31. Módulo5
Leyes de los exponentes y los
radicales
Racionalización
Ejercicios
Capítulo 2, módulo 5
En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar o
reducir determinadas expresiones algebraicas.
Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constan-
tes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, divi-
sión, potenciación y radicación.
Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exacta-
mente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válido
para constantes tomadas de un conjunto de referencia.
En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en los
números reales.
32. En este módulo se le dará significado a expresiones como ,
p
q
a donde a, p, q son
números, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permite
obtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación,
100
10 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere
de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.
1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales.
2. Establecer las propiedades de los exponentes.
3. Definir el concepto de raíz enésima.
4. Definir el concepto de racionalización.
1. ¿Qué significa racionalizar una expresión?
2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número?
3.¿ Qué es base y qué es exponente?
4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?
5.1 Exponentes
5.2 Propiedades de los exponentes
5.3 Raíz enésima
5.4 Exponentes racionales
5.5 Radicales
5.6 Racionalización
5.7 Factor racionalizador
33. Sean a un número real y n un entero positivo, entonces:
1. · · ... ,n
a a a a a n veces.
2. 0
1a , con 0,a 00
no está definido.
3.
1
,n
n
a
a
con 0.a
Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:
1. · .m n m n
a a a
2. .
.
mn n m
a a
3. , con 0.
m m
m
a a
b
b b
4. · · .
m m m
a b a b
5.
, con 0.1
m n
m
n
n m
a
a
a
a
a
Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 0
0 . Si se tratara de
definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:
0 2 0 2 2
0 · 0 0 0 0 0 0. O sea que como 2
0 0, entonces 0
0 podría ser cual-
quier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.
Ejemplo1
24
= 2 2 2 2 = 16; 230
=1.
3
3
1
7 .
7
;
5 7 5 7
2
1
· .a a a
a
5
5
1
.a
a
;
32
6
1
.a
a
3 3 3
· · .a b a b ;
7 7
7
.
a a
b b
La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2
= b. La raíz cúbica de un
número b es un número r tal que r3
= b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésima
de b si rn
= b.
34. Ejemplo2
2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.
4 no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla
que 2
4.a
Si n N y ,b R se dice que 1/ n
b en una raíz enésima de b.
Si n es par y b es positivo, entonces 1/n
b representa la raíz enésima real positiva de
b, y 1/ n
b representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que
1/
( ) n
b no representa un número real.
Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces 1/ n
b representa la raíz enésima real
de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 1/
0 0.n
Ejemplo3
¿Cómo podría definirse un símbolo como 2/ 3
7 ?
Solución
Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales,
se tiene que:
22/ 3 1/ 3
7 7 .
O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Lo
anterior motiva la siguiente definición:
Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b no
puede ser negativo cuando n es par, entonces:
1.
1/1/
.
m
m nn mn
b b b
2.
1
.
m
n
m
n
b
b
Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n
es par, se define la raíz enésima de b como b1/n
y se denota como .n
b
35. El símbolo se llama radical.
El símbolo n se llama índice.
El símbolo b se llama radicando.
De lo anterior se concluye que:
1.
1
.
m
nm mn n
b b b
2.
1
.
mm
m
nn n
b b b
Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:
1. .n n
x x
2. · .nn nxy x y
3. .
n
n
n
x x
y y
4. .
.m n m n
x x
Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedad
de expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se dice
que una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la forma
radical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual al
índice del radical.
2. El exponente del radicando y el índicedelradical no tienen otro factor común
aparte del 1.
3. No aparece ninguna fracción dentro del radical.
4. No aparece ningún radical en el denominador.
Ejemplo 4
Escriba en la forma radical más simple la expresión 3 5 2
12 .x y z
Solución
2 23 5 2 2 4 2 2 2 2
12 4 3 2 3 2 3 2 3 .x y z x y z xy xy z xy xy z xy xy z xy
Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominador
consiste en eliminar los radicales en un denominador.
36. Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan y
multiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con frac-
ciones de números reales, es decir:
· ·
,
a c a d b c
b d bd
con b y d diferentes de cero.
·
· ,
·
a c a c
b d b d
con b y d diferentes de cero.
·
,
·
a c a d
b d b c
con b y c diferentes de cero.
· · .
a c
a d b c
b d
·
,
·
k a a
k b b
con k diferente de cero.
En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.
Ejemplo5
Racionalice la expresión
2
3
6
.
9
x
x
Solución
32 2 2
3 3 3 2
6 6 3
·
9 9 3
x x x
x x x
(¿Por qué?).
3 3 32 2 2 2 2 2
3 3 33
6 3 6 3 6 3
327 3
x x x x x x
xx x
3 2
2 3 .x x
Ejemplo6
Simplifique 4 43 3 5 3
27 3 .a b a b
37. Solución
4 43 3 5 3 3 3 5 34
4 8 6
42 24
4 42 24
1/ 4
42 2 2 2
2
27 3 27 3
81
3
3
3 3
3
a b a b a b a b
a b
a b b
a b b
a b b a b b
a 1/ 2
2
·
3 .
b b
a b b
Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión con
radicales, si su producto es libre de radicales.
Ejemplo7
3 1 es factor racionalizador de 3 1porque 3 1 3 1 2.
a x b y es factor racionalizador de a x b y (¿Por qué?).
Ejemplo8
3 3x y es factor racionalizador de 3 2 23 33x x y y porque su producto es
.x y
Ejemplo9
Racionalice la siguiente expresión: .
a b
a b
Solución
Notemos que a b es un factor racionalizador del denominador, pues
( )( ) .a b a b a b
Multiplicando el numerador y el denominadorporel factor racionalizador se obtiene:
( )( ) 2
.
( )( )
a b a b a b a a b b
a ba b a b a b
38. Ejemplo10
Simplifique y exprese con exponentes positivos
111
2 432
2 2 2
.
ay bx y
x y a b
Solución
1 1 21 1 1 2 2 2
3 3 32 2 2 4 4 4
1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1
3 2 3 2 2 3 22 2 6 6 3
1
3
1
6
111
2 432
2 2 2
.
ay bx y
a y x b x y y a b
x y a b
a b x y b x y
y
xb
Ejemplo11
Simplifique y exprese con exponentes positivos
31
2 1 4
1 3
.
n n
n
a a b
a ab
Solución
31 31 34
84
1 3 11
8 82 2
1 1 1
4 4
2 1 2
1 3
.
n n
n
n
n
a a b a a a b
aa b a b
a ab a baa
Ejemplo12
Simplifique y exprese con exponentes positivos
1
2 2
2
2
.
a
b
a b
b
a b
ab b
x y
x
y
Solución
2
1 2 2
2 2
2
2
2 2
.
a
ab bb
a b
a b
a b
a b
b
ba b a b b b
a b b
a b
ab b
x y x y y x y y x x
yx yxx
y
39. Ejemplo13
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3
1
2 2 7 3 9
.
2 2 1 9 27
n n a a
a
n n a a
Solución
1
1
3 3
1 1
3
2 2 7 3 9 2 2 7 9 27
2 2 1 9 27 2 2 1 3 9
2 2 1 7 9 1 3
2 2 1 1 3 1 3
7 2 1 9
7 3 21.
32 1
a
a
n n a a n n a a
a
n n a a n n a a
n a a
n a a
n
n
Ejemplo14
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2 2
2
2
.
1
x x x x
x x
x x
x x
a a a a
a a
a a
a a
Solución
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
22
2
22
2 2
2 2
1
4 2 2
.
2 1
x x x x x x x x
x x x xx x
x xx x
x x x x
x
x x x
x x
x x
a a a a a a a a
a a a aa a a aa a
a a a a
a
a a a
a a
a a
Ejemplo15
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2 2
2 2
2
.
a b a b a b
a b
a b a b a b
40. Solución
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 22 2
2 2
2
.
a b a b a b a a b b a b a b
a b
a b a b a b a b a b a ba b
a a b b a b a b
a b a b
b b a b
a ba b
Ejemplo16
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3 2 5
2
3 3 5 7
2 18 50 32
.
