1. EDUCACIÓN MATEMÁTICA
En el siguiente texto se analizan los cambios en la enseñanza del número que tuvieron lugar
en México entre los años setenta y noventa.
En los años sesenta se por primera vez se distribuyen los textos gratuitos oficialesen las
escuelas primarias del país, el manual distribuido consta de un texto, un pequeño manual
para el maestro el libro para los alumnos de primer grado.
En los años 70 la reforma curricular en matemáticas que se llevó a cabo en México influyeron
mucho las reformas de los sesenta en Europa pues fue la entrada de las matemáticas
modernas. La reforma Europea se caracterizó por la determinante influencia, en el diseño
curricular, el propósito de la reforma, como reacción a aquellas matemáticas de los sesenta
reducidas a reglas y formulas. Se introduce una versión elemental de la teoría de conjuntos
como herramienta para este fin y así el número se presenta como clase de equivalencia de
conjuntos equipotentes la resta como el cardinal del complemento de un conjunto, la
multiplicación como el cardinal del producto cartesiano.
La influencia de la reforma europea en México, en el diseño de programas y materiales de
matemáticas para la primaria fue particular, esta influencia se tradujo una actualización a
nivel de los conceptos matemáticos a enseñar, actualización de definición, de sus
propiedades y del lenguaje. En esta década se produce, además del libro de texto para el
alumno un 2auxiliar didáctico” por materia y por grado para el maestro.
En la década de los ochenta se reforma en México el currículum de los tres primeros grados
de primaria:
Se plantea el propósito de integrar los contenidos relativos a las distintas disciplinas en
torno a “núcleos integradores”.
Se eliminan los contenidos de lógica y conjuntos. Se plantea que el desarrollo del
razonamiento lógico se debe propiciar al trabajar con los contenidos específicos de
matemáticas.
Se retorna a la idea de una matemática que se comprende a partir de casos
particulares, de “problemas reales”.
Se empieza a notar la influencia, esta vez de los psicólogos del aprendizaje de
orientación piagetiana.
En los materiales de ambas décadas mencionadas anteriormente, los símbolos numéricos e
van introduciendo, uno por uno (hasta el diez en los sesenta y hasta el nueve en los setenta)
Al igual que las dos propuestas anteriores, después de algunas lecciones en las que se
propone comparar colecciones, los números se introducen uno por uno, nuevamente hasta
el número diez, ya no se considera indispensable, como en los 70 que los niños comprenden
las reglas que subyacen al sistema decimal antes de escribir un primer símbolo de dos cifras.

2. LA HABILIDAD DE CONTAR EN EL APRENDIZAJE DE LA NUMERACIÓN
El desarrollo de las habilidades numéricas en los niños es un área fascinante, los niños han de
entender los números si se quiere que tengan sentido para ellos los distintos modos en que se
usan en la vida cotidiana: cuantificar, identificar, lugares, identificar un objeto concreto
dentro de un conjunto denominar y medir.
Para
Piaget
el
desarrollo
de
la
competencia
numérica
del
niño
se
relaciona
fundamentalmente con el desarrollo de su capacidad logia. Todos los aspectos del número
forman parte del desarrollo cognitivo de dominio general y se construye como resultado de
la inteligencia sesoriomotriz general y la posterior coordinación de la seriación y clasificación.
Los procedimientos empíricos utilizados para evaluar el desarrollo de estos conceptos en la
teoría piagetiana son:
Prueba de conservación numérica: Se extiende hasta los cinco años, se caracteriza
por la ausencia de comprensión de estas nociones.
Prueba de seriación: abarcaría desde los cinco a los seis años y medio o siete. Se trata
de una etapa de transición, mal definida y difícilmente identificable desde una
óptica estructuralista. Se caracteriza principalmente por la presencia de respuesta
inmediata consistentes en responder correctamente cuando las diferencias entre los
conjuntos son poco pronunciadas, y en hacerlo incorrectamente cuando se
acentúan tales diferencias.
Prueba de inclusión: Se manifiesta a partir de los seis años y medio o siete, cuando el
niño admite sin dudarlo (y afirma con necesidad lógica) tanto la conservación como
la equivalencia de la situación experimental.
En el caso de la numeración, para un piagetiano, se debe de organizar teniendo en cuenta
dos fases sucesivas: la primera, se proponen al niño una serie de actividades destinadas al
desarrollo de ciertas capacidades lógicas muy generales y sólo después se deben de
abordar actividades propiamente numéricas. Por otro lado para Gelman y Gallistel hay que
abandonar la idea de conservación para entender cómo adquieren los niños el número,
demostraron que las primeras manifestaciones de la conducta de contar son mucho más
que simple aprendizaje mecánico y asociacionista y, que aunque los niños cometan errores
cuando aprenden a contar, sus esfuerzos están restringidos por un conjunto de principios de
recuento.
Según este modelo, el conteo estaría integrado por cinco principios que requieren para el
aprendizaje correcto de la técnica de contar: correspondencia uno-a-uno, orden estable,
cardinalidad, abstracción e irrelevancia del orden.

