación se presentan las
propiedades
1) Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que
toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra
forma, la función de densidad de probabilidad deberá
tomar sólo valores mayores o iguales a cero , es decir cero
o positivos. p(x) ≥ 0
2) El área definida bajo la función de densidad de
probabilidad deberá ser de 1.
Pág 8

Es la generalización de la media aritmética a toda
la población, es decir, es la media de la variable
aleatoria.
También se denomina como: Valor Medio, Valor
Esperado o Esperanza Matemática, y se
representa por la letra griega m
Se calcula con la fórmula:
Pág 9

 Varianza: Mide el grado de dispersión de la
distribución de probabilidades, siendo la formula:
 Desviación Estándar: Análogamente es la raíz
cuadrada de la varianza
Pág 10

DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
 Indica toda la gama de
valores que pueden
representarse como
resultado de un experimento.
 Una distribución de
probabilidad es similar al
distribución de frecuencias
relativas. Sin embargo, lo que
describe es la probabilidad de
ocurrencia de un evento.
Ejemplo: Represente la
Distribución de Probabilidad
que resulta de la suma de
lanzar dos dados.
Suma de las caras
del dado
Frecuencia probabilidad
X F(X) P(X)
2 1 1/36
3 2 2/36
4 3 3/36
5 4 4/36
6 5 5/36
7 6 6/36
8 5 5/36
9 4 4/36
10 3 3/36
11 2 2/36
12 1 1/36
Sumatoria  =36 36/36= 1 Pág 11

EJERCICIO
I
Nro. de la
maquina
Nro. de
fallas en la
semana
Antigüedad
1 3 2
2 2 2
3 2 2
4 6 2
5 5 2
6 4 2
7 3 2
8 2 2
9 2 2
Pág 12
En el Laboratorio de Control y Automatización de la empresa de la “H” se tiene 10
computadoras que fallan de manera aleatoria, a pesar de ello el Jefe de dicho
servicio reporta el siguiente informe donde en un periodo de tiempo pudo tomar
las alteraciones. Se desea saber cual es la distribución de probabilidad y la
Esperanza Matemática y la desviación estándar.

Respuesta al Ejercicio I
Nro. de la
maquina
Frecuencia Probabilidad
X F(X) P(X) Xi*P(Xi)
1 3 3/30 3/30
2 2 2/30 4/30
3 2 2/30 6/30
4 6 6/30 24/30
5 5 5/30 25/30
6 4 4/30 24/30
7 3 3/30 21/30
8 2 2/30 16/30
9 2 2/30 18/30
10 1 1/30 10/30
= 30 30/30= 1 151/30
Pág 13
Al realizar la distribución la antigüedad de la misma no importa pues no es la
variable de estudio, además que en este caso es la misma. Entonces,
procedemos hacer la distribución de probabilidades
Valor Esperado es:
m= 151/30
m= 5,03
Desviación Estándar:
s
2
=5,6989
s= 2,39
Según lo presentado
el valor esperado de
falla es la del equipo 5

 Distribución Binomial
 Distribución de Poisson
 Distribución Normal
 Distribución Normal Estandarizada
DISCRETAS
CONTINUA
Pág 14
)
Existen distribuciones que nos agilizan el trabajo del cálculo sin
necesidad de colocar todos los elementos en una tabla (porque
resulta muy laboríos o a veces imposible) sino por medio de una
ecuación y por la lógica.
A continuación se presentan las más importantes según el tipo de
variable aleatoria:

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento
aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
 Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados:
 El suceso A, llamado éxito, (Será p)
 Y su contrario A’, llamado fracaso. (Será q)
 Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente
de los resultados obtenidos anteriormente.
 La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una
prueba del experimento a otra.
 Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces
p(A’) = 1 – p
 En cada experimento se realizan “n” pruebas idénticas.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DISTRIBUCIÓN DE
BERNOULLI
Pág 15

Fórmula:
Donde:
Cn,x es la combinación de “n” (número de ensayos) y “x”
(número de éxitos)
p: Probabilidad de éxito de cada ensayo
q: Probabilidad de fracaso de cada ensayo
n: Número de ensayos.
x: Número de éxitos.
Media:
Desviación Estándar:
Pág 16

