LIBRO FISICA OPTICA 2022 - Capitulo 2.pdf

2. MATEMATICAS ESPECIALES DE LA OPTICA
2.1 FUNCIONES BASICAS
2.1.1 Funciones unidimensionales
Funci¶
on De¯nici¶
on
step step
¡x¡x0
b
¢
=
8
>
>
<
>
>
:
0; Si X
b < X0
b
1
2 ; Si X
b = X0
b
1; Si X
b > X0
b
signo sgn
¡x¡x0
b
¢
=
8
>
>
<
>
>
:
¡1; Si X
b < X0
b
0; Si X
b = X0
b
1; Si X
b > X0
b
Rectangulo rect
¡x¡x0
b
¢
=
8
>
>
<
>
>
:
0; Si j X¡X0
b j> 1
2
1
2 ; Si j X¡X0
b j= 1
2
1; Si j X¡X0
b j< 1
2
rampa ramp
¡x¡x0
b
¢
=
8
>
>
<
>
>
:
0; Si X
b · X0
b
j X¡X0
b j; Si X
b > X0
b
triangulo tri
¡x¡x0
b
¢
=
8
>
>
<
>
>
:
0; Si j X¡X0
b j¸ 1
1¡ j X¡X0
b j; Si j X¡X0
b j< 1
sinc sinc
¡x¡x0
b
¢
=
sin¼(x¡x0
b )
¼(x¡x0
b )
sinc2
j sinc
¡x¡x0
b
¢
=
sin¼(x¡x0
b )
¼(x¡x0
b )
j2
Gaussiana Gaus
¡x¡x0
b
¢
= exp
h
¡¼
¡x¡x0
b
¢2
i
Impulso ± (x) = limb!0
1
b Gaus
¡x
b
¢
0
C¶
esar Torres M. LOI - UPC

36 2. MATEMATICAS ESPECIALES DE LA OPTICA
(Step) (Signo) (Rectangulo)
(Rampa) (Triangulo) (Sinc)
(Sinc2
) (Gauss) (Impulso)
Figura 2.1. Funciones especiales unidimensionales

2.1 FUNCIONES BASICAS 37
Propiedades de la funci¶
on impulso:
± (x ¡ x0) = 0; si x 6= x0 (2.1)
Z
x1
x2
f (®) ± (® ¡ x0) d® = f (x0) ; x1 < x0 < x2 (2.2)
Propiedades de escalamiento
±
μ
x ¡ x0
b
¶
=j b j ± (x ¡ x0) (2.3)
± (ax ¡ x0) =
1
j a j
±
³
x ¡
x0
a
´
(2.4)
± (¡x + x0) = ± (x ¡ x0) (2.5)
± (¡x) = ± (x) (2.6)
Propiedades en productos
f (x) ± (x ¡ x0) = f (x0) ± (x ¡ x0) (2.7)
x± (x ¡ x0) = x0± (x ¡ x0) (2.8)
± (x) ± (x ¡ x0) = 0; Si x0 6= 0 (2.9)

± (x ¡ x0) ± (x ¡ x0) = indefinido (2.10)
Propiedades en integrales
Z 1
¡1
A± (® ¡ x0) d® = A (2.11)
Z 1
¡1
± (® ¡ x0) d® = 1 (2.12)
Z 1
¡1
± (® ¡ x0) ± (x ¡ ®) d® = ± (x ¡ x0) (2.13)
Funci¶
on Impulso par e impar
±± (x) = [± (x + 1) + ± (x ¡ 1)] (2.14)
±± (x) = [± (x + 1) ¡ ± (x ¡ 1)] (2.15)
(Deltapar) (Deltaimpar) (Peinilla)
Figura 2.2. Funciones especiales de la funci¶
on impulso
Funci¶
on peinilla de Dirac

comb (x) =
1
X
n=¡1
± (x ¡ n) (2.16)
comb
μ
x ¡ x0
b
¶
=j b j
1
X
n=¡1
± (x ¡ x0 ¡ nb) (2.17)
Taller de funciones b¶
asicas unidimensionales. En la soluci¶
on de problemas cient¶
³¯cos y de in-
genier¶
³a se encuentran situaciones las cuales no se pueden plantear con expresiones algebraicas sim-
ples, es necesario entonces introducir funciones espec¶
³¯cas que nos representen par¶
ametros f¶
³sicos.
Dado que f (x) = rect (x + 2) + rect (x ¡ 2), dibuje las siguientes funciones:
a. f (x)
b. g (x) = f (x ¡ 1)
c. h (x) = f (x) sgn (x)
d. p (x) = h (x ¡ 1)
Funciones compuestas
a. f (x) = rect
¡x
4
¢
¡ rect
¡x
2
¢
b. g (x) = 2tri
¡x
2
¢
¡ tri (x)
c. h (x) = 2tri
¡x
2
¢
¡ 2tri (x)
d. p (x) =
£
rect
¡x
4
¢
¡ tri
¡x
2
¢¤
sgn (x)
Dadas las constantes reales positivas b y x0 y la funci¶
on f (x) = tri (x) step (x) dibuje lo sigu-
iente:
a. f (x)
b. f
¡x
b
¢
c. f (x ¡ x0)
An¶
alisis gr¶
a¯co
Dadas las gr¶
a¯cas unidimensionales de la ¯gura 2.3 escribir su ecuaci¶
on en t¶
erminos de las
funciones estudiadas en clase:

(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
Figura 2.3. Gr¶
a¯cas de las funciones propuestas
Para cada una de las funciones especiales de¯nidas en el numeral anterior encontrar su gr¶
a¯ca
correspondiente y determinar anal¶
³ticamente el valor de su ¶
area.
Realizar un gr¶
a¯co comparativo de las funciones tri (x), sinc (x), sinc2
(x) y Gauss (x)
2.1.2 Funciones bidimensionales
Coordenadas rectangulares:
Las funciones dos dimensionales que se utilizan en los problemas de ¶
optica normalmente cumplen
con la propiedad de separaci¶
on de variables; por tanto se pueden escribir de manera general como
el producto de dos funciones unidimensionales en las dos variables; es decir:
f (x; y) = g (x) h (y) (2.18)
Taller de funciones b¶
asicas bidimensionales. Dadas las gr¶
a¯cas bidimensionales de la ¯gura
2.4 escribir su ecuaci¶
on en t¶
erminos de las funciones estudiadas en clase:

(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.4. Gr¶
a¯cas propuestas
Coordenadas polares:
En la mayor¶
³a de los sistemas ¶
opticos los elementos utilizados poseen simetr¶
³a radial cerca del eje
¶
optico en una primera aproximaci¶
on; por tanto en muchos casos es conveniente utilizar geometr¶
³a
polar para describir estos elementos.
De¯nici¶
on de Funciones:
a.) Funci¶
on cilindro
cyl
³r
d
´
=
1; 0 · r < d
2
1
2 ; r = d
2
0; r > d
2
b.) Funci¶
on sombrero
somb
³r
d
´
=
2J1
¡
¼ r
d
¢
¡
¼ r
d
¢ (2.19)

Donde J1 es la funci¶
on de Bessel de orden 1.
c.) Funci¶
on Gaussiana
Gauss
³r
d
´
= exp
·
¡¼
³r
d
´2
¸
(2.20)
Taller gr¶
a¯ca de funciones. b.) Encontrar el volumen de cada una de las funciones de¯nidas
en los literales anteriores.
c.) Gra¯car en detalle cada una de las funciones de¯nidas en literales anteriores.
2.2 ANALISIS ARMONICO
2.2.1 Ortogonalidad de funciones
En este item se presentan los conceptos fundamentales sobre los cuales se soporta la descomposici¶
on
de funciones.
2.2.2 Conceptos b¶
asicos
Dada la funci¶
on Ãn (t) la cual forma un completo conjunto ortogonal en el intervalo (t1; t2); casi
cualquier funci¶
on abitraria f (t) puede ser expandida en este intervalo de acuerdo a :
f (t) =
1
X
n=1
cnÃn (t) (2.21)
La condici¶
on de ortogonalidad permite calcular los coe¯cientes cn y adem¶
as se debe cumplir
que:
Z t2
t1
f2
(t) dt < 1 (2.22)
Donde f(t) es diferente de cero en el intervalo (t1 · t · t2).

