Conceptos y Ejercicios

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO
UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN BARCELONA
Estructuras Discretas y Grafos
Facilitadora: Participantes:
Ing. José Castillo Luz Cona
Barcelona, Julio de 2020

2. Introducción
La relación que mantienen los elementos entre si, en su
ejecución correcta busca definir mediante la aplicación de
diferentes valores de magnitudes matemáticas, los valores de otra
a través de formulas ya demostradas y dentro de las cuales la
función en su expresión algebraica f(x) juega un papel importante.

3. Relaciones y Grafos
La relación es un conjunto de pares ordenados y los grafos
son un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por
enlaces llamados aristas o arcos, que permiten
representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto

4. Producto Cartesiano
Para Navarro(1987), “el producto cartesiano es el conjunto
formado por los pares ordenados que tienen como primera
componente un elemento del primer conjunto y como segunda
componente un elemento del segundo conjunto” (p. 1 de 4).

5. Relación Binaria
Según Navarro(Ob. Cit.), “Son proposiciones definidas entre los
elementos de dos conjuntos. La relación está bien definida cuando para
cualquier par ordenado podemos decir si cumple o no cumple la relación
dada”(p. 2 de 4).

6. Representaciones de Relaciones
Para Navarro (Ob. Cit.), “Es la forma más directa de expresar
una relación entre elementos de dos conjuntos es usando pares
ordenados, por lo que de manera abstracta se puede definir una
relación es como un conjunto de pares ordenados”(p. 3 de 4).

7. Diagrama de Flechas
Según ROJA (2014), “Es una representación gráfica en forma de
red que nos permite visualizar el orden en que las actividades de un
proyecto se realizan, permitiendo planificar y controlar su desarrollo”
(. sites.google.com › virtualcdcasasceduardo › 2-funciones).

8. Propiedades de las Relaciones (reflexiva, irreflexiva, simétrica,
asimétrica, anti simétrica, transitiva)
•Propiedad irreflexiva: si ningún elemento está relacionado consigo mismo.
•Propiedad simétrica: Si un elemento del conjunto dado está relacionado con
otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero
•Propiedad asimétrica: si ningún par ordenado de la relación cumple la
propiedad simétrica.
•Propiedad anti simétrica: cuando solo cumplen la propiedad simétrica los pares
de elementos iguales y no las cumplen los pares formados por distintos
elemento.
•Propiedad transitiva: Si un elemento del conjunto dado está relacionado con
otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará
relacionado también con este último(relacionesgrafos.blogspot.com ›
2014/11 › 53-relacion).

9. Relaciones de equivalencia (cerraduras, clases de
equivalencia, particiones)
Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un
elemento cualquiera.
•Cerraduras: es la relación entre dos elementos de un conjunto y su
operación, quedando el resultado en el mismo conjunto.
•Clases de equivalencias: es el subconjunto de un conjunto dado, formado
por todos los elementos b del conjunto, que están relacionados con a, es
decir b-a.
•Particiones: son divisiones de conjuntos en conjuntos más pequeños
formados por elementos del subconjuntos
(relacionesgrafos.blogspot.com › 2014/11 › 53-relacion).

10. Funciones (inyectiva, suprayectiva, biyectiva)
Según Navarro(Ob. Cit.)
•Función inyectiva: es cuando cada elemento del dominio tiene
imagen diferente en el codominio, o de otra manera, cuando los
elementos del codominio pueden tener una o ninguna
contraimaen.
•Función suprayectiva: es cuando el rango es igual al codominio, o
de otra manera, cuando todos los elementos del codominio tienen
una o más contraimágenes.
Función biyectiva: es cuando todos los elementos del conjunto de
partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto
de llegada(p.4 de 4).

11. Ejemplo de productos cartesianos
Sea A= (2,4) y B= (3,5)
hallar: A x B y B x A
A x B= (2,3), (2,5), (4,3), (4,5)
B x A= (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)
Ejemplo de relación binaria
Sea A= 5,8,11 y B= 4,7,10
hallar: R= a, b ϵ AxB /a < b
AxB= 5,4 , 5,7 , 5,10 , 8,4 , 8,7 , 8,10 , 11,4 , 11,7 , 11,10
a 𝜖 A b 𝜖 B
R= 5,4 , 5,7 , 5,10 , 8,10

12. Ejemplo de relaciones reflexiva, simétrica y transitiva
R= 𝑥, 𝑦 𝜖𝑧. 𝑧 /𝑥 − 𝑦 = 3𝑘, 𝑘𝜖𝑧
Reflexiva: ∀𝑎𝜖𝑧 (a,a) 𝜖𝑅
a-a=0 =3(0)
Simétrica: ∀(a,b) 𝜖𝑅
(b,a) 𝜖𝑅
a-b=3k, 𝑘𝜖𝑧 -a+b=-3k, 𝑘𝜖𝑧 b-a=3(-k) – 𝑘𝜖𝑧 (b, a) 𝜖𝑅
Transitiva: ∀(a,b) 𝜖𝑅 Ʌ 𝑏, 𝑐 𝜖𝑅 (𝑎, 𝑏)𝜖𝑅
a-b= 3k1 k1 𝜖𝑧
b-c= 3k2 k2 𝜖𝑧
a-c= 3k1 + 3k2
a-c= 3(k1 + k2) k1 + k2 𝜖𝑧
a-c= 3k k 𝜖𝑧
(a-c) 𝜖𝑅

13. Ejemplo de función inyectiva

14.  Dado f(x)= x+2 determinar: f:R R
F(x)= X+2
y= x+2
y-2= x
R=y ϵ R
R=R

15. Conclusión
Los puntos tratados en el desarrollo conllevan a
tener una posición más clara en lo que respecta a la
representación de relaciones binarias y su aplicación
en el área de sistema.

16. ROJA E. (2014). Funciones. Extraído el 01 de julio 2020 desde
( sites.google.com › virtualcdcasasceduardo › 2-funciones).
NAVARRO E. (1987). Curso Propedeútico de Matemática.
Editorial litho-tip. (pp. 42,43,44,49).
Relaciones de Equivalencia. Documento en línea tomado el
01 / 07/ 2020 Desde ( relacionesgrafos. blogspot. com ›
2014/11 › 53-relacion).
Bibliografía