1) Determine la Probabilidad de obtener exactamente 2 caras
al lanzar 6 veces una moneda.
2) Determine la Probabilidad de obtener al menos 3 veces el
6 si se lanzan 5 veces un dado
3) En una fábrica “T&P” se sabe que cierto articulo “R” sale
defectuoso en un 5%. Determine la probabilidad de que al
seleccionar una muestra azarosa 4 artículos se encuentre:
a) Un articulo defectuoso.
b) Todos buenos.
c) A los más dos artículos defectuosos.
d) Determine la media y la desviación estándar.
Pág 17

Pág 18
1) Determine la Probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar
6 veces una moneda.
El número de veces del lanzamiento es 6 (n=6) se desea que sean 2
(x=2). La probabilidad que salga cara es 1 de 2 opciones por tanto
(p=1/2) y el fracaso será el complemento (q=1-p)
n=6
x=2
p=1/2
q=1-1/2 =1/2

Pág 19
2) Determine la Probabilidad de obtener al menos 3 veces el 6 si se lanzan 5
veces un dado
Se debe mencionar que al decir al menos 3 veces se tiene 3 casos, cuando sale 3,
4 y 5 veces
P(X≥3) = P(X=3) + P(x=4) + P(X=5)
n=5
x=3, 4 y 5
p=1/6
q=1-1/6 =5/6
 
 
 
P(X≥3) = 0,0322+ 0,0032 +0,0001
P(X≥3) = 0,0355

Pág 20
3) En una fábrica “T&P” se sabe que cierto articulo “R” sale defectuoso
en un 5% (significa que la probabilidad es de 0,05) . Determine la
probabilidad de que al seleccionar una muestra azarosa 4 artículos
se encuentre:
a) Un artículo defectuoso.
n=3
x=1
p=0,05
q=1-0,05 =0,95

Pág 21
en un 5%. Determine la probabilidad de que al seleccionar una
muestra azarosa 4 artículos se encuentre:
b) Todos buenos.
Si comparamos este ejercicio con el anterior note que ahora cambia la
probabilidad de éxito (p) y de fracaso (q). Además que todos buenos
implica que los 4 son buenos. Es decir:
n=4
x=4
p=0,95
q=1-0,95 =0,05

c) A los más dos artículos defectuosos.
Este enunciado cuando se dice “a lo más 2 artículos defectuosos”
significa que son dos o menos defectuoso, es decir 0, 1 y 2
Defectuosos. Además el éxito es que sea defectuoso (según la pregunta)
P(X2) = P(X=0) + P(x=1) + P(X=2)
n=4
x=0, 1 y 2
p=0,05
q=1-0,05 =0,95
P(X2) = 0,8145 + 0,1715+ 0,0135
P(X2) = 0,9995
Pág 22

Pág 23
d) Determine la media y la desviación estándar.
La media y la desviación va depender si se considera que el evento que
interesa es defectuoso o bueno, pues la probabilidad de éxito cambia
Es decir, si el éxito es que sea defectuoso p= 0,05 y q=0,95 y dará:
Lo que significa que si se seleccionan 4 en promedio menos de 1 pieza
saldrá defectuosa
Ahora si el éxito es que sean buenas p=0,95 y q= 0,05 y dará:
Lo que significa que si se seleccionan 4 en promedio casi las 4 pieza
saldrán buenas
La desviación si es la misma para cualquiera que sea el caso:

DISTRIBUCIÓN POISSON
 Describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un
intervalo determinado (tiempo, volumen, temperatura, etc...)
 La distribución se basa en dos supuestos:
1) La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo.
2) Los intervalos son independientes.
 Esta distribución es una forma límite de la distribución
binomial, cuando la probabilidad de éxito (p) es bien pequeña
y n es grande ,a esta distribución se llama "Ley de eventos
improbables o raros“
 Fórmula: Para poder tomarla como aproximación de la normal
n ≥ 50 y n.p < 5 (µ=n.p)
Pág 24

EJERCICIO III
1) Un 0,10% de las herramientas producidas por una fabrica
son defectuosas se sabe que diariamente se producen
2.000. Al seleccionar 4 por el jefe de control de calidad
determine la Probabilidad de obtener las 4 defectuosas.
2) Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción
negativa a ante una inyección de cierto suero es del 0,5%
si se toma una muestra de 500 pacientes. Hallar la
probabilidad de:
a) Exactamente 3,
b) Dos o más de ellos tengan una reacción negativa
Pág 25

