Matemática básica

1. INSTITUCION EDUCATIVA ESCUELA
NORMAL SUPERIOR DE COROZAL
Mg (c) Jacklym Gómez González
FORMACIÓN COMPLEMENTARIA
MATEMÁTICA BÁSICA I

2. MATEMÁTICA BÁSICA I
 Propósito del Modulo
 Establecer el valor de verdad de muchos de los
enunciados lógicos utilizando las leyes de la lógica y las
de las inferencias, ya sea para determinar la
consistencia interna de un razonamiento.
 Estudiar, analizar y profundizar los conceptos
fundamentales de la teoría de conjuntos, básicos para
llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la
relación del lenguaje natural, a la vez que son aplicados
en la solución de problemas.

3. ESTRATEGIAS PARA APRENDER MATEMÁTICAS
SEGÚN SU EVIDENCIA
 Realizar diagnóstico para identificar dificultades matemáticas
y reforzar contenidos de ser necesario. (E. Moderada)
 Los materiales didácticos o actividades deben centrarse
especialmente en afianzar el manejo de los números enteros y
los números racionales según el grado. (E. Mínima)
 La instrucción debe ser explícita y sistemática. (Fuerte
evidencia).
 Debe incluir resolución de problemas verbales, ya que hay
relación directa con las estructuras comunes a los problemas
matemáticos escritos. (Fuerte evidencia).
 Se deben usar representaciones visuales de ideas matemáticas.
 Se debe poner en práctica lo aprendido. (Evidencia moderada)

4. SITUACION PROBLEMA
¿Qué conceptos, habilidades y actitudes
relacionados con la lógica y los conjuntos se
requieren para desarrollar el pensamiento lógico?

5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO
 Unidad 1.
Principios de lógica y Teoría de Conjuntos
 Unidad 2.
Sistema numérico
 Unidad 3.
Teoría de exponente
 Unidad 4.
Expresiones Algebraicas

6. LOGICA MATEMATICA
La lógica matemática consiste en el estudio matemático
de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas
de las matemáticas. Tiene estrechas conexiones con
la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
Estudia los sistemas formales en relación con el modo en
el que codifican nociones intuitivas de objetos
matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y
computación.

7. PRINCIPIOS DE LA LÓGICA
MATEMÁTICA
 La Negación:
La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa
por “¬” . Su tabla de verdad es la siguiente.
 La Conjunción:
La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria
que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su
tabla de verdad es:
p ¬ p
V F
F V
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F

8.  La Disyunción:
La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria
que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente
tabla
 La Condicional:
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la
proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su
tabla de verdad está dada por:
Tautología
p q p^q p v q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
p q p^q p v q p → q
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V

9.  La bicondicional:
La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p
si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada
por:
TABLAS DE VERDAD
Definición:
es una representación esquemática de las relaciones entre
proposiciones; determina los valores de verdad de proposiciones
compuestas, y depende de los conectivos utilizados y valores de
verdad de sus proposiciones simples. los términos de enlace tales
como la negación (“ ⌐”), la disyunción (“v”) y la conjunción (“Λ”) se
consideran conectivos fundamentales; por tal razón, sus valores de
verdad constituyen base para establecer bajo qué condiciones una
proposición compuesta es verdadera o falsa.
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

10. LEYES DE LA LÓGICA
TAUTOLOGIA, CONTRADICCIONES,
INDETERMINADOS
 Tautología: Se da cuando sus valores corresponden
a una verdad, es decir cuando las dos proposiciones
relacionadas, son verdaderas.
 Contradicciones: Se da cuando sus valores son
falsos.
 Indeterminados: Cuando sus valores son
verdaderos y falsos.

11.  Reforzando contenidos…
Dada la proposición [(𝑝 → 𝑞)𝑣 ¬𝑞^
𝑟 ] ↔ (𝑟 → 𝑞)
Elaboremos su tabla de verdad.

12. TEORÍA DE CONJUNTOS
En 1870 Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor,
padre de la teoría de conjuntos dio su primer
tratamiento formal, en ella le otorgo un concepto al
termino Conjunto, sus elementos, principios y
terminología.
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica
matemática que estudia las propiedades y relaciones de
los conjuntos: colecciones abstractas de objetos,
consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y
sus operaciones más elementales son una herramienta
básica en la formulación de cualquier teoría matemática

14. NOCIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto es un grupo o colección de objetos, a
cada conjunto se le designa con una letra
mayúscula.
Los objetos que integran un conjunto reciben el
nombre de elementos del conjunto.
La característica principal de un conjunto es que
esté bien definido, es decir, dado un objeto
particular, debe saberse con claridad si dicho objeto
es o no un elemento del conjunto.