5
a b a b a
a
ab ab b b
Solución
3 2 5 2 2 2
2
3 3 5 7 2 3
2
2 2 2
2
2 18 50 32 2 3 2 5 2 4 2
5 5
2 3 2 2 4 2
2 3 2 2 4 2
2 2
.
a b a b a a a a b a a b a
a
ab ab b b b b b ab b b ab b
a a a a a a
b b b ab b b b b
a a a a
b ab
a ab
bb ab
Ejemplo17
Racionalice
2 2
2 2
1 1
.
1 1
x x
x x
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
2 2
1 1x x .
41. Entonces,
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
2 2
1 1 1 11 1
1 1 1 1 1 1
1 1 2 (1 )(1 )
1 (1 )
2 2 1 1 1
.
2
x x x xx x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Ejemplo18
Racionalice
2
2
9 3
.
9 3
x
x
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
2
9 3x .
Entonces,
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 3 9 39 3
9 3 9 3 9 3
9 9 6 9 6 9 18
.
9 9
x xx
x x x
x x x x
x x
Ejemplo19
Racionalice
2 6
.
2 3 5
Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 3) 5 se obtiene:
42. 2
2 6 2 3 52 6 4 3 6 2 2 30
2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
4 3 6 2 2 30 4 3 6 2 2 30
2 3 2 6 5 2 6
4 18 6 12 2 180 12 2 12 3 12 5
2 3 5.
12 12
Ejemplo20
Racionalice
3 2 23
1
.
x y
Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de la
suma de cubos:
3 3 2 2
.a b a b a ab b
En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos:
3 3 2 2
.a b a b a ab b
Utilizando entonces como factor racionalizador:
3 34 2 2 43 3
,x x y y
se obtiene
3 34 2 2 43 3
3 2 2 3 3 32 2 4 2 2 43 3 3 3
3 4 2 2 43 3
2 2
1
.
x x y y
x y x y x x y y
x x y y
x y
43. 1. Simplifique
1
63 1 2 1 2 4
.ab c a b c RTA:
1
2
a .
2. Simplifique
1 1
1 1
3 2
.
2 3
3. Simplifique
2 21
2
1
.
n
n
n n
n n nx
x x x
x
RTA: 1.
4. Simplifique
1
2 1 1
2 1 1
·
.
·
a a b
a a b
5. Simplifique
1
9 27
.
3 9
nn n
n n RTA: 3.
6. Simplifique
1 1
1 1
1
2 4
.
2 2
n n
n n
n n
7. Simplifique
1
2 2
3 2
3( )
.
a
n
a b
a b
a a ab
x
a
x
RTA: 3 ( )n a b
a .
8. Simplifique
1
2 1
.
2 1
mmx
mx
9. Simplifique
1
4
13 2 2 2
5
2 3 2 2
.
a b b a
b a a b
RTA:
1 1
5 5
.a b
10. Racionalice la siguiente expresión:
2
.
3
m
m n
11. Simplifique
1 1
1 11
2 4
.
2 2
n n
n nn n
RTA:
1
.
4
12. Racionalice la siguiente expresión: 3
1
.
0.008
13. Simplifique
4 1
2
3 6 3
.
7 3
n n
n RTA: 1.
14. Racionalice la siguiente expresión:
2
.
3 2
44. 15. Simplifique
1 4
322 4 3 36
2 4 .
163 8 81
x x x
x x
x x
RTA: 6 3
3
.
2 x
16. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
2
1
3 · 2 4 · 2
.
2 2
n n
n n
17. Simplifique
11
22 2
4 4
2 2
2 .
x xx x
x x x x x x x x
e eae ae
e e ae ae e e e e
RTA: 2.
18. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
2 2 2
1
2
·
.
x y x y
x y
19. Simplifique
1 22 ( 1)
1 11
3 81 243
.
