Tema 6. Asignación y transporte

1. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMA DE TRANSPORTE
•Busca determinar un plan de transporte de una
mercancía de varias fuentes a varios destinos,
contando con:
–Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de la demanda
en cada destino.
–El costo de transporte unitario de la mercancía de cada
fuente a cada destino.
•El objetivo del modelo es determinar la cantidad
que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que
se minimice el costo de transporte total.
•Supone que el costo de transporte en una ruta es
directamente proporcional al número de unidades
transportadas.

2. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Forma Estándar
•En las restricciones, todas las variables tienen
coeficiente +1.
•La oferta de productos es igual a la demanda
(Modelo de transporte equilibrado).
•Aun cuando este tipo de modelos se resuelven
utilizando el método simplex, puede obtenerse la
solución óptima más rápida y eficientemente
mediante algoritmos especiales.

3. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Algoritmo
•Encontrar una solución inicial factible.
•Determinar la variable que entra, que se elige entre
las variables no básicas. Si todas las variables
satisfacen la condición de optimidad (del método
simplex), deténgase.
•Determinar la variable que sale (condición de
factibilidad) de entre las variables de la solución
básica actual.
•Obtener una nueva solución básica y regresar al
paso 2.

4. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de la Esquina Noroeste
1.- Comenzando en la esquina superior izquierda,
asigne a esa celda tantas unidades como sea posible.
La cantidad asignada será el mínimo entre la oferta
y la demanda en esa celda.
2.- En esa celda, reduzca la oferta actual disponible y
la demanda actual insatisfecha en la cantidad
asignada.
3.- Identifique el primer origen con oferta
disponible. Este es o bien el origen actual o el que
está directamente abajo.

5. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de la Esquina Noroeste
4.- Identifique el primer destino con demanda
insatisfecha. Este es o bien el destino actual o el que
está inmediatamente a la derecha de el.
5.- Asigne, como en el paso 1, tantos artículos como
sea posible a la ruta asociada con la combinación
origen- destino identificados anteriormente.
6.- Regrese al paso 2.

6. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de Aproximación de Vogel
1.- Para cada renglón con una oferta disponible y
cada columna con una demanda insatisfecha, calcule
un costo de penalidad restando el dato menor del
que le sigue en valor.
2.- Identifique el renglón o columna que tenga el
mayor costo de penalidad (empates se rompen
arbitrariamente).
3.- Asigne la máxima cantidad posible a la ruta
disponible que tenga el costo mas bajo en el renglón
o columna elegido en el paso 2.

7. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de Aproximación de Vogel
4.- Reduzca la oferta y la demanda adecuados en la
cantidad asignada en el paso 3.
5.- Descarte cualquier renglón con oferta disponible
cero y columnas con demanda insatisfecha cero, para
consideraciones posteriores.
6.- Regrese al paso 1.

8. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de Aproximación de Vogel
7.- El paso final, es asignar las variables no básicas
faltantes a través del método del costo mínimo.
Nota: Si un renglón (origen) y una columna
(destino) se satisfacen al mismo tiempo, solo uno se
tacha y al otro se le asigna un valor de cero (0).
Cualquier renglón o columna con valor cero (0) no
debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras.

9. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Determinación de la Solución Óptima
•Una vez obtenida la Solución Inicial Básica
Factible mediante el Método de la Esquina
Noroeste o por el de Aproximación de Vogel, se
procede a iterar hasta alcanzar la solución óptima.
•La Solución Óptima se obtiene utilizando el
Método de los Multiplicadores.
•Siendo M el número de Fuentes y N el número de
“Destinos”, toda solución (factible y óptima)
deberá poseer M+N-1 variables básicas.

10. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de los Multiplicadores
•Asociar multiplicadores Ui con la fila “i” y Vj
con la columna “j” de la tabla de transporte.
•Para cada variable básica Xij de la solución
actual, los multiplicadores Ui y Vj deben
satisfacer la siguiente ecuación: Ui + Vj = Cij
(donde Cij es el costo unitario de transporte).
–Se obtiene de esta manera un sistema de M+N-1
variables con m+n incógnitas (Ui y Vj).

11. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de los Multiplicadores
•Igualar a cero (0) la Ui que tenga el mayor
número de asignaciones en su renglón.
•Sustituir este valor, en el sistema de
ecuaciones y resolver algebraicamente,
encontrando de esta manera los valores de Ui y
Vj.
•Calcular y llenar el valor de Cij – (Ui + Vj),
COSTO MARGINAL, para cada variable no
básica Xij y aplicar la condición de optimidad.

12. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de los Multiplicadores
•CONDICIÓN DE OPTIMIDAD: Una solución
básica factible es óptima si, y solo si, el costo
marginal para toda variable no básica es no
negativo [Cij – (Ui + Vj)  0]. Si esto no se
cumple, entonces:
•Determinar la variable no básica que entra: La
variable no básica que tenga el costo marginal
[Cij – (Ui + Vj)] mas negativo (los empates se
rompen arbitrariamente).

13. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de los Multiplicadores
•Determinar la Variable básica que sale:
Construir, en la tabla de transporte, un ciclo
cerrado (reacción en cadena) para la variable
actual que entra.
–El ciclo debe empezar y terminar en la variable no
básica designada para entrar.
–Consta de segmentos sucesivos horizontales y
verticales (conectados) cuyos puntos esquinas
deben ser variables básicas.

14. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de los Multiplicadores
•Determinar la Variable básica que sale (Cont):
–Identificar en el ciclo, las celdas receptoras (+) y
las donadoras (-): Partiendo de la variable básica
que entra (+), alternar los signos en cada esquina.
–La variable que sale es la celda donadora con
menor valor (en caso de empate, se selecciona
arbitrariamente la variable que sale y el resto se le
asigna un valor de 0).

15. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Método de los Multiplicadores
•La nueva solución básica factible se identifica
sencillamente sumando el valor de la variable
básica que sale a la asignación de cada celda
receptora y restando esa misma cantidad de la
asignación de cada celda donadora.
•Calcular nuevamente los multiplicadores y
aplicar la regla de optimidad.

16. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Problemas no Equilibrados
Suministro en Exceso: Ocurre cuando la oferta es mayor
que la demanda. Para convertir el problema en
equilibrado, se procede de la siguiente manera:
•Agregar un destino ficticio en la tabla de transporte,
cuya demanda debe ser igual a la diferencia entre la
oferta y la demanda actual.
• El costo de transporte desde cada fuente a este destino
ficticio es cero (0).
•En la solución óptima, todos los artículos enviados al
destino ficticio, permanecerán en el origen.

17. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Problemas no Equilibrados
Demanda en Exceso: Ocurre cuando la oferta es menor
que la demanda. Para convertir el problema en
equilibrado, se procede de la siguiente manera:
•Agregar un origen ficticio en la tabla de transporte, cuya
oferta debe ser igual a la diferencia entre la oferta y la
demanda actual.
•El costo de transporte desde este origen ficticio a cada
destino es cero (0).
•En la solución óptima, todos los artículos enviados
desde este origen ficticio se consideran como una
demanda no cubierta.

18. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Eliminación de Rutas Inaceptables
En el caso de que ciertas rutas (origen-destino)
de transporte sean inaceptables por
limitaciones de la organización, se procede de
la siguiente manera:
•Asignar a la ruta inaceptable un costo
arbitrariamente grande (identificado como M).
Esto elimina el uso de esa ruta en la solución
óptima.

19. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Maximización de Utilidades
• En este caso, los costos marginales ([Cij – (Ui + Vj)]
calculados a través del Método de los Multiplicadores, se
transforman en beneficios marginales.
• La variable que entra, será la variable no básica con el
beneficio marginal más positivo (los empates se rompen
arbitrariamente).
•Condición de Optimidad: Una solución básica factible es
óptima si, y solo si, el beneficio marginal para toda variable
no básica es no positiva [Cij – (Ui + Vj) ≤ 0].