RESPUESTA DEL EJERCICIO
III
1) Un 0,10% de las herramientas producidas por una fabrica son defectuosas
se sabe que diariamente se producen 2.000. Al seleccionar 4 por el jefe de
control de calidad determine la Probabilidad de obtener las 4 defectuosas.
Es una distribución de Poisson porque cumple con las condiciones, la
probabilidad de éxito (p) es bien pequeña y n es grande (n ≥ 50 y n.p < 5 )
En este caso cumple con las condiciones ya que:
n=2000 > 50 y
m=n.p= 2.000 * 0,001=2<5
Pág 26

EJERCICIO III
2) Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa a ante una
inyección de cierto suero es del 0,5% si se toma una muestra de 500
pacientes. Hallar la probabilidad de:
a) Exactamente 3,
Es una distribución de Poisson porque cumple con las condiciones, la
probabilidad de éxito (p) es bien pequeña y n es grande (n ≥ 50 y n.p < 5 )
En este caso cumple con las condiciones ya que:
n=500 > 50 y
m=n.p= 500 * 0,005=2,5<5
Pág 27

EJERCICIO III
Pág 28
2) Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa a ante una inyección
de cierto suero es del 0,5% si se toma una muestra de 500 pacientes. Hallar la
probabilidad de:
b) Dos o más de ellos tengan una reacción negativa
Es una distribución de Poisson porque cumple con las condiciones
n=500 > 50 y
m=n.p= 500 * 0,005=2,5<5
P(X≥2) = P(X=2) + P(x=3) + P(X=4)+…+P(X=500)
Como es muy largo hacerlo por aquí, se hace por el complemento, es decir:
P(X≥2) = 1- P(X<2)
P(X≥2) = 1- [P(X=0)+P(X=1)]
P(X≥2) = 1- [0,0821)+0,2052]
P(X≥2) = 1- 0,2873
P(X≥2) = 0,7127

DISTRIBUCIÓN NORMAL
 Es una distribución de probabilidad de variable aleatoria continua, se conoce,
más comúnmente, como la "campana de Gauss".
La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos
parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ).
 Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:
que determina la curva en forma de campana (Campana de Gauss) que tan bien
conocemos
Pág 29

DISTRIBUCIÓN NORMAL
Existen dos razones básicas por las cuales la distribución
normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística:
1) Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un
gran número de situaciones en la que es necesario
hacer inferencias mediante la toma de muestras.
1) La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones
de frecuencias reales observadas en muchos
fenómenos, incluyendo características humanas,
resultados de procesos físicos y muchas otras medidas
de interés para los administradores, tanto en el sector
público como en el privado.
Pág 30

1) No importa cuáles sean los valores de µ y σ para una
distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva
siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la
curva como si fueran probabilidades.
2) Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación
estándar de la media.
3) Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una
población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2
desviaciones estándar de la media.
4) Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una
población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3
desviaciones estándar de la media.
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Pág 31

Es importante mencionar que por sus características los valores
se ajustan a una tabla que me permite determinar su valor
sin necesidad de aplicar la integral para calcular el área bajo
la curva.
Algunas veces se debe estandarizar la función pues la misma no
se encuentra en el centro del eje de coordenadas, para ello
se utiliza:
Dicho valor se ubica en la tabla que indica la probabilidad.
En la tabla se pueden ubicar un entero y dos decimales del valor
de Z, como se muestra en la siguiente lámina
Se tiene diferentes tablas que facilita el cálculo de valores, a
continuación se presentan dos
USO DE TABLA PARA LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Pág 32

TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Representa el
entero y el
primer decimal
Representa el
segundo decimal
Pág 33
Esta tabla indica el valor del centro a
la derecha que por ser simétrica el la
misma que del centro a la izquierda

TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Pág 34
Esta tabla
indica el
valor
desde el
infinito
hasta el
valor
Segunda cifra decimal del valor de z
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545

Para tener en cuenta
P(Z ≤ a)
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
(Z ≤ b)=[ 1 − P(Z ≤ a)]

