Este documento describe la transformada de Laplace, una herramienta matemática utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica la definición de la transformada de Laplace y cómo mapear una función del tiempo a una función compleja. Luego, muestra cómo usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes y condiciones iniciales. Finalmente, discute cómo la transformada de Laplace también se puede aplicar para analizar circuitos eléctricos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Facultad: Tecnología de la Construcción Civil
Materia: Matemática IV
Transformada de Laplace
Ingeniero:
Rondón , Ranielina
Bachiller:
Marín, Diego
C.I: v-26346140
24/07/2016

2. La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución
de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida
(en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números
positivos t≥ 0, es la función F(s), definida por:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una
singularidad en 0, la definición es
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También
existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una
constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace

3. APLICACIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Como comentamos en la introducción
del tema, estas ecuaciones aparecen de forma natural en la teoría de circuitos eléctricos. Para ilustrar
el método, consideremos el siguiente ejemplo: la ecuación
y’’ + y = cost
junto con las condiciones iníciales
y(0) = 0; y’ (0) = 1.
Básicamente se trata de aplicar la Transformada de Laplace y sus propiedades a (2.1) de manera que
teniendo en cuenta (2.2), nuestro problema se convierte en el problema algebraico
de donde
Una vez obtenida L[y], hemos de usar la Transformada inversa para volver atrás y recuperar la solución
del problema y. En este caso, L[y] satisface las condiciones del Teorema 14, por lo que
una vez realizados los cálculos.

4. USO DE LA CONVOLUCIÓN
Otra forma de abordar el problema anterior, sin necesidad de tener que calcular la Transformada de
Laplace de la función coseno es la siguiente. Consideremos los cálculos realizados anteriormente, pero
sin obtener L[f](z) donde f(t) = cost. Nos quedará entonces la ecuación algebraica
de donde
Entonces
que era la solución obtenida anteriormente.
Así, el uso del producto de convolución presenta una vía alternativa para la resolución de estos problemas,
aunque a veces el cálculo de las integrales que aparecen en el producto de convolución pueden ser
bastante complicado.

5. SISTEMAS DE ECUACIONES
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma
y’ (t) = A · y(t)+f(t) (2.3)
donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales, f = (f1, f2, ..., fn)t
donde fi son funciones dadas e y = (y1, y2, ..., yn)t es la función vectorial incógnita.
Supongamos además las condiciones iniciales y(0) = y0 (2.4)

7. PROBLEMAS CON FUNCIONES DISCONTINUAS

10. Tabla de transformada de Laplace

11. Ejercicio: 1

12. Ejercicio: 2

13. Transformada inversa de Laplace

14. Aplicación de la transformada inversa de Laplace
Ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes:
La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales
con coeficientes constantes supongamos por ejemplo que queremos resolver la ecuación
diferencial de segundo orden:
donde & son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de
frontera:
Donde A & B son constantes dadas. Tomando la transformada de Laplace a cada lado de la
ecuación diferencial y usando las condiciones de frontera obtenemos una ecuación
algebraica para determinar . La solución requerida se obtiene al calcular la transformada
inversa de Laplace de y(s) . Este método se puede extender fácilmente a ecuaciones
diferenciales de orden superior.
Uso de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos:
Sea una función de excitación dada por:
la cual, junto con la expresión para la transformada inversa ,establece una correspondencia
uno a uno entre v(t) & V(s). Es decir, para toda v(t) para la cual V(s) existe, esta V(s) es
única.
De esta manera se establece una poderosa herramienta para la solución de circuitos

15. Tabla de transformada inversa de Laplace

16. Ejercicio: 1

17. Ejercicio: 2