2. Objetivos
El objetivo de esta clase es aplicar la
Transformación de Laplace a la resolución de
ecuaciones diferenciales ordinarias, con
coeficientes constantes, y condiciones
iniciales.
Para la aplicación del método se utilizará el
software Mathematica.
3. DOMINIO TEMPORAL DOMINIO DE LAS FUNCIONES
TRANSFORMADAS
f(t) F(s)
Planteo de la ecuación diferencial
con las condiciones iniciales
Transformación de Laplace Ecuación en el Dominio de las
Funciones Transformadas, con
las condiciones iniciales
incorporadas
Resolución algebraica
Solución -> F (s)
Solución -> f (t) Transformación Inversa de Laplace
4. Sea la ecuación diferencial
u’’[t]+ 4 u[t] = 9 t
Las condiciones iniciales son: u[0]=0 ; u’[0]=7
(1)
5. Primer paso
Aplicación de la Transformación de Laplace a la
ecuación (1)
La sentencia en Mathematica es:
edt=LaplaceTransform[u''[t]+4 u[t]== 9 t,t,s]
La salida es:
4 LaplaceTransform[u[t],t,s]+s2
LaplaceTransform[u[t],t,s]-s u[0]-u’[0]== 9/s2
(2)
6. Segundo paso
Reemplazo de las condiciones iniciales en la
ecuación (2)
La sentencia en Mathematica es:
edt1=edt/.{LaplaceTransform[u[t],t,s]->U,
u[0]->0,u'[0]->7}
La salida es:
-7 + 4 U + s2 U == 9/s2 (3)
7. Tercer paso
Resolución de la ecuación algebraica (3)
La sentencia en Mathematica es:
edt2=Solve[edt1,U]
La salida es:
{{U->(9+7 s2)/(s2 (4+s2))}} (4)
8. Cuarto paso
Aplicación de la Transformada Inversa a la
expresión (4)
La sentencia en Mathematica es:
u[t]=InverseLaplaceTransform[edt2,s,t]
La salida es:
{{U DiracDelta [t]->
¼ (9t+19Cos[t]+Sin[t])}}
9. Solución de la ecuación diferencial
La solución de la ecuación (1) es:
u(t) = ¼ .[9t + 19 . cos [t] . sen[t]]
10. Trazado de la gráfica de la solución
La sentencia en Mathematica es:
Plot[1/4(9 t +19 Cos[t]
Sin[t]),{t,0,20},AxesLabel->{“t”,”f[t]”}]
11. Trazado de la gráfica de la solución
5 10 15 20
t
10
20
30
40
u t
12. U[t]->9/4 t +C1Cos[2t]+C2Sin[2t]
Esta es la solución general, por lo que hay que
aplicarle las condiciones iniciales
Resolución de la ecuación (1)
con el comando Dsolve
La sentencia en Mathematica es:
Dsolve[u’’[t]+4 u[t]==9 t,u[t],t]
La salida es:
