La transformada de Laplace es una transformada integral utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Transforma una función en el dominio del tiempo en otra función en el dominio complejo. Se define como la integral de la función original multiplicada por un exponencial negativa. Permite convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver.

1. Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada
integral frecuentemente usada la resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de
una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en
análisis matemático o en análisis funcional) para todos los
números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
F(s) = L {f(t)} =
∫ ∞
0
e−st
f(t) dt.
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no
es una función, sino una distribución con una singularidad
en 0, la definición es
F(s) = L {f(t)} = lim
ε→0
∫ ∞
−ε
e−st
f(t) dt.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, general-
mente se refiere a la versión unilateral. También existe
la transformada de Laplace bilateral, que se define como
sigue:
FB(s) = L {f(t)} =
∫ ∞
−∞
e−st
f(t) dt.
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para
todos los números reales s > a, donde a es una constante
que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
L es llamado el operador de la transformada de Laplace.
1 Perspectiva histórica
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor
del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la pre-
sentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744,
Leonhard Euler había investigado un conjunto de inte-
grales de la forma:
z =
∫
X(x)eax
dx
z =
∫
X(x)xA
dx
— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no
profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación.
Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también in-
vestigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la
probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad
de probabilidad de la forma:
∫
X(x)e−ax
ax
dx,
— que algunos historiadores interpretan como auténticas
transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atraje-
ron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo
la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como
soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en
1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para
en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a
las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Lapla-
ce tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral
de la forma:
∫
xs
ϕ(s) dx,
— análoga a la transformada de Mellin, con la que trans-
formó una ecuación diferencial en una ecuación algebrai-
ca de la que buscó su solución. Planteó alguna de las prin-
cipales propiedades de su transformada, y de alguna for-
ma reconoció que el método de Joseph Fourier para resol-
ver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión
podría relacionarse con su transformada integral para un
espacio finito con soluciones periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto caye-
ron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el
campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación
en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo co-
mo objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace
y toda su teoría subyacente surge en realidad en la segun-
da mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones
diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el
ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió
que los operadores diferenciales podían tratarse analíti-
camente como variables algebraicas. De acuerdo con el
“cálculo operacional”, si se tiene una ecuación diferencial
de la forma:
1

2. 2 2 PROPIEDADES
(D − a)y = f(t)
— donde D es el operador diferencial, esto es, D = d/dt
, entonces la solución general a dicha ecuación es de la
forma:
y = eat
∫
e−at
f(t)dt + c1eat
Heaviside observó que si se trataba al operador D como
una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la
solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto,
según la solución general, se cumple que:
y =
1
D − a
f(t) = eat
∫
e−at
f(t)dt + c1eat
Entonces, si se considera una ecuación diferencial de se-
gundo orden como la siguiente:
y′′
− 3y′
+ 2y = et
— ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D
como:
(D2
− 3D + 2)y = et
Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamen-
te, en cuyo caso se tendría que:
y =
et
D2 − 3D + 2
=
et
(D − 1)(D − 2)
=
1
D − 2
et
−
1
D − 1
et
Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral
de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de
la ecuación diferencial:
y = (e2t
∫
e−2t
f(t)dt+c1e2t
)−(et
∫
e−t
f(t)dt+c2et
) = (e2t
(−e−t
)+c1e2t
)−(et
(t)+c2et
)
(
y = c1e2t
− (c2 + 1)et
− tet
)
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora
de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que
pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heavi-
side, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos
matemáticos puristas que los rechazaron argumentando
que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal
forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto
fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo,
de manera que al final atrajo la atención de cierto número
de matemáticos tratando de justificar el método de ma-
nera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descu-
brió que la Transformada descubierta por Laplace hacía
un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al méto-
do de cálculo operacional de Heaviside, sino que además
ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales mé-
todos.
Hacia principios del siglo XX, la transformada de La-
place se convirtió en una herramienta común de la teo-
ría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los
campos donde ha sido aplicada con más éxito. En gene-
ral, la transformada es adecuada para resolver sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones ini-
ciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas
radica en que la integración y derivación se convierten
en multiplicación y división. Esto transforma las ecuacio-
nes diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas,
mucho más fáciles de resolver.
2 Propiedades
2.0.1 Linealidad
L {af(t) + bg(t)} = aL {f(t)} + bL {g(t)}
2.0.2 Derivación
L{f′
(t)} = sL{f(t)} − f(0)
L{f′′
(t)} = s2
L{f(t)} − sf(0) − f′
(0)
L
{
f(n)
(t)
}
= sn
L{f(t)} − sn−1
f(0) −
· · · − f(n−1)
(0) = sn
L{f(t)} −∑n
i=1 sn−i
f(i−1)
(0)
2.0.3 Integración
L
{∫ t
0−
f(τ)dτ
}
=
1
s
L{f}
2.0.4 Dualidad
L{tf(t)} = −F′
(s)

3. 3
2.0.5 Desplazamiento de la frecuencia
L
{
eat
f(t)
}
= F(s − a)
==== Desplazamiento temporal ====
L {f(t − a)u(t − a)} = e−as
F(s)
L−1
{
e−as
F(s)
}
= f(t − a)u(t − a)
Nota: u(t) es la función escalón unitario.
2.0.6 Desplazamiento potencia n-ésima
L{ tn
f(t)} = (−1)n
Dn
s [F(s)]
2.0.7 Convolución
L{f ∗ g} = F(s)G(s)
2.0.8 Transformada de Laplace de una función con
periodo p
L{f} =
1
1 − e−ps
∫ p
0
e−st
f(t) dt
2.0.9 Condiciones de convergencia
L{(et2
)} (que crece más rápido que e−st
) no
pueden ser obtenidas por Laplace, ya que et2
,
es una función de orden exponencial de ángu-
los.
2.0.10 Teorema del valor inicial
Sea una función f ∈ ε derivable a trozos y que f′
∈ ε.
Entonces :
f(0+
) = lims→∞ sF(s)
ε es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden
exponencial.
2.0.11 Teorema del valor final
Sea f ∈ ε una función derivable a trozos tal que f′
∈ ε
.Entonces :
f(∞) = lims→0 sF(s)
ε es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden
exponencial.
3 Tabla de las transformadas de
Laplace más comunes
La siguiente tabla provee la mayoría de las transforma-
ciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador
lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma
de la transformada de Laplace de cada término.
L {f(t) + g(t)} = L {f(t)} + L {g(t)}
L {af(t)} = aL {f(t)}
Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En
ella u denota a la llamada función de Heaviside o función
escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0
cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento
vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene
relevancia práctica.
4 Relación con otras transforma-
das
La transformada de Laplace está estrechamente relacio-
nada con la Transformada de Fourier y la Transformada
Z (véase por ejemplo: Relación de la transformada Z con
la transformada de Laplace).
5 Véase también
• Transformada de Mellin
6 Referencias
6.1 Bibliografía de consulta
• Spiegel, Murray R. : Transformadas de Laplace
(1991) Mc Graw Hill / Interamericana de México,
México D.F.-
6.2 Enlaces externos
• C. Fernández, Transformada de Laplace y Ecuacio-
nes de Volterra, Licenciatura en Educación Mate-
mática y Computación, USACH, 2006.
• Ing. Gabriel Alberto Ventura García, Notas so-
bre Transformada de Laplace,Ingeniería Mecánica
Eléctrica, FIME XALAPA, 2010.
• La transformada de Laplace Richard Baraniuk

4. 4 6 REFERENCIAS
• Ejercicios y problemas resuelto de la transformada
de Laplace
• Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las
ecuaciones diferenciales José Salvador Cánovas Pe-
ña

5. 5
7 Text and image sources, contributors, and licenses
7.1 Text
• Transformada de Laplace Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada%20de%20Laplace?oldid=81042982 Colaboradores: Sms,
Temandocorreo, Schummy, Lanjoe9, Rembiapo pohyiete (bot), Tico, Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Ooscarr, Vynith, Alhen,
Superzerocool, Caiserbot, Unificacion, Yrbot, YurikBot, Mortadelo2005, Icvav, KnightRider, Txo, Eskimbot, Banfield, Ceancata, Luis
espejel, Lucianobello, JorSol, Faelomx, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, Marianov, Roberpl, Davius, Hichokei, Thijs!bot, Albra-
mallo, Sobreira, Escarbot, Gavanzo, IrwinSantos, Botones, Mpeinadopa, Leandroccl3, Nettosama, Hosg, Yagamichega, TXiKiBoT, NaSz,
Pólux, Pedrorivas, Jtico, AlnoktaBOT, Dusan, Technopat, Matdrodes, Berfito, Synthebot, Shooke, Muro Bot, SieBot, Rigenea, Cousteau,
Greek, WikiBotas, Nberger, Alberto2087, Tirithel, HUB, Makete, Portland, Juan Mayordomo, Rαge, Raulshc, AVBOT, Chzelada, Mar-
coAurelio, Dasaqui, Diegusjaimes, MelancholieBot, Luckas-bot, Nallimbot, FariBOT, Emmanuele, Xqbot, Jkbw, Ricardogpn, ChenzwBot,
Surfaz, BenzolBot, Panderine!, Execoot, Halfdrag, RedBot, Marsal20, Gabbor, PatruBOT, Alph Bot, Humbefa, EmausBot, JackieBot, Si-
denko, Albertojuanse, Benja12xd, KLBot2, Renly, UAwiki, Msc 89, Acratta, Abdelix, Helmy oved, Addbot, JacobRodrigues, Lectorina y
Anónimos: 244
7.2 Images
7.3 Content license
• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0