Giro de ejes

1. Giro de Ejes

2. Ya tratamos el procedimiento, mediante el cual, con una traslación
paralela de ejes, simplificamos las ecuaciones en particular de las
curvas cónicas.
Ahora simplificaremos, presentando un proceso llamado giro de
ejes de coordenadas, mediante el cual transformaremos la
ecuación de la forma Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 En otra que
parece del termino Bxy, Que siempre esta cuando los ejes focales
de la parábola, elipse están inclinados respecto a los ejes de
coordenadas.

3. Cuando un sistema de coordenadas rectangulares xy consideremos
un nuevo par de ejes x’y’ con el mismo origen, y referimos un punto
del primer sistema coordenadas al segundo, efectuando un giro de
ejes. También en el giro de ejes existe una relación entre las
coordenadas de un punto (x,y) y las coordenadas del mismo punto
(x’,y’) referido al nuevo sistema de ejes coordenados; con el objeto
de obtener dicha relación, llamaremos Ø ala magnitud del ángulo
medido en sentido positivo desde la parte positiva del eje x, hasta la
parte positiva del nuevo eje x’, como se muestra en la figura
adjunta.

5. Según la figura, considerando el punto P(x,y), 0x y 0y son los ejes
originales, en tanto 0x’ y 0y’ son los nuevos ejes, después de
haber girado un ángulo Ø alrededor del origen.
0A=x; AP=y que son las coordenadas primitivas de P(x,y)
Y que 0B=x’; BP=y’ , que son las coordenadas del mismo
punto P.

6. ECUACION DE
GIRO

7. Sustituyendo (3) y (4) en (1) y (2), respectivamente tenemos:
AP=OBsenØ+BPcosØ
OA=OBcosØ-BPsenØ
Pero según la figura:
OA=x; OB=x’
AP=y; BP=y’
Por lo que al sustituir en las expresiones anteriores quedan como:
x=x’cosØ-y’senØ
(I)
y=x’senØ+y’cosØ
(II)
Que son las ecuaciones de giro de los ejes, aplicables para cualquier
posición del punto P y cualquier valor de Ø
Veremos la aplicación de estas dos formulas que se usan para
simplificar ecuaciones mediante un giro de ejes, o para encontrar las
coordenadas de un punto, pasando de un sistema de coordenadas a
otro de en que los ejes hayan sido girados en determinado ángulo.

8. Ejemplo
 Obtener la ecuación de la curva dada por la
ecuación ,
después de sufrir un giro de ángulo
SOLUCIÓN:
Las ecuaciones de giro son:
Pero:

9. Reemplazando tenemos:
Sustituyendo en al ecuación
tenemos:
,

10. Multiplicando por 4, tenemos:
Sumando términos semejantes:
Esta ecuación representa a la elipse
, pero rotada
en sentido horario
Verifiquemos esto gráficamente

13. Ejemplo
 Obtener la ecuación de la curva dada por la
ecuación ,
después de sufrir un giro de ángulo
SOLUCIÓN:
Las ecuaciones de giro son:
Pero:

14. Reemplazando tenemos:
Factorizando la ecuación
,tenemos:
Reemplazando en los valores de x y y, tenemos:

15. Esta ecuación representa la parábola
rotada un ángulo de
Gráficamente.