3. CONTEO INFANTIL José Domingo Villarroel
Las aportaciones de Jean Piaget han influido decisivamente en la concepción que hoy en
día tenemos sobre cómo se origina el pensamiento numérico y las habilidades de conteo.
Este autor estableció una distinción fundamental entre tres tipos de conocimiento, el físico, el
convencional y el de naturaleza lógico-matemático.
Tres tipos de conocimiento:
El físico, es el entendimiento relativo a cómo son los objetos (su color, su forma) y
cómo interaccionan (ruedan, se caen, se paran) son aspectos concernientes al
dominio físico
El convencional, el conocimiento de las palabras que utilizamos para contar los
objetos o de las reglas de un juego, corresponden al ámbito de las convenciones
sociales.
El de naturaleza lógico-matemático, es el comparar, por ejemplo, rotuladores de
diferentes colores se puede considerar que son iguales (en cuanto a su forma,
longitud o peso) o diferentes (en cuanto a su color).
Desde la perspectiva piagetiana y con relación a cuándo se alcanza la comprensión del
concepto de número, los niños y niñas no logran un verdadero entendimiento del concepto
de número hasta finalizar la etapa pre-operacional (2-7años). Estos requisitos que se
garantizan la aprehensión del concepto de número, tanto en su aspecto cardinal como
ordinal y fueron la base experimental de la investigación de Piaget.
Detrás de esta noción se situaría la capacidad de establecer relaciones biunívocas entre los
elementos de diferentes conjuntos para ser capaz de establecer comparaciones relativas al
número de elementos más allá de las características perceptivas de los mismos.
Seriación
Clasificación
Dos características de esta habilidad lógica serían la transitividad y la reversibilidad.
La primera de ellas se refiere a la capacidad de establecer deductivamente
relaciones entre objetos que realmente no han podido ser comparados, atendiendo
a las relaciones previas que estos mismos objetos han tenido con otros.
la reversibilidad, ésta se refiere al establecimiento de relaciones inversas, es decir, un
objeto dentro de una serie ordenada de mayor a menor es mayor que los siguientes y
más pequeño que los anteriores.
Con relación al conteo infantil, Gelman y Gallistel proponen la existencia de 5 principios, en
opinión de estos autores, guían la adquisición y ejecución de esta acción matemática.
Principio de correspondencia biunívoca.
Principio de orden estable.
Principio de cardinalidad.

4. Principio de abstracción.
Principio de intrascendencia.
Fuentes conceptuales de los principios del conteo
a) Sistema de representación numérica aproximada
La interpretación más aceptada de este sistema de representación numérica es la analogía
con una línea o continuum interno orientado de izquierda a derecha que está
logarítmicamente comprimida de forma que cuanto mayor es la magnitud inherente a los
números, menores son las distancias entre ellos. En este sentido, la discriminación entre
números empeora a medida que crece la magnitud que representan porque disminuye la
distancia subjetiva entre los mismos (Longo y Lourenco, 2007).
b) Sistema de representación de cantidades pequeñas
Este sistema propone que los niños son capaces de percibir pequeñas cantidades mediante
el “seguimiento” de las peculiaridades individuales de los estímulos y resulta semejante a la
representación de estímulos mediante "object files" descrita en la investigación sobre las
capacidades de atención de adultos (Kahneman, Treisman y Gibbs, 1992).
c) Sistema cuantificador de conjuntos
La habilidad cognitiva para diferenciar conjuntos es una destreza básica que subyace a la
comprensión de los cuantificadores lingüísticos. Éstