La Transformada de Laplace

1. La transformada de Laplace
Es un tipo de transformada integral
frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones
diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional)
para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0,
la definición es

2. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente
se refiere a la versión unilateral.
También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números
reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de
crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.

3. Definición de la Transformada
Sea f una función definida para , la trasformada de
Laplace de f(t) se define como
cuando tal integral converge
Notas
1.La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de
integración se considera constante
2.La transformada de Laplace convierte una función en t en una
función en la variable s
3.Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
1.De orden exponencial
2.Continua a trozos

4. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones
Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales.
Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en
general se aplica a problemas con coeficientes constantes.
Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente
que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una
ecuación diferencial en un problema algebraico.
Donde se usa la transformada de Laplace

5. El método de la transformada de Laplace es método operativo que aporta
muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Mediante el uso de la transformada de Laplace es posible convertir muchas
funciones comunes por ejemplo mediante el uso de la transformada de Laplace
es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones
senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones
exponenciales, en funciones algebraicas de una variable complejas.
Para que se usa de la transformada de Laplace

6. La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para
funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de
Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la llamada
función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0
cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor
1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.
Tabla de las transformadas Laplace

7. ID Función
Dominio en el tiempo Dominio en la frecuencia Región de la convergencia
para sistemas causales
1 retraso ideal
1a impulso unitario
2
enésima potencia retrasada
y con
desplazamiento en la
frecuencia

8. 2a n-ésima potencia
2a.1 q-ésima potencia
2a.2 escalón unitario
2b escalón unitario con retraso

9. 2c Rampa
2d
potencia n-ésima con
cambio de frecuencia
2d.1 amortiguación exponencial
3 convergencia exponencial

10. 3b exponencial doble
4 seno
5 coseno
5b seno con fase

11. 6 seno hiperbólico
7 coseno hiperbólico
8
onda senoidal con
amortiguamiento
exponencial
9
onda cosenoidal con
amortiguamiento
exponencial

12. 10 raíz n-ésima
11 logaritmo natural
12
Función de Bessel
de primer tipo,
de orden n
13
Función de Bessel
modificada
de primer tipo,
de orden n

13. 14
Función de Bessel
de segundo tipo,
de orden 0
15
Función de Bessel
modificada
de segundo tipo,
de orden 0
16 Función de error

14. Ejercicio 1:
Sobre el tema de la transformada de la derivada
Problema:
Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1, simplifique:
Solución
Aplicando la propiedad de linealidad:
Por el teorema de la transformada de la derivada:
Y

15. De donde:
Agrupando términos
Y por tanto:

16. Ejercicio 2:
Sobre el tema de la transformada de la integral
Problema
De termine:
Solución
Para aplicar el teorema reconocemos que:
Es decir que:

17. Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos:
Haciendo uso de la tabla de transformadas:
Desarrollando la integral

18. Así la integral queda:
Por tanto