2.2 ANALISIS ARMONICO 43
En el caso de tener una serie in¯nita; la funci¶
on debe ser aproximada por una funci¶
on truncada
la cual contiene solo un n¶
umero ¯nito de t¶
erminos y se deber¶
a buscar la mejor aproximaci¶
on, por
tanto se debe emplear el concepto de integral de error cuadr¶
atico medio:
Z t2
t1
[f(t) ¡ f0
(t)]
2
dt = minimo (2.23)
Donde f0
(t) es la versi¶
on truncada de f(t).
2.2.3 Funciones complejas
En el estudio de los sistemas lineales estas funciones son importantes:
Ãn (t) = exp (in2¼º0t) (2.24)
Con n = 0; §1; §2::::
Estas funciones forman la base de la expansi¶
on en series de Fourier son ortogonales sobre
cualquier intervalo igual a un n¶
umero entero de periodos del t¶
ermino de primer orden o Componente
fundamental esto es:
t1 ¡ t2 = k
μ
1
º0
¶
(2.25)
Con k = 1; 2; 3; :::::
2.2.4 Series de Fourier
Partimos de la expansi¶
on en serie de Fourier para llegar a la integral de Fourier
Consideremos expansi¶
on de funciones peri¶
odicas. La funci¶
on f(t) es peri¶
odica con el periodo
T = º¡1
0 Puede ser representada por una serie de Fourier si satisface las condiciones de Dirichlet.
En un intervalo in¯nito (t1 · t · t2) f(t) debe ser:
1. Monovaluada
2. Tiene un n¶
umero ¯nito de m¶
aximos y m¶
³nimos
3. No tiene discontinuidades
4. Es absolutamente integrable

2.2.5 An¶
alisis gr¶
a¯co
Dada la gr¶
a¯ca de la ¯g 2.5 expandir en serie de Fourier tanto analiticamente como gra¯camente.
Figura 2.5. Curva propuesta
Dada la funci¶
on rec t
T expandir en serie de Fourier tanto analiticamente como gra¯camente.
2.2.6 Aproximaci¶
on de polinomio a una se~
nal con forma de onda
En el presente laboratorio hipot¶
etico se pretende mostrar como se puede aproximar un polinomio
a una se~
nal.
El fundamento te¶
orico se encuentra soportado en la aproximaci¶
on que utiliza la forma general
de la serie de Taylor a una funci¶
on f (t) en la regi¶
on del punto t = a
2.2.7 Tarea
El polinomio
f1 (t) = a + bt + ct2
(2.26)
Se quiere aproximarlo a la funci¶
on:
f2 (t) = exp (t) (2.27)
En los instantes t = 0, t = 1 y t = 2. Encuentre los valores requeridos de a; b y c que realicen
la mejor aproximaci¶
on.

2.2 ANALISIS ARMONICO 45
Utilizaci¶
on del valor m¶
³nimo del error cuadr¶
atico medio en la aproximaci¶
on de una
funci¶
on f1 (t) a otra f2 (t). En el presente laboratorio hipot¶
etico se pretende mostrar como se
puede aproximar un polinomio a otro mediante la ayuda del valor m¶
³nimo del error cuadr¶
atico
medio.
La idea b¶
asica es comparar dos se~
nales sobre un intervalo de¯nido t1 < t < t2 es decir:
f2 (t) ¼ C12:f2 (t) (2.28)
Y por tanto se desea escoger C12 de tal forma que se logre la mejor aproximaci¶
on; para ello se
debe tener en cuenta la funci¶
on error:
fe (t) = f1 (t) ¡ C12:f2 (t) (2.29)
Tarea. La funci¶
on
f1 (t) = exp (t) ¡ 1 (2.30)
Puede ser aproximada a la funci¶
on rampa:
f2 (t) = At (2.31)
En el intervalo 0 < t < 1: Encuentre el valor de la constante A el cual d¶
a el m¶
³nimo valor del
error cuadr¶
atico medio entre las funciones f1 (t)) y f2 (t)).
Los llamados polinomios de Legendre forman un conjunto de funciones mutuamente ortogonales
en el intervalo ¡1 < t < 1 y son de¯nidos por la formula:
Pn (t) =
1
2nn!
dn
dtn
¡
t2
¡ 1
¢n
(2.32)

Probar que los dos polinomios de Legendre P0 (t) y P2 (t) Son ortogonales. Mostrar esta
situaci¶
on anal¶
³ticamente y gr¶
a¯camente.
2.3 LA SERIE DE FOURIER
2.3.1 Generalidades
El procedimiento es partir de la serie de Fourier para poder obtener la integral de Fourier; se
presume que los estudiantes est¶
an familiarizados con la serie de Fourier.
La serie de Fourier es una expansi¶
on dada por:
f (t) =
1
X
n=1
cnÃn (t) (2.33)
Es utilizada principalmente para representar funciones peri¶
odicas; sin embargo se podr¶
a utilizar
en el caso de funciones no peri¶
odicas; las funciones base de esta serie son:
Ãn (t) = exp (in2¼º0t) (2.34)
Con n = 0; §1; §2::::
O las funciones:
Ãn (t) = sin (2n¼º0t) (2.35)
y
Ãn (t) = cos (2n¼º0t) (2.36)
Considerando la expansi¶
on de funciones peri¶
odicas. Sea f (t) una funci¶
on peri¶
odica con periodo
T = º0
¡1
puede ser representada por una serie de Fourier si cumple con las condiciones de Dirichlet
en el intervalo ¯nito t1 · t · t2:
1) Es monovaluada
2) Tiene un n¶
umero ¯nito de m¶
aximos y m¶
³nimos

2.3 LA SERIE DE FOURIER 47
3) Tiene un n¶
umero ¯nito de discontinuidades
4) Es absolutamente integrable:
Z t2
t1
j f (®) j d® < 1 (2.37)
Si las condiciones anteriores son satisfechas entonces la serie de Fourier:
f (t) =
1
X
1
cn exp (in2¼º0t) (2.38)
Converge uniformemente a f (t); es importante puntulaizar que cualquier funci¶
on que represente
una variable f¶
³sica real debe satisafacer las condiciones de Dirichlet.
La serie de Fourier descompone la funci¶
on en una combinaci¶
on lineal de exponenciales complejas
con coe¯cientes aue deteriman el peso de la contribuci¶
on de cada una de ellas: Por tanto f (t) est¶
a
compuesta de un gran n¶
umero de componentes sinusoidales que tiene frecuencias relacionadas
arm¶
onicamente.
Los coe¯cientes se pueden calcular a parir de :
cn =
1
T
Z T+t
t
f (®) exp(¡in2¼º0®)
d® (2.39)
Donde la integraci¶
on es tomada sobre el peri¶
odo T = º0
¡1
para n su¯cientemente grande.
Considerese la serie de Fourier truncada. Si una funci¶
on f (t) es aproximada unicamente por
unos pocos t¶
erminos es de esperar que la reconstrucci¶
on no sea la m¶
as adecuada; se espera que entre
m¶
as t¶
erminos se utilicen la reconstrucci¶
on sea mejor sin embargo esto no es cierto en la vecindad
de una discontinuidad.
Veamos el caso de una funci¶
on de onda rectangular (ver ¯g 2.6):
Este comportamiento es conocido como el fen¶
omeno de Gibbs.
2.3.2 Funciones no peri¶
odicas
Ahora utilicemos la serie de Fourier para representar una funci¶
on no peri¶
odica (ver ¯g 2.7):
Considere la funci¶
on no peri¶
odica:

(Onda rectangular) (Onda rectangular reconstruida)
Figura 2.6. Onda rectangular y onda rectangular reconstruida
g (t) = tri
μ
t ¡ t0
b
¶
(2.40)
Para representar esta funci¶
on como una serie de Fourier se debe primero formar la funci¶
on
peri¶
odica g0
(t) con peri¶
odo T ¸ 2b
g (t) = g0
(t) rect
μ
t ¡ t0
T
¶
(2.41)
Se debe encontrar la serie de Fourier para g0
(t) unicamente en el intervalo t0 ¡ b · t · t0 + b
Fuera de este intervalo la serie representa a g0
(t) y no a g (t).
g0
(t) =
1
X
¡1
tri
μ
t ¡ t0 ¡ nT
b
¶
(2.42)
La serie de Fourier de g0
(t) es:
g0
(t) =
1
X
n=¡1
c0
n exp(in2¼º0t)
(2.43)
Donde T = º0
¡1
con los coe¯cientes dados por:
c0
n =
1
T
Z T+t
t
g0
(®) exp(¡in2¼º0®)
d® (2.44)
para obtener ¯nalmente:

Funci¶
on Triangulo Funci¶
on Triangulo como serie de Fourier
Figura 2.7. Funci¶
on aperi¶
odica
g (t) =
1
X
n=¡1
c0
n exp(in2¼º0t)
(2.45)
para el intervalo t0 ¡ b · t · t0 + b y:
g (t) = 0 (2.46)
para fuera de este intervalo.
2.3.3 La integral de Fourier
Generalidades. la integral de Fourier permite descomponer una funci¶
on en una combinaci¶
on lin-
eal de exponenciales complejos de la forma Ãn (t) = exp (in2¼º0t). si g (t) satisface las condiciones
de Dirichlet se puede por tanto escribir la integral:
g (t) =
Z 1
¡1
G (º)ei2¼ºt
dº (2.47)
Donde:
G (º) =
Z 1
¡1
g (®) e¡i2¼º®
d® (2.48)
Se nota la similaridad entre las dos integrales; a estas expresiones se les llama integrales de
Fourier, G (º) se llama transformada de Fourier de g (t) que es una representaci¶
on de dominio
temporal de alguna cantidad mientras que G (º) representa en el dominio frecuencial temporal y

por lo tanto es conocida como espectro de frecuencia temporal compleja o simplemente espectro de
frecuencias, se conoce a g (t) como la transformada de Fourier inversa de G (º)
Si ahora se representa una funci¶
on peri¶
odica por su serie de Fourier:
f (t) =
1
X
n=¡1
cne(in2¼º0t)
(2.49)
Donde º0 es la frecuencia fundamental de f (t); la transformada de Fourier de f (t) la cual se
designa por F (º) puede ser escrita como:
F (º) =
Z 1
¡1
Ã 1
X
n=¡1
cne(in2¼º0®)
!
e¡i2¼º®
d® (2.50)
Lo cual se puede reescribir como:
F (º) =
1
X
n=¡1
cn
μZ 1
¡1
e¡i2¼(º¡nº0)®
¶
d® (2.51)
Utilizando la ortogonalidad de los exponenciales complejos:
Z 1
¡1
e¡i2¼(º¡nº0)®
d® = ± (º ¡ nº0) (2.52)
Con lo cual se obtiene el resultado ¯nal:
F (º) =
1
X
n=¡1
cn± (º ¡ nº0) (2.53)
Por tanto la transformada de Fourier de una funci¶
on peri¶
odica consiste de un arreglo de fun-
ciones delta separados por intervalos frecuenciales iguales a la frecuencia fundamental º0 en otras
palabras funciones peri¶
odicas tienen espectros discretos algunas veces llamados espectros de linea.
en contraste los espectros de las funciones no peri¶
odicas son no discretos.
El espectro de frecuencias de una funci¶
on arbitraria f (t) es en general de valor complejo por
lo tanto es conveniente escribirlo en la forma:
F (º) = A (º) e¡i2Á(º)
(2.54)
Donde A (º) es conocido como la amplitud del espectro de F (º) y Á (º) es la fase del espectro

2.3.4 Espectro de algunas funciones simples
Funciones sinusoidales (ver ¯g 2.8 y 2.9).
f (t) = A cos (2¼º0t) (2.55)
primero se calculan los coe¯cientes y luego se encuentra el espectro F (º) con T = º0
¡1
cn =
1
T
Z T+t
t
A cos (2¼º0®) e(¡in2¼º0®)
d® (2.56)
Con ayuda de la formula de Euler:
cn =
1
T
Z T+t
t
A
2
³
e(i2¼º0®)
+ e(¡i2¼º0®)
´
(2.57)
e(¡in2¼º0®)
d®
Utilizando la ortogonalidad entre exponenciales complejos se obtiene:
cn =
( A
2 ; if n = §1
0; if n 6= §1
Funci¶
on coseno y Espectro de la Funci¶
on coseno Funci¶
on coseno desfasada
Figura 2.8. Funci¶
on coseno
F (º) =
1
X
n=¡1
cn± (º ¡ nº0) (2.58)
F (º) =
A
2
[± (º ¡ º0) + ± (º + º0)] (2.59)

F (º) =
A
2º0
±±
μ
º
º0
¶
(2.60)
se puede ver¯car este resultado en el sentido inverso:
Z 1
¡1
F (º) e(i2¼ºt)
dº (2.61)
Z 1
¡1
F (º) e(i2¼ºt)
dº =
A
2
³
e(i2¼º0t)
+ e(¡i2¼º0t)
´
(2.62)
Z 1
¡1
F (º) e(i2¼ºt)
dº = A cos (2¼º0t) (2.63)
2.3.5 Relaci¶
on entre una funci¶
on y su espectro de fase
Considerese la funci¶
on:
f (t) = A cos (2¼º0t ¡ μ0) = A cos 2¼º0 (t ¡ t0) (2.64)
Los coe¯cientes son:
cn =
( A
2 e¨μ0
; if n = §1
0; if n 6= §1
De tal forma que:
F (º) =
A
2º0
±±
μ
º
º0
¶
e¡i2¼ºt0
(2.65)
Se observa que la amplitud del espectro es la misma que para el caso de una funci¶
on no
desplazada, mientras que la fase del espectro es ahora dada por:
Á (º) = 2¼ºt0 =
μ0º
º0
(2.66)
on (ver ¯g 2.10):
f (t) = A0 + A1 cos (2¼º1t) + A2 cos (2¼º2t) (2.67)
+A3 cos (2¼º3t) + A4 cos (2¼º4t)

Frecuencias de una funci¶
on coseno y su espectro Espectro de la suma de funciones coseno
Figura 2.9. Funciones coseno y su espectro
Su espectro es:
F (º) = A0± (º) +
A1
2º1
±±
μ
º
º1
¶
(2.68)
+
A2
2º2
±±
μ
º
º2
¶
+
A3
2º3
±±
μ
º
º3
¶
+
A4
2º4
±±
μ
º
º4
¶
on:
Figura 2.10. Funci¶
on considerada
f (t) = rect
μ
2t
T
¶
¤ A
1
X
n=¡1
± (t ¡ nT) (2.69)
Por tanto se obtiene:

F (º) =
A
2
sinc
μ
º
2º0
¶ 1
X
n=¡1
± (º ¡ nº0) (2.70)
Finalmente:
F (º) =
A
2
1
X
n=¡1
sinc
³n
2
´
± (º ¡ nº0) (2.71)
Donde º0 es la frecuencia fundamental de f (t)
Tarea. Gra¯car la funci¶
on F (º) detalladamente.
2.3.6 Propiedades de la transformada de Fourier
Propiedad de linearidad. Sea f (x) una funci¶
on con transformada de Fourier F (») y sea h (x)
una funci¶
on con transformada de Fourier H (») entonces se tiene que:
F (A1f (x) + A2h (x)) = A1F (») + A2H (») (2.72)
La transformada de una suma de dos funciones es igual a la suma de sus trans-
formadas individuales.
La ordenada central. Teniendo en cuenta que:
F (») =
Z 1
¡1
f (®) e¡i2¼»®
d® (2.73)
Se evalua para el caso » = 0 entonces:
F (0) =
Z 1
¡1
f (®) d® (2.74)
Asi: el ¶
area de una funci¶
on es igual al orden central de su transformada de
Fourier; es f¶
acil probar que:
f (0) =
Z 1
¡1
F (¯) d¯ (2.75)

Propiedad de escalamiento. Sea f (x) una funci¶
on con transformada de Fourier F (») y sea b
una constante real y diferente de cero entonces:
F
n
f
³x
b
´o
=j b j F (b») (2.76)
Por tanto Una compresi¶
on de coordenadas en una representaci¶
on corresponde a
una dilataci¶
on en la representaci¶
on inversa; un resultado interesante es cuando b = ¡1:
F ff (¡x)g = F (¡») (2.77)
Propiedad de desplazamiento. Sea f (x) una funci¶
on con transformada de Fourier F (») y sea
x0 una constante real entonces:
F ff (x ¡ x0)g = e¡i2¼»x0
F (») (2.78)
As¶
³: La transformada de Fourier de una funci¶
on desplazada es simplemente la
transformada de la funci¶
on no desplazada por un factor exponencial teniendo fase
lineal en el caso que F (») = A (») e¡i©(»)
F ff (x ¡ x0)g = A (») e¡i(©(»)+2¼»x0)
(2.79)
Transformada de una conjugada. Sea f (x) una funci¶
on con transformada de Fourier F (») la
transformada de Fourier de f¤
(x) es:
F ff¤
(x)g = F¤
(¡») (2.80)
Transformada de una Transformada. Sea f (x) una funci¶
on con transformada de Fourier F (»)
la transformada de Fourier de F (x) es:
F fF (x)g = f (¡») (2.81)
La transformada de Fourier de una transformada de Fourier es simplemente la
funci¶
on

Transformada de una Convoluci¶
on. Sea g (x) = f (x) ¤ h (x), g (x) una funci¶
on con transfor-
mada de Fourier G (»), f (x) una funci¶
on con transformada de Fourier F (») y h (x) una funci¶
on
con transformada de Fourier H (») entonces:
G (») = F ff (x) ¤ h (x)g = F (») H (») (2.82)
La transformada de Fourier de una convoluci¶
on es simplemente el producto de
las transformadas de las funciones individuales
Transformada de un producto.
F ff (x) h (x)g = F (») ¤ H (») (2.83)
Transformada de una derivada.
F
©
fk
(x)
ª
= (i2¼»)
k
F (») (2.84)
Tambi¶
en se obtiene que:
F
n
(¡i2¼x)
k
f (x)
o
= Fk
(») (2.85)
Transformada de una integral.
F
½Z x
¡1
(®) d®
¾
=
1
i2¼»
F (») +
F (0)
2
± (») (2.86)