3 27
a aa a a a
a aa
RTA: 9.
20. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
4 1
2
3 6 ·3
.
7 · 3
n n
n
21. Simplifique
2
2
2 12 2 1
1 3 1 22
5 5 3 5
.
3225 5 3 3
nn n n n
n n nn n
RTA: 2.025.
22. Simplifique completamente
1 1
1 1
.
m n m n
m n m n
23. Simplifique y racionalice
2 23
23
( )( )
.
b c b c
b c
RTA:
22 23
.
( )
b c
b c
24. Demuestre que .
1 1n n
n n
n
x x
25. Simplifique y racionalice
3 3
.
3 3
x y x y
x y x y
RTA:
2 2
2 2
2 9
.
9
x x y
x y
26. Demuestre que 2 1 4 1
4 · 6 1
.
44 2
n
n
n n
27. Racionalice
2
2 2
.
y
x x y
RTA:
2 2
.x x y
28. Demuestre que
3
1
2 2 7
7.
2 2 1
n n
n n
45. 29. Racionalice
2 3
.
2
a b a b
a b a b
RTA:
2 2
7 8
.
3 5
a b a b
a b
30. Racionalice
2 5 7
.
2 5 7
31. Racionalice
2 2 3
.
1 2 3
RTA: 1 2 3.
32. Demuestre que
1 1
1.
1 1m n n m
x x
33. Racionalice
3 6
.
5 3 2 12 32 50
RTA: 3.
34. Simplifique completamente
3 8 5 18
.
2
35. Racionalice
2 3 5
.
2 3 5
RTA:
6 15
.
3
36. Simplifique completamente
4 4
2 2
.
m n
m n
x x
x x
37. Racionalice 3
1
.
2 3
RTA:
3 3
2(4 3 9)
.
5
38. Simplifique completamente
1 1
1 1
( ) ( )
.
( ) ( )
m n m n
m n m n
39. Racionalice 3 2 233
1
.
x xy y
RTA:
3 3
.
x y
x y
40. Escriba en la forma más simple
1
1
.
4
9 · 3 ·3
.
3 · 3
n n
n
n
41. Racionalice 33 3
1
.
9 6 4
RTA: 33
3 2.
42. Demuestre que
11
2 2
. .
p q p q p p q p
p qp q p q
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58. En este módulo se definirá lo que es una función polinómica. Se analizará, en parti-
cular, la función cuadrática, su gráfica y el dominio y el rango de esta función.
1. Definir la función polinómica de grado n.
2. Definir el polinomio cuadrático.
3. Conocer el dominio y el rango del polinomio cuadrático.
1. ¿Qué es una función polinómica?
2. ¿Cómo es la gráfica de una ecuación cuadrática?
3. ¿Cómo se hallan el dominio y el rango de una función cuadrática?
4. ¿Cómo se llama la gráfica de una función cuadrática?
7.1 Función polinómica
7.1.1 Ceros de una función polinómica
7.2 El polinomio cuadrático
7.2.1 Polinomio cuadrático
7.2.2 Dominio y rango
59. Una función polinómica P, de grado n, es una expresión de la forma
1
1 1 0...n n
n nP x a x a x a x a , con 0,na donde los coeficientes son rea-
les o complejos y los exponentes son enteros no negativos.
Ejemplo14
2
2 1P x x es una función polinómica de grado 2.
3
2P x x x es una función polinómica de grado 3.
5 2
2 7P x x x es una función polinómica de grado 5.
Se dice que es un cero de la función P, o un cero del polinomio ,P x o una
solución o raíz de la ecuación 0,P x si 0.P
Ejemplo15
2 es un cero de 4 2
( ) 7 4 20P x x x x porque:
4 2
2 2 7 2 4 2 20
16 28 8 20
0.
P
Así mismo, 2 es una solución o raíz de la ecuación polinómica
4 2
7 4 20 0.x x x
Una función cuadrática o polinomio cuadrático es una expresión de la forma
2
P x ax bx c o 2
,y ax bx c donde a, b, c serán, en este caso, números
reales.
