relaciones de equivalencia estructura discreta

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
RELACION DE EQUIVALENCIA
ALUNNO: YORGENIS SUAREZ
CI. 22.202.335

2. RELACIONES DE EQUIVALNCIA
La noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una
relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o
propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es
decir, paquetes de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos
conjuntos añadiendo todos los elementos de una misma clase como un solo
elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.
Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice
que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
1-Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo.
2-Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro
elemento también se relaciona con el primero.
3-Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez
se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con
este último
CLASES DE EQUIVALENCIA
En lógica de clases y análisis matemático, la relación de define subconjuntos
disjuntos en K llamados clases de equivalencia: Dado un elemento K, el conjunto
dado por todos los elementos relacionados con a definen la clase: Se le llama la
clase de equivalencia asociada al elemento Al elemento se le llama representante
de la clase. Se llama orden al número de clases que genera una relación de
equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito. El concepto
de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos
o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones
de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos"
en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

3. Conjunto cociente: Al conjunto de todas las clases de equivalencia se
denomina conjunto cociente y se denota como:
Partición: Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del
mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia
puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales
que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero.
El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:
Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina
una partición de este, y toda partición de K determina una relación de
equivalencia en este. La partición tiene como elementos las clases de equivalencia.
Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.
EJEMPLO:
Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue:
(a;b)~ (c;d) si y sólo si a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y
cada clase de equivalencia es un número entero. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0)
se llama representante canónico y se denota, simplificadamente, 2.
-La igualdad matemática.
-La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i. e. ),
donde se define: si y sólo si es múltiplo de M.
Esta relación es de equivalencia porque:
1-Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
2-Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo
de M.

4. 3-Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l.
Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M.
En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros
en pares e impares.
4-Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo si y sólo
si , tendremos la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H .
5-Definiendo, para elementos del grupo, si y sólo si existe g en G tal que , se llama
relación de conjugación. Sus clases: clases de conjugación. Las clases de
equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.
6-Sean los números reales a y b, diremos que s.s.s. sus máximos enteros son
iguales. La clase de equivalencia son los intervalos [n; n+1) donde n es un número
entero. Así 3,56 y 3,875 son equivalentes pues tienen el mismo máximo entero = 3.