EJERCICIO IV
Se tiene una variable aleatoria continua X con una distribución normal no
estandarizada que representa la nota de cierto grupo con media igual a 10 y
desviación estándar igual a 1. Se pide
a) Calcular la probabilidad que la nota obtenida por una persona este entre 10 y
11,50
Respuesta: Comencemos por estandarizar la variable aplicando la fórmula de Z, es
decir:  
Ahora, veamos la gráfica de esta distribución normal:
Observe que la primera grafica no está estandarizada porque no está en el centro
de coordenadas (la variable es X). En la segunda se estandariza porque se
desplaza al origen, esto se hace cuando se aplica la conversión con Z
Pág 36
Tomado de https://matemovil.com/distribucion-normal-ejercicios-resueltos/

EJERCICIO IV
Pág 37
Para explicar de donde sale el valor de la probabilidad en la tabla se presenta la siguiente
figura que permite ver el uso de la tabla
Es decir, al estandarizar la variable resulto z=1,5 recordando
 
Dicho valor se ubica en la tabla de la siguiente forma:
Observación: Note que el área que definida por la tabla va del centro a la derecha,
cualquier otra área que nos interese se debe aplicar la lógica, sumando o restando valores.
Tomado de https://matemovil.com/distribucion-normal-ejercicios-resueltos/

EJERCICIO IV
b) Calcular la probabilidad que la nota obtenida por una persona este entre 9 y 11
Respuesta: Comencemos por estandarizar la variable aplicando la fórmula de Z, es
decir:


Pág 38
El valor es negativo lo que indica es que el valor está a la izquierda de
la media, como la gráfica es simétrica el área de -1 es la misma que 1.
Entonces se busca en la tabla 1,00
El área que interesa es la que va entre 9 y 11 (para x) o -1 y 1 (para z)
(marcado con la lineas amarillas)
P(9 < x <11) = P(-1< z <1)
P(9 < x <11) = P(-1< z <0)+ P(0< z <1)
P(9 < x <11) = 0,3413+ 0,3413
P(9 < x <11) = 0,6826
%P(9 < x <11) = 68,26%

EJERCICIO IV
c) Calcular la probabilidad que la nota obtenida por una persona sea mayor que
12,25
Respuesta:

Pág 39
Aunque el valor es 2,25 la probabilidad no se busca de manera
directa porque al ser mayor se necesita el valor del extremo (el
que indica la flecha azul) y el valor de la tabla indica la cantidad
desde el centro es decir 0 hasta 2,25
Entonces como la mitad del área de la grafica se sabe es 0,5 se le
resta dicho valor para encontrar la zona que se pregunta, como a
continuación se presenta
P( x >12,25) = P( z >2,25)
P( x >12,25) = 0,5 - P(0 < z <2,25)
P( x >12,25) = 0,5 - 0,4878
P( x >12,25) = 0,0122
%P( x > 12,25) = 1,22%

EJERCICIO IV
d) Calcular la probabilidad que la nota obtenida por una persona sea menos a
12,25
Respuesta:

Pág 40
Cuando se dice que es menor a 12,25 es igual a decir que es
menor a 2,25 (región marcada en la grafica por las rayas verdes) si
se trabaja con la variable estandarizada.
Entonces en este caso al valor que da la tabla que va de 0 a 2,25
(0,4878) se le suma la mitad del área que es 0,5 (es la zona de la
derecha) para cubrir toda la región inferior a 2,25
A continuación se presenta
P( x < 12,25) = P( z <2,25)
P( x < 12,25) = 0,5+ P(0 < z <2,25)
P( x < 12,25) = 0,5+ 0,4878
P( x < 12,25) = 0,9878
%P( x < 12,25) = 98,78%

Distribución Normal
Es importante mencionar que se pueden seguir presentando ejemplificación de
los diferentes casos, y los resultados siempre van a depender del área o región que
interese.
Se recomienda representar gráficamente por medio de la curva o campana de
Gauss donde se sombre la región requerida
Se debe recordar que toda el área bajo la curva vale 1 y la mitad de ella es 0,5
Además la tabla presentada siempre muestra la variable estandarizada desde o
hacia el valor de la derecha
 También vale mencionar que la grafica es simétrica por lo que el área desde el
centro hacia el valor Z es igual desde 0 a Z
Se presenta una tabla anexa pero existen más que pueden indicar no solo la
región del centro a la derecha sino toda la región a la derecha. Dichas tablas
también se pueden utilizar

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