La gráfica de la función cuadrática será una parábola con la concavidad dirigida
hacia arriba si 0,a y con la concavidad dirigida hacia abajo si 0.a
Es claro que el dominio de la función 2
y ax bx c serán todos los números
reales.
60. Para hallar el rango de una función cuadrática hay que analizar los valores admisi-
bles que puede tomar la variable y en los casos en que 0a y 0.a Si 0a hay
que analizar el valor mínimo que puede tomar la variable y, ya que la gráfica de la
parábola es cóncava hacia arriba.
En este caso se tiene:
2
2
2 2
2
2
2 2
44
4
.
2 4
y ax bx c
b
a x x c
a
b b b
a x x c
a aa
b ac b
a x
a a
El valor mínimo de la función se obtiene cuando 0,
2
b
x
a
o sea cuando .
2
b
x
a
En este caso el valor mínimo de y es
2
min
4
.
4
ac b
y
a
Por tanto, el rango serán los
valores de y, tales que
2
4
.
4
ac b
y
a
Similarmente, si 0a el rango de la función
cuadrática serán los valores de y, tales que
2
4
.
4
ac b
y
a
Ejemplo16
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2
3 1.y x x
Solución
Como 3 0,a la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.
Como 3,a 1,b 1,c entonces el rango serán todos los valores de y reales
que cumplan que
2
4 3 1 1
,
4 3
y o sea
13
.
12
y
Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7.1.
61. En la figura 7.1, los interceptos con el eje x serán los ceros de 2
3 1,P x x x o
alternativamente, las raíces de la ecuación 2
3 1 0.x x Más adelante se tendrán
fórmulas para hallar las raíces de una ecuación cuadrática.
Ejemplo17
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2
1.y x
Solución
Como 1 1,a la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo.
Como 1,a 0,b 1,c entonces el rango serán todos los valores reales de y
que cumplan que:
2
4 1 1 0
,
4 1
y o sea 1.y
Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7. 2. En esta figura, los
interceptos con el eje x, o sea las raíces de la ecuación 2
1 0,x se hallan por
inspección y son 1 y –1.
62. Ejemplo18
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2
3 12 13.y x x
Solución
Como a = 3 > 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.
Como a = 3, b = 12, c = 13, entonces el rango serán todos los valores reales de y que
cumplan que:
2 2
min
4 4(3)(13) (12)
1.
4 4(3)
ac b
y y
a
Este valor mínimo se encuentra cuando:
12
2.
2 6
b
x
a
Más adelante veremos que cuando la expresión 2
4ac b es positiva, la ecuación
ax2
+ bx + c = 0 no tiene raíces reales, es decir la gráfica no corta el eje x. En este
caso, como 2
4 12 0,ac b la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la función es
(figura7.3):
Ejemplo19
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2
5 10 8.y x x
Solución
Como 5 0,a la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo.
Como 5,a b = 10, 8,c entonces el rango serán todos los valores reales de
y que cumplan que:
63. 2 2
máx
4 4( 5)( 8) (10)
3.
4 4( 5)
ac b
y y
a
Este valor máximo se encuentra cuando:
10
1.
2 10
b
x
a
En este caso, como
2
4 60 0,ac b la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la
función es (figura 7.4):
Ejemplo20
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2
4 4.y x x
Solución
Como 1 0,a la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.
Como a = 1, b = 4, c = 4, entonces el rango serán todos los valores reales de y que
cumplan que:
2 2
mín
4 4(1)(4) (4)
0.
4 4(1)
ac b
y y
a
Este valor mínimo se encuentra cuando:
4
2.
2 2
b
x
a
64. Más adelante veremos que cuando la expresión 2
0ax bx c tiene una sola raíz
real, la gráfica corta el eje x en un único punto
4
2.
2 2
b
x
a
Esto ocurre
pues la función se factoriza como un cuadrado perfecto 2 2
4 4 ( 2) .y x x x
La gráfica de la función es (figura 7.5):