2.3.7 Pares de transformadas de Fourier elementales
FUNCION TRANSFORMADA
1 ± (»)
± (x) 1
± (x § x0) e§i2¼x0»
e§i2¼x»0
± (» § »0)
cos (2¼»0x) 1
2j»0j ±±
³
»
»0
´
sin (2¼»0x) i
2j»0j ±±
³
»
»0
´
1
2jx0j ±±
³
x
x0
´
cos (2¼»x0)
i
2jx0j ±±
³
x
x0
´
¡ sin (2¼»x0)
rect (x) sinc (»)
sinc (x) rect (»)
tri (x) sinc2
(»)
sinc2
(x) tri (»)
sgn (x) 1
i¼»
1
i¼x ¡sgn (»)
step (x) 1
2 ± (») + 1
i2¼»
ramp (x) 1
4¼2
³
i¼±(1)
(») ¡ 1
»2
´
e¡jxj 2
1+(2¼»)2
comb (x) comb (»)
Gaus (x) Gaus (»)

Pulso rectangular (ver ¯g 2.11). Sea la funci¶
on:
g (t) = Arect
Ã
t
T
2
!
(2.87)
Su espectro es:
G (º) =
Z 1
¡1
g (®) e¡i2¼º®
d® (2.88)
G (º) = A
Z T
4
¡ T
4
e¡i2¼º®
d® (2.89)
G (º) =
A
¡i2¼º
h
e¡i¼º T
2 ¡ ei¼º T
2
i
(2.90)
G (º) =
AT
2
sinc
μ
º
T
2
¶
(2.91)
Si ahora se considera la funci¶
on:
g (t ¡ t0) = Arect
Ã
t ¡ t0
T
2
!
(2.92)
Aplicando la propiedad de desplazamiento, el espectro es:
F fg (t ¡ t0)g = e¡i2¼ºt0
F (º) (2.93)
Reemplazando:
F
(
Arect
Ã
t ¡ t0
T
2
!)
= e¡i2¼ºt0
AT
2
sinc
μ
º
T
2
¶
(2.94)
El espectro ahora tiene la misma amplitud pero ha sido modi¯cado por un factor de fase.

2.4 OPERADORES MATEMATICOS Y SISTEMAS FISICOS 59
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.11. Pulso rectangular y espectro (a)No desplazado (b)espectro;(c)desplazado;(d)fase.
2.4 OPERADORES MATEMATICOS Y SISTEMAS FISICOS
2.4.1 Introducci¶
on
Un sistema f¶
³sico es considerado como un dispositivo que muestra algun tipo de respuesta cuando
un estimulo es aplicado. Este estimulo es frecuentemente llamado la entrada del sistema mientras
que la respuesta es conocida como la salida del sistema.
2.4.2 Representaci¶
on de sistemas por operadores matem¶
aticos
Se debe encontrar un modelo matem¶
atico que sirva para describir un sistema f¶
³sico; es decir el
modelamiento de sistemas es frecuentemenete discutido en t¶
erminos de los operadores matem¶
aticos.
Considerese el conjunto de funciones ff1 (x) ; f2 (x) ; :::::::::fn (x)g de acuerdo a una regla que
se puede especi¯car se le asigna a todos los elementos de ese primer conjunto los elementos de
un segundo conjunto de funciones fg1 (x) ; g2 (x) ; :::::::::gn (x)g. Denotando el operador H se puede
establecer la regla entre los elementos de los dos conjuntos de funciones:

H ffi (x)g = gi (x) (2.95)
Para i = 1; 2; 3; :::::n y se puede decir que el priemr conjunto de funciones transformado en el
segundo conjunto de funciones por medio del operador H. La regla que gobierna la transformaci¶
on
puede ser una ecuaci¶
on diferencial, una ecuaci¶
on integral, una gr¶
a¯ca o una tabla de datos, etc.
Este estudio se centrar¶
a en los sistemas para los cuales una entrada produce una ¶
unica salida.
2.4.3 Tipos de sistemas importantes
Solo se estudiaran los sitemas m¶
as relevantes en el campo del tratamiento de se~
nales.
Sistemas lineales. Considerese un sitema caracterizado por el operador H tal que se cumple que:
H ff1 (x)g = g1 (x) (2.96)
H ff2 (x)g = g2 (x) (2.97)
Luego para dos constantes complejas arbitrarias a1 y a2 el sistema se dice que es lineal si se
cumple:
H fa1f1 (x) + a2f2 (x)g = a1g1 (x) + a2g2 (x) (2.98)
Lo cual no es otra cosa que el principio de superposici¶
on (ver ¯g 2.12)
Sistemas invarantes a desplazamiento. Tambi¶
en se les llama ¯jo, estacionario, invariante (ver
¯g 2.13) en el tiempo, invariante espacial o isoplanatico si a un cambio en la posici¶
on de entrada
solo se produce un desplazamiento igual en la salida; es decir si se cumple:
H ff (x)g = g (x) (2.99)
Entonces:
H ff (x ¡ x0)g = g (x ¡ x0) (2.100)

(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 2.12. Principio de superposici¶
on aplicado a los sitemas lineales
Donde x0 es una constante real as¶
³ la magnitud y la forma de la salida no son cambiadas si se
desplaza la entrada en el factor x0.
A los sistemas lineales e invariantes a desplazamiento se les conoce como LSI y se denotan
generalmente por el operador L de tal manera que combinando la dos propiedades se tiene que:
L fa1f1 (x ¡ x1) + a2f2 (x ¡ x2)g = (2.101)
a1g1 (x ¡ x1) + a2g2 (x ¡ x2)
Donde x1 y x2 son constantes reales
Sistemas causales. Se considera que un sistema es causal si el valor de la salida a cualquier
punto no depende de valores futuros de la entrada. Consideremos un sistema para el cual la
entrada y la salida son funciones temporales, puede ser el caso de un circuito RC si se escoge como
voltaje de entrada una funci¶
on delta no desplazada temporalmente. Asumiendo que no existen

(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.13. Relaci¶
on de entrada y salida de un sistema lineal invariante a desplazamiento
entradas previas de voltaje y la energ¶
³a est¶
a almacenada en el condensador, el voltaje de salida se
determinar¶
a de acuerdo con la ¯gura 2.14 donde se observa que al aplicar el voltaje de entrada; el
voltaje de salida toma abruptamente el valor de
¡ A
RC
¢
y posteriormente decae hacia cero a medida
que transcurre el tiempo. De tal forma que a que en cualquier instante, el valor de la salida es
completamente determinado por valores pasados de la entrad y no depende del comportamiento
futuro de la entrada. Es decir el sistema no puede responder a est¶
³mulos despu¶
es que la se~
nal de
entrada ha sido aplicada.
Figura 2.14. Relaciones de entrada y salida para sistemas causales
Si se considera en contraste el sistema mostrado en la ¯gura 2.15 asumiendo que la rendija es
localizada en el punto x = 0, y es su¯cientemente angosta para ser considerada una fuente lineal es
decir una funci¶
on delta en una dimensi¶
on, la salida tiene un comportamiento similar al observado
en la ¯gura 2.15, de esta ¯gura se puede ver que la salida no es cero ¶
unicamente en el origen y

que in°uencia la salida para ambos valores positivos uy negativos de x, lo cual quiere decir que el
sistema describe un comportamiento antes que el estimulo de entrada sea aplicado, sin embargo
el misterio desaparece cuando se entiende que el t¶
ermino antes es impropiamente utilizado aqu¶
³.
Estrechamente asociado con el concepto de causalidad es la consideraci¶
on de condiciones iniciales
es decir las consideraciones de almacenamiento de energ¶
³a dentro de un sistema cuando la entrada
es aplicada.
Figura 2.15. Relaciones de entrada y salida para sistemas no causales
Sistemas con memoria. Un sistema se dice que tiene memoria; si en lugar de ser una funci¶
on
de la entrada, la salida es un funcional de la entrada, tales sistemas tambi¶
en son llamados sistemas
din¶
amicos. o instant¶
aneos o de memoria cero, en ese caso la salida es una funci¶
on de la entrada.
Vamos a considerar ejemplos de cada clase de sistemas. Para un sistema con memoria, la salida
esta relacionada con la entrada por la expresi¶
on operacional:
g (x) = S ff(x)g (2.102)
El valor en cualquier punto x = x1 es dependiente de los valores de f (x) sobre un ancho
de rango de x. La operaci¶
on denotada por S fg debe ser primero realizada y luego el resultado
evaluado en el punto x = x1
g (x1) = S ff(x)g jx=x1
(2.103)
Suponga por ejemplo que S fg = d
dx y f (x) la salida estar¶
a dada por:
g (x) = ¡2¼xe¡¼x2
(2.104)

Y en el punto x = x1:
g (x1) = ¡2¼x1e¡¼x1
2
(2.105)
Obviamente, se encontrar¶
a un resultado incorrecto, si primero se sustituye x1 en f (x) y luego
se toma la derivada de f (x1). de otro manera la salida de un sistema sin memoria puede ser escrita
como:
g (x) = u [f (x) ; x] (2.106)
Donde u [] denota una funci¶
on. La salida de este sistema en el punto x = x1 depende ¶
unicamente
del valor de la entrada en ese punto y posiblemente del mismo x1 pero no recuerda el compor-
tamiento de la entrad y desconoce el futuro esto es:
g (x1) = u [f (x1) ; x1] (2.107)
Para demostrar esta situaci¶
on; consid¶
erese la funci¶
on:
u [f (x) ; x] = a (x) f (x) (2.108)
Donde a es cualquier funci¶
on arbitraria, la salida es por consiguiente:
g (x) = a (x) f (x) (2.109)
Y en el punto x = x1 toma el valor:
g (x1) = a (x1) f (x1) (2.110)
Del an¶
alisis anterior se observa que un sistema sin memoria mapea el valor de la entrada en un
punto singular en el valor de la salida en ese punto, mientras un sistema con memoria mapea el
valor de la entrada a varios puntos en el valor de la salida de un punto singular; esta es la diferencia
b¶
asica entre una funci¶
on y un funcional.

2.5 RESPUESTA IMPULSIONAL 65
2.5 RESPUESTA IMPULSIONAL
Cuando la entrada a un sistema es una simple funci¶
on delta, la salida es llamada la respuesta
impulsional del sistema (tambi¶
en conocida como funci¶
on de Green). Para un sistema general la
respuesta impulsional depende el punto al cual la funci¶
on delta es aplicada; es decir para un
impulso localizado en x = x0 la respuesta impulsional es denotada por h (x; x0), en otras palabras
si el sistema est¶
a caracterizado por:
S ff (x)g = g (x) (2.111)
Se representa la salida por g (x) = h (x; x0) cuando f (x) = ± (x ¡ x0) =. Por tanto:
S f± (x ¡ x0)g = h (x; x0) (2.112)
Si ahora se considera un sistema LSI caracterizado por el operador L fg se nota que para una
entrada impulsiva aplicada en el origen; la salida es:
L f± (x)g = h (x; 0) (2.113)
Mientras que para el caso x = x0 la salida es descrita por:
L f± (x ¡ x0)g = h (x; x0) (2.114)
Debido a que el sistema es invariante a desplazamiento, la segunda respuesta debe ser id¶
entica
a la primera, excepto que es desplazada por una cantidad x0 a lo largo del eje x; por consiguiente:
L f± (x ¡ x0)g = h (x ¡ x0; 0) (2.115)
De donde se obtiene que:
h (x; x0) = h (x ¡ x0; 0) (2.116)
Es aparente de esta expresi¶
on que la respuesta impulsional de un sistema invariante a desplaza-
miento depende ¶
unicamente de la separaci¶
on del punto de observaci¶
on x y del punto x0 al cual la

entrada es aplicada, y no del valor de ambos. Cambiando la notaci¶
on para la respuesta impulsional
de tal sistema a una forma mas concisa se encuentra que:
L f± (x ¡ x0)g = h (x ¡ x0) (2.117)
Como resultado importante, cuando la entrada es aplicada en el origen, la respuesta impulsional
se reduce a:
L f± (x)g = h (x) (2.118)
Por tanto los sistemas LSI son totalmente caracterizados por su respuesta impulsional. Esta
es una propiedad muy importante de estos sistemas, y es de gran aplicaci¶
on. Las ¯guras 2.14 y
2.15 muestran algunas respuestas impulsionales t¶
³picas. Es importante anotar que la respuesta
impulsional de un sistema LSI cuando a la entrada se tiene una funci¶
on delta; no es otra funci¶
on
delta.
2.6 EXPONENCIALES COMPLEJOS, FUNCIONES PROPIAS DE
LOS SISTEMAS LSI
Cuando la entrada a un sistema est¶
a descrita por una funci¶
on propia del sistema, la salida es
simplemente el producto de la entrada y una constante compleja de proporcionalidad. Para expresar
esta situaci¶
on matem¶
aticamente, sea Ã (x; »0) la funci¶
on propia del sistema LSI L fg, donde »0 es
una constante real arbitraria. Luego, si Ã (x; »0) es la entrada del sistema la salida esta dad por:
L fÃ (x; »0)g = H (»0) Ã (x; »0) (2.119)
La constante de proporcionalidad de valor complejo H (»0) es llamada el valor propio asociado
con la funci¶
on propia Ã (x; »0), y depende del valor de la constante »0. Si se escribe:
H (»0) = A (»0) e¡iÁ(»0)
(2.120)
Donde A (»0) describe la atenuaci¶
on o ganancia de H (»0), y Á (»0) es la fase por consiguiente
se puede escribir:

2.6 EXPONENCIALES COMPLEJOS, FUNCIONES PROPIAS DE LOS SISTEMAS LSI 67
L fÃ (x; »0)g = A (»0) e¡iÁ(»0)
Ã (x; »0) (2.121)
Lo cual conduce a una conclusi¶
on extremadamente importante: Cuando pasa a trav¶
es del sis-
tema una funci¶
on propia, esta puede ser atenuada o ampli¯cada y su fase puede ser desplazada;
pero la entrada permanece invariante en forma. El exponencial complejo ei2¼»0x
es una funci¶
on
propia de cualquier sistema LSI, con ei2¼»0x
de entrada a este tipo de sistema; la salida debe ser
escrita como:
L
©
ei2¼»0x
ª
= g (x; »0) (2.122)
Sup¶
ongase que una versi¶
on desplazada de este exponencial es aplica al sistema; la entrada ahora
es ei2¼»0(x¡x0)
donde x0 es tambi¶
en una constante real. Luego por la propiedad de linealidad:
L
n
ei2¼»0(x¡x0)
o
= L
©
ei2¼»0x
e¡i2¼»0x0
ª
= (2.123)
L
n
ei2¼»0(x¡x0)
o
= e¡i2¼»0x0
L
©
ei2¼»0x
ª
(2.124)
L
n
ei2¼»0(x¡x0)
o
= e¡i2¼»0x0
g (x; »0) (2.125)
Aplicando la invarianza a desplazamiento:
L
n
ei2¼»0(x¡x0)
o
= g (x ¡ x0; »0) (2.126)
Recombinanado las ecuaciones se obtiene:
g (x ¡ x0; »0) = e¡i2¼»0(x0)
g (x; »0) (2.127)
De esta forma de relaci¶
on puede ser visto que g (x; »0) debe ser de la forma:
g (x; »0) = H (»0) ei2¼»0x
(2.128)

Donde H (»0) representa una constante de valor complejo; luego:
L
©
ei2¼»0x
ª
= H (»0) ei2¼»0x
(2.129)
Se encuentra que el exponencial complejo ei2¼»0x
corresponde a una funci¶
on propia de un
sistema LSI. Con H (»0) el valor propio asociado; es interesante ver que el valor de H (»0) puede
ser encontrado reemplazando x = 0 en la ecuaci¶
on 2.128, esto es:
H (»0) = g (0; »0) (2.130)
Este resultado pone en evidencia que H (»0) tiene un valor igual que el de la salida en el origen,
si se asume una entrada de la forma ei2¼»0x
.
En el an¶
alisis anterior obviamente el valor propio H (»0) es una funci¶
on de »0, la frecuencia de
la funci¶
on propia de entrada, pero el valor de »0 es completamente arbitrario; denotado de esta
manera H (»0) es frecuentemente llamado la funci¶
on de transferencia (respuesta frecuencial) del
sistema y se demostrar¶
a que corresponde a la transformada de Fourier de la respuesta impulsional
h (x); la cual describe la atenuaci¶
on y la fase experimentada por una funci¶
on propia exponencial
que pasa a trav¶
es del sistema y es una funci¶
on de la frecuencia de esta funci¶
on propia.
Se ha visto que sucede cuando la entrada a cualquier sistema LSI es un exponencial complejo
de la forma ei2¼»0x
; si ahora se considera un sistema especial LSI, el cual tiene una respuesta
impulsiva de valor real; tal sistema transforma una entrada de valor real y es por tanto la clase
de sistema mas com¶
unmente encontrado en la pr¶
actica. La funci¶
on de transferencia H (»0) de esta
clase de sistema es Herm¶
³tica, es decir la parte real de H (»0) es par y la parte imaginaria es impar,
propiedad que puede ser expresada como:
H (»0) = H¤
(¡»0) (2.131)
En realidad hasta ahora se conoce que clase de salida tendr¶
a el sistema cuando la entrada es
ei2¼»0x
; ahora se debe encontrar lo que sucede con la salida cuando la entrada es una funci¶
on coseno
o seno; es decir para una entrada de la forma cos (2¼»0x) la salida es:

2.6 EXPONENCIALES COMPLEJOS, FUNCIONES PROPIAS DE LOS SISTEMAS LSI 69
L fcos (2¼»0x)g = L
½
1
2
£
ei2¼»0x
+ e¡i2¼»0x
¤
¾
(2.132)
L fcos (2¼»0x)g =
1
2
L
©
ei2¼»0x
ª
+
1
2
L
n
ei2¼(¡»0)x
o
(2.133)
L fcos (2¼»0x)g =
1
2
H (»0)ei2¼»0x
+
1
2
H (¡»0)ei2¼»0x
(2.134)
Si se tiene en cuenta la propiedad H (»0) = H¤
(¡»0):
L fcos (2¼»0x)g =
1
2
£
H (»0)ei2¼»0x
¤
+
1
2
£
H (»0)ei2¼»0x
¤¤
(2.135)
Lo que conduce a :
L fcos (2¼»0x)g = Re
©
H (»0)ei2¼»0x
ª
(2.136)
Si se tiene en cuenta que H (»0) = A (»0) e¡i©(»0)
:
L fcos (2¼»0x)g = A (»0) cos [2¼»0x ¡ ©(»0)] (2.137)
Y puede ser visto que para esta clase sistemas especiales LSI una entrada coseno produce una
salida coseno, posiblemente atenuada y desplazada, donde se cumple que:
L
©
Re
©
ei2¼»0x
ªª
= Re
©
L
©
ei2¼»0x
ªª
(2.138)
Este resultado se muestra en la ¯gura 2.16.

Figura 2.16. Efectos de la funci¶
on de transferencia sobre la amplitud y la fase de se~
nales
cosenoidales
Por ahora se debe empezar a comprender las razones para la discusi¶
on de los t¶
opicos de la
descomposici¶
on de Fourier, superposici¶
on, funciones propias, etc. Para destacar la importancia de
esta comprensi¶
on, considere el problema de encontrar la salida de un sistema LSI para una se~
nal
de entrada arbitraria, se muestra aparentemente que se puede descomponer esta se~
nal de entrada
en sus componentes de Fourier las cuales son exponenciales complejos de la forma ei2¼»x
, pero se
conoce e que estos exponenciales son funciones propias de los sistemas LSI; por tanto si es conocida
la funci¶
on de transferencia del sistema se puede determinar cuantas de esas componentes de Fourier
son atenuadas y desplazadas en fase al pasar a trav¶
es del sistema. Luego aplicando el principio
de superposici¶
on la respuesta total puede ser encontrada adicionando todas estas componentes
atenuadas y desplazadas en fase, este hecho justi¯ca el estudio de este t¶
opico para el desarrollo de
sistemas ¶
opticos.

2.7 CONVOLUCION MATEMATICA 71
2.7 CONVOLUCION MATEMATICA
2.7.1 De¯nici¶
on de la operaci¶
on convoluci¶
on
Formulismo matem¶
atico. La convolucion de dos funciones de valores reales f (x) y h (x), para
las cuales se utiliza la notaci¶
on f (x) ¤ h (x) es de¯nida por la integral:
f (x) ¤ h (x) =
Z 1
¡1
f(®) h(x ¡ ®)d® (2.139)
Esta integral es claramente una funci¶
on de la variable independiente x, y por tanto se puede
representar por una tercera funci¶
on:
f (x) ¤ h (x) = g (x) (2.140)
La operaci¶
on convoluci¶
on puede ser vista simplemente como el proceso de encontrar el ¶
area
del producto de f (®) y h (x ¡ ®). El prop¶
osito de este taller es aprender a realizar la operaci¶
on
convoluci¶
on gr¶
a¯ca y matem¶
aticamente.
Funciones utilizadas para la operaci¶
on convoluci¶
on. Considere las siguientes funciones (ver
¯g 2.17) para la realizaci¶
on del taller:
Figura 2.17. Funciones a convolucionar f (x) y h (x)
Procedimiento gr¶
a¯co para la convoluci¶
on. a.) Gra¯car las funciones con la variable ® en el
eje horizontal
b.) Gra¯car la funci¶
on h (¡®) la cual es simplemente una im¶
agen de espejo de la funci¶
on h (®)
c.) El producto f (®) h (x ¡ ®) = f (®) h (¡®) es encontrado y gra¯cado.

d.) El ¶
area de este producto es calculado y corresponde al sobrelapamiento de las dos ¶
areas de las
funciones a convolucionar, para el caso x = 0 es :
Z 1
¡1
f(®) h(¡®)d® = g (0) (2.141)
e.) Se retoma el paso b.) y un nuevo valor para x = 1; se realiza todo el procedimiento anterior.
f.) La operaci¶
on ¯naliza cuando ya no exista sobrelapamiento entre las gr¶
a¯cas de las dos funciones.
g.) Luego se realiza una gr¶
a¯ca de g (x) contra x
Convoluci¶
on por integraci¶
on directa.
f (x) ¤ h (x) =
Z 1
¡1
f(®) h(x ¡ ®)d® (2.142)
El principal problema se presenta en la de¯nici¶
on de los limites de integraci¶
on. Para un mejor
entendimiento se ha dividido el problema en los siguientes intervalos de integraci¶
on:
a.) x · ¡1 El producto f (®) h (x ¡ ®) es igual a cero en este intervalo. ; por tanto g (x) = 0
b.)¡1 < x · 2 en este intervalo se tiene que:
g (x) = f (x) ¤ h (x) =
Z 1
¡1
f(®) h(x ¡ ®)d® (2.143)
g (x) = f (x) ¤ h (x) =
Z 3
0
2
3
®h(x ¡ ®)d® =
2
3
Z x+1
0
®d® =
(x + 1)
2
3
(2.144)
c.) 2 < x · 3 el limite de integraci¶
on superior es constante y por tanto:
g (x) =
2
3
Z 3
0
®d® = 3 (2.145)
d.) 3 < x · 6 La integral toma la forma:
g (x) =
2
3
Z 3
x¡3
®d® = 3 ¡
(x ¡ 3)
2
3
(2.146)
e.) x > 6 El producto f (®) h (x ¡ ®) = 0 , en todo el intervalo; por tanto g (x) = 0
f.) Finalmente se de¯ne explicitamente la funci¶
on g (x)

2.10 PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION 73
2.8 CONVOLUCION DE VARIAS FUNCIONES
f (x) = v (x) ¤ w (x) =
Z 1
¡1
v(¯) w(x ¡ ¯)d¯ (2.147)
La Convoluci¶
on de f (x) ¤ h (x) ser¶
a:
g (x) = [v (x) ¤ w (x)] ¤ h (x) =
·Z 1
¡1
v(¯) w(x ¡ ¯)d¯
¸
h (x) =
Z 1
¡1
·Z 1
¡1
v(¯) w(x ¡ ¯)d¯
¸
h (x ¡ ®) d® (2.148)
2.9 CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA CONVOLUCION
Si f (x) y h (x) son monovaluadas se debe cumplir una de las siguientes condiciones:
1. Si f (x) y h (x) son absolutamente integrables sobre el intervalo semi-in¯nito (¡1; 0).
2. Si f (x) y h (x) son absolutamente integrables sobre el intervalo semi-in¯nito (0; 1).
3. Si f (x) o h (x), o ambas son absolutamente integrables sobre el intervalo in¯nito (¡1; 1).
Ejemplos:
EXISTE LA CONVOLUCI¶
oN NO EXISTE LA CONVOLUCI¶
oN
step (x) ¤ step (x) step (x) ¤ step (¡x)
1 ¤ rect (x) 1 ¤ step (x)
tri (x) ¤ sgn (x) ramp (x) ¤ sgn (x)
rect (x) ¤ cos (2¼»0x) cos (2¼»0x) ¤ cos (2¼»0x)
2.10 PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION
1. CONMUTATIVA:
g (x) = f (x) ¤ h (x) = h (x) ¤ f (x) (2.149)
2. DISTRIBUTIVA:
[av (x) ¤ bw (x)] ¤ h (x) = a [v (x) ¤ h (x)] + b [w (x) ¤ h (x)] (2.150)

3. INVARIANZA A DESPLAZAMIENTO:
g (x ¡ x0) = f (x ¡ x0) ¤ h (x) (2.151)
g (x ¡ x0) = f (x) ¤ h (x ¡ x0) (2.152)
4. ASOCIATIVA:
[v (x) ¤ w (x)] ¤ h (x) = v (x) ¤ w (x) ¤ h (x) = v (x) ¤ h (x) ¤ w (x) = h (x) ¤ v (x) ¤ w (x) =
(2.153)
5. EN FUNCIONES DELTA:
Z 1
¡1
f(®) ±(® ¡ x)d® =
Z 1
¡1
f(®) ±(x ¡ ®)d® = f (x) (2.154)
f (x) ¤ ±(x ¡ ®) = f (x) (2.155)
2.11 CONVOLUCION Y SISTEMAS LSI
Sea un sistema LSI caracterizado por su operador L fg teniendo una respuesta impulsional h (x).
Para una entrada f (x) la salida es dada por:
g (x) = L ff (x)g (2.156)
Se ha probado que:
Z 1
¡1
f(®) ±(x ¡ ®)d® = f (x) (2.157)
Por consiguiente:
g (x) = L
½Z 1
¡1
f(®) ±(x ¡ ®)d®
¾
(2.158)
Utilizando la propiedad de linealidad del sistema LSI:

2.12 EJERCICIOS RESUELTOS 75
g (x) =
Z 1
¡1
f(®) d®L f±(x ¡ ®)g (2.159)
Pero L f±(x ¡ ®)g es la respuesta impulsional del sistema. Finalmente se demuestra que:
g (x) =
Z 1
¡1
f(®) h(x ¡ ®)d® (2.160)
Por tanto la salida de un sistema LSI es dada por la Convoluci¶
on de la entrada con la respuesta
impulsional del sistema.
2.12 EJERCICIOS RESUELTOS
2.12.1 Transformaci¶
on de una se~
nal de entrada en una se~
nal de salida
Para visualizar esta situaci¶
on se ha escogido como ejemplo un sistema que tiene como respuesta
impulsional idealizada la mostrada en la ¯gura 2.18 y para la cual la entrada es una se~
nal variando
temporalmente consistiendo de cuatro funciones delta.
f (t) = ± (t + 2) + ± (t ¡ 1) + ± (t ¡ 3) + ± (t ¡ 6) (2.161)
La cual tambi¶
en es mostrada en la ¯gura 2.18; por tanto la salida es dada por:
Figura 2.18. Sistemas LSI

g (t) = f (t) ¤h (t) (2.162)
g (t) = [± (t + 2) + ± (t ¡ 1) + ± (t ¡ 3) + ± (t ¡ 6)] ¤h (t) (2.163)
g (t) = h (t + 2) + h (t ¡ 1) + h (t ¡ 3) + h (t ¡ 6) (2.164)
Es aparente que cada t¶
ermino de esta expresi¶
on representa la respuesta a una componente de
funci¶
on delta individual, mientras que la suma de los t¶
erminos representa la respuesta a la entrada
total. Ambas las repuestas individuales y la respuesta total son mostradas en la ¯gura 2.19, note
que la respuesta total tiene esmoteado y es m¶
as ancha que la se~
nal de entrada f (t).
En la discusi¶
on precedente se toma el punto de vista de que cada parte de la entrada produce
una versi¶
on pesada y desplazada de h (t) la suma de lo cual produce la salida g (t); Ahora se busca
un segundo pero equivalente punto de vista. Cuando un sistema tiene una respuesta impulsional
similar al que se muestra en la ¯gura 2.18 aparecer¶
a un rizado abrupto en los m¶
aximos el cual
decaer¶
a a cero, debe ser claro que la m¶
as reciente porci¶
on de ocurrencia de la entrada tendr¶
a la
m¶
as grande in°uencia sobre el valor de la salida y cualquier tiempo de observaci¶
on particular. De
otro lado puede ser confuso como una operaci¶
on convoluci¶
on puede producir este comportamiento.
Figura 2.19. Salida del sistema. a. Respuesta a salida deltas individuales. b. Respuesta total
Para entender esto considere la salida:
g (t) =
Z 1
¡1
f(¿) h (t ¡ ¿) d¿ (2.165)

Lo cual muestra que la salida tiene un valor igual al ¶
area bajo el producto de f(¿) h (t ¡ ¿).
As¶
³ la funci¶
on es una versi¶
on re°ejada y desfasada de la respuesta impulsional y se ve que juega el
papel de factor de peso dependiente del tiempo, el efecto de, lo cual es pesar cada parte de la se~
nal
de entrada de acuerdo al intervalo entre el tiempo de ocurrencia y el tiempo en el cual la medici¶
on
es hecha.
2.12.2 Correlaci¶
on cruzada y autocorrelaci¶
on
Dadas dos funciones de valor complejo f (x) y g (x) se de¯ne la correlaci¶
on cruzada de f (x) con
g (x) como:
f (x) ?g (x) =
Z 1
¡1
f(®) g (® ¡ x)d® (2.166)
Esta operaci¶
on es similar a la convoluci¶
on, pero existe una diferencia importante, la funci¶
on
g (x) no es vista como en el caso de la convoluci¶
on; si se hace el cambio de variable ¯ = ® ¡ x la
ecuaci¶
on anterior se convierte en:
f (x) ?g (x) =
Z 1
¡1
f(¯ + x) g (¯)d¯ (2.167)
Lo cual permite la conclusi¶
on de que en general:
f (x) ?g (x) 6=f (x) ?g (x) (2.168)
As¶
³; a diferencia del caso de la convoluci¶
on la operaci¶
on correlaci¶
on cruzada no es conmutativa,
sin embargo puede ser expresada en t¶
erminos de la convoluci¶
on como:
Z 1
¡1
f(®) g (® ¡ x)d® =
Z 1
¡1
f(®) g
μ
x ¡ ®
¡1
¶
d® = f (x) ¤g
μ
x
¡1
¶
= f (x) ¤g (¡x) (2.169)
Luego se muestra que:
f (x) ?g (x) = f (x) ¤g (¡x) (2.170)
Las condiciones para la existencia de esta operaci¶
on son las mismas que para la convoluci¶
on. Pero
ellas pueden ser ahora aplicadas directamente. Si f (x) = g (x) entonces se de¯ne esta operaci¶
on
como la operaci¶
on autocorrelaci¶
on.

2.12.3 Represetanci¶
on matem¶
atica de un objeto bidimensional
A. Encuentre expl¶
³citamente la ecuaci¶
on matem¶
atica que describe la geometr¶
³a del objeto que se
encuentra en el plano UA (x; y) de la ¯gura 2.20, la cual consiste de una cuadricula de lado l que
ocupa todo el plano.
De la gr¶
a¯ca se observa que el ancho de cada cuadricula de la ¯gura de difracci¶
on tiene dimen-
siones l por tanto la soluci¶
on en el eje de las X se obtiene como una convoluci¶
on de (ver ¯gura
2.21) :
rect
Ã
x
l
2
!
(2.171)
Con una peinilla de Dirac de la forma:
comb (x) =
1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl) (2.172)
Figura 2.20. Objeto propuesto
rect
Ã
x
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl) (2.173)
Situaci¶
on an¶
aloga para el caso del eje Y
rect
Ã
y
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (y ¡ 2nl) (2.174)

La expresi¶
on buscada es por consiguiente:
UA (x; y) =
"
rect
Ã
x
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl)
#
"
rect
Ã
y
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (y ¡ 2nl)
#
(2.175)
Figura 2.21. Descomposici¶
on del objeto propuesto
B. Demuestre matem¶
aticamente la siguiente propiedad (f (x), es una funci¶
on arbitraria).
f (x)
·
comb
μ
x ¡ x0
b
¶¸
= j b j
1
X
n=¡1
f (xo + nb) ± (x ¡ xo ¡ nb) (2.176)
De las propiedades de la funci¶
on peinilla de Dirac se tiene que:
1
j b j
h
comb
³x
b
´i
=
1
X
n=¡1
± (x ¡ nb) (2.177)
Para una funci¶
on desfasada:
1
j b j
·
comb
μ
x ¡ x0
b
¶¸
=
1
X
n=¡1
± (x ¡ x0 ¡ nb) (2.178)
Introduciendo la funci¶
on:

f (x)
1
j b j
·
comb
μ
x ¡ x0
b
¶¸
=
f (x)
1
X
n=¡1
± (x ¡ x0 ¡ nb) (2.179)
Para introducir la funci¶
on dentro de la sumatoria se debe cumplir la propiedad de la f8unci¶
on
delta de Dirac:
f (x)
1
j b j
·
comb
μ
x ¡ x0
b
¶¸
=
1
X
n=¡1
f (x0 + nb) ± (x ¡ x0 ¡ nb) (2.180)
Lo cual ¯nalmente se puede escribir como:
f (x)
·
comb
μ
x ¡ x0
b
¶¸
=
j b j
1
X
n=¡1
f (x0 + nb) ± (x ¡ x0 ¡ nb) (2.181)
C. Realice una gr¶
a¯ca detallada para el caso en el cual x0 = 0, b = T
4 y f (x) = Ae¡¼( x
T )
2
.
La soluci¶
on gr¶
a¯ca se encuentra en la ¯gura 2.22.
Figura 2.22. Gaussiana muestreada

2.12.4 Transformada de Fourier y propiedades
A. Teniendo en cuenta la expresi¶
on matem¶
atica obtenida en el literal A del numeral I; encuentre
expl¶
³citamente su transformada de Fourier.
= [UA (x; y)] (2.182)
Debido a la simetr¶
³a en las dos componentes ya que UA (x; y) es uan funci¶
on de variables
separables, la soluci¶
on se puede plantear de la siguiente forma:
= [UA (x; y)] = = [VA (x) WA (y)] (2.183)
Por propiedad de las funciones de variables separables:
= [UA (x; y)] = = [VA (x)] = [WA (y)] (2.184)
donde:
VA (x) =
"
rect
Ã
x
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl)
#
(2.185)
WA (y) =
"
rect
Ã
y
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (y ¡ 2nl)
#
(2.186)
En el eje de las x:
= [VA (x)] = =
""
rect
Ã
x
l
2
!
¤
1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl)
##
(2.187)
Por propiedades de la transformada de Fourier:
= [VA (x)] = =
""
rect
Ã
x
l
2
!#
=
" 1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl)
##
(2.188)

=
"
rect
Ã
x
l
2
!#
=
l
2
sinc
μ
l
2
»
¶
(2.189)
=
" 1
X
n=¡1
± (x ¡ 2nl)
#
=
1
X
n=¡1
±
³
» ¡
n
2l
´
(2.190)
Resultado similar se obtiene en el eje de las y por consiguiente el resultado ¯nal buscado es:
UA (»; ´) =
l2
4
sinc
μ
l
2
»
¶
sinc
μ
l
2
´
¶
1
X
n=¡1
±
³
» ¡
n
2l
´ 1
X
n=¡1
±
³
´ ¡
n
2l
´
(2.191)
Utilizando propiedades de la funci¶
on delta de Dirac:
UA (»; ´) =
l2
4
1
X
n=¡1
sinc
³n
4
´
±
³
» ¡
n
2l
´
1
X
n=¡1
sinc
³n
4
´
±
³
´ ¡
n
2l
´
(2.192)
B. Demuestre explicitamente una de las propiedades de la transformada de Fourier que haya
utilizado en la soluci¶
on del literal A numeral III.
Soluci¶
on Libre.
Figura 2.23. Cuadrado de la transformada de Fourier

2.12.5 Aplicaci¶
on
Realice una gr¶
a¯ca del cuadrado de la transformada de Fourier obtenida en el literal A del numeral
III del presente ex¶
amen. La soluci¶
on gr¶
a¯ca se encuentra en la ¯gura 2.23.
2.12.6 Representaci¶
on matem¶
atica de un objeto bidimensional
Figura 2.24. Objeto propuesto
A. Encuentre expl¶
³citamente la ecuaci¶
on matem¶
atica que describe la geometr¶
³a del objeto que
se encuentra en el plano UA (x; y) de la ¯gura 1; el cual consiste de dos rejillas de anchura D y
altura H separadas una distancia L.
SOLUCION:
De la ¯gura 1 y aplicando la noci¶
on de variables separables UA (x; y) = UA (x) UA (y). En el eje
de las y la ¯gura es la convoluci¶
on de un delta par con un rectangulo de altura D en el eje y es
decir:
UA (y) = ±± (y) ¤
h
Drect
³ y
H
´i
(2.193)
La ¯gura anterior se puede ventanear por la ¯gura en el eje x:
UA (x) = rect
³ x
D
´
(2.194)
De la de¯nici¶
on del delta par y de la ¯gura se requiere adem¶
as la condici¶
on: H = 1 para que la
¯gura se corresponda; es decir:

UA (y) = ±± (y) ¤ [Drect (y)] (2.195)
Finalmente se obtiene la expresi¶
on:
UA (x; y) = rect
³ x
D
´
[±± (y) ¤ [Drect (y)]] (2.196)
2.12.7 Ejercicios pr¶
acticos
Considere la se~
nal mostrada en la ¯gura 5.
Figura 2.25. Se~
nal propuesta
A. Utilizando las propiedades de la convoluci¶
on encuentre explicitamente la expresi¶
on matem¶
atica
que la describe f (t).
SOLUCION:
La se~
nal corresponde a la convoluci¶
on de un rect con una comb; es decir:
f (t) = Arect
μ
2t
T
¶
¤
1
X
n=¡1
± (t ¡ nT) (2.197)
B. Encuentre expl¶
³citamente el espectro de esta se~
nal y realice una gr¶
a¯ca. (Valor 0.6 puntos)
SOLUCION:
De la teor¶
³a de Fourier se conoce que:

F (º) = =[f (t)] (2.198)
F (º) = =
"
Arect
μ
2t
T
¶
¤
1
X
n=¡1
± (t ¡ nT)
#
(2.199)
Aplicando propiedades de la transformaci¶
on de Fourier:
F (º) = =
·
Arect
μ
2t
T
¶¸
=
" 1
X
n=¡1
± (t ¡ nT)
#
(2.200)
De donde se obtiene:
F (º) = A
T
2
sinc
μ
ºT
2
¶ 1
X
n=¡1
±
³
º ¡
n
T
´
(2.201)
Si se tiene en cuenta que º0 = 1
T
F (º) =
A
2
sinc
μ
º
2º0
¶ 1
X
n=¡1
± (º ¡ nº0) (2.202)
Para introducir el sinc dentro de la funci¶
on comb se debe cumplir que º = nº0; es decir, se
obtiene ¯nalmente:
F (º) =
A
2
1
X
n=¡1
sinc
³n
2
´
± (º ¡ nº0) (2.203)
La gra¯ca del espectro esta dada por la ¯gura 6.
2.12.8 Transformada de Fourier y propiedades
A. Teniendo en cuenta la expresi¶
on matem¶
atica obtenida en el literal A del numeral I; encuentre
expl¶
³citamente su transformada de Fourier.
SOLUCION:

Figura 2.26. Espectro de la se~
nal
UA (x; y) =
h
±± (y) ¤
h
Drect (y)rect
³ x
D
íi
(2.204)
UA (»; ´) = =[UA (x; y)] (2.205)
Reemplazando:
UA (»; ´) = =
h
±± (y) ¤
h
Drect (y)rect
³ x
D
íi
(2.206)
Por propiedades de la transformaci¶
on de Fourier:
UA (»; ´) = =[±± (y)]=
h
Drect (y)rect
³ x
D
í
(2.207)
De donde se obtiene:
UA (»; ´) = [cos (2¼´)]
£
D2
sinc (»D)sinc (´)
¤
(2.208)
Finalmente se obtiene:
UA (»; ´) = D2
sinc (»D)sinc (´) cos (2¼´) (2.209)
B. Demuestre explicitamente una de las propiedades de la transformada de Fourier que haya
utilizado en la soluci¶
on del literal A numeral III.

SOLUCION:
La propiedad utilizada corresponde a la transformada de una convoluci¶
on
Sea g (x) = f (x)¤h (x), g (x) una funci¶
on con transformada de Fourier G (»), f (x) una funci¶
on
con transformada de Fourier F (») y h (x) una funci¶
on con transformada de Fourier H (») entonces:
G (») = F ff (x) ¤ h (x)g = F (») H (») (2.210)
La transformada de Fourier de una convoluci¶
on es simplemente el producto de
las transformadas de las funciones individuales
Figura 2.27. Cuadrado de la transformada de Fourier
2.12.9 Aplicaci¶
on
Realice una gr¶
a¯ca del cuadrado de la transformada de Fourier obtenida en el literal A del numeral
III del presente ex¶
amen.
SOLUCION:
La gr¶
a¯ca del cuadrado de la transformada de Fourier esta dada por la ¯gura 7.

LIBRO FISICA OPTICA 2022 - Capitulo 2.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a LIBRO FISICA OPTICA 2022 - Capitulo 2.pdf

Similar a LIBRO FISICA OPTICA 2022 - Capitulo 2.pdf (20)

Último

Último (20)

LIBRO FISICA OPTICA 2022 - Capitulo 2.pdf