15. Los conjuntos se pueden determinar de dos formas:
a) Por extensión: cuando mencionamos los elementos
del conjunto.
A = {a, e, i, o, u}
a) Por comprensión: cuando solo mencionamos una
característica que defina exactamente a todos los
elementos.
B = {vocales}
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

16. Las clases de conjuntos se pueden clasificar en
iguales, finitos e infinitos, subconjuntos,
vacíos, disjuntos o disyuntivos, equivalentes, unitarios,
superpuestos o solapados, congruentes y no
congruentes, entre otros.
 Los conjuntos finitos, son aquellos en donde pueden
ser contabilizados o enumerados todos elementos del
conjunto.
{Números enteros entre 2.000 y 2.005} = {2.001, 2.002,
2.003, 2.004}
CLASES DE CONJUNTOS

17.  Conjunto Vacio
El símbolo Ø representa el conjunto vacío, que es el
conjunto que no tiene elementos en absoluto. Nada
en el universo entero es un elemento de Ø:
| Ø | = 0 y X ∉ Ø, no importa lo que X puede ser.
 Conjuntos Disjunto o Disyuntos
Dos conjuntos se llaman disjuntos si no tienen
elementos en común. Por ejemplo:
Los conjuntos S = {2, 4, 6, 8} y T = {1, 3, 5, 7} son
disjuntos.

18.  Conjunto unitario
Es un conjunto que tiene exactamente un elemento en
él. En otras palabras, sólo hay un elemento que
conforma el conjunto.
Por ejemplo:
 S = {a}
 Sea B = { es un número primo par}
Por lo tanto, B es un conjunto unitario porque sólo hay
un número primo que es par, es decir, 2.
 Conjunto universal
Un conjunto universal es la colección de todos los
objetos en un contexto particular o teoría. Todos los
demás conjuntos en ese marco constituyen
subconjuntos del conjunto universal, que se denomina
con la letra mayúscula y cursiva U.

19. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

20. RELACIÓN DE CONTENENCIA
La contenencia de conjuntos es la relación que existe entre un conjunto
que es universal y otro que se es subconjunto del universal; es decir
que el conjunto A estará contenido dentro del conjunto G si y solo si
todos los elementos del conjunto A son también elementos del conjunto G;
Se representa con el símbolo C que se lee contenido y cuando no está
contenido se representa con el símbolo ₡ y se lee no contenido. Ejemplo

21. UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos (o más) conjuntos es una
operación que resulta en otro conjunto, cuyos
elementos son los mismos de los conjuntos iniciales.
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la
unión del conjunto de los números pares positivos P y
el conjunto de los números impares positivos I.
P={2, 4, 6,…}
I={1,3,5,…}
N={1,2,3,4,…}

22. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
la intersección de dos (o más) conjuntos es
una operación que resulta en otro conjunto que
contiene los elementos comunes a los conjuntos de
partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los
números pares P y el conjunto de los
cuadrados C de números naturales, su intersección
es el conjunto de los cuadrados pares D:
 P= {2,4,6,8,10,...}
 C= {1,4,9,16,25,…}
 D= {4,16,36,64,…}

23. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La diferencia de dos conjuntos es una operación que da
como resultado otro conjunto con los elementos del
primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto.
Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de
los números naturales N y el conjunto de los números
pares P es el conjunto de los números impares I:
 N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…}
 P={2,4,6,8,10,12…}
 I={1,3,5,7,9,11,13,15,17...}

24. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
 El conjunto complementario es otro conjunto que
contiene todos los elementos que no están en el
conjunto original. Para definirlo es necesario
especificar qué elementos se están utilizando, o de
otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo,
si se habla de números naturales, el complementario
del conjunto de los números primos P es el conjunto
de los números no primos C, que está formado por
los números compuestos y el 1:
 P={2,3,5,7,…}
 C={1,4,6,8,9,…}
 A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El
conjunto complementario se denota por una barra
horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se
tiene: P∁ = C, y también C = P.

25. DIAGRAMA DE VENN
Los diagramas de Venn son esquemas usados en
la teoría de conjuntos, tema de interés en
matemáticas, lógica de clases y razonamiento
diagrámico. Estos diagramas muestran colecciones
(conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas
cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos
los elementos bajo consideración, el conjunto
universal U.
Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880
por John Venn.

26. CARDINAL DE UN CONJUNTO
El cardinal indica el número o cantidad de
elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita
o infinita. Los números cardinales constituyen una
generalización interesante del concepto de número
natural,, permitiendo comparar la cantidad de
elementos de conjuntos infinitos. Dado un
conjunto A, el cardinal de este conjunto se
simboliza mediante |A|, n(A), card (A) ó #A.
Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se
indica así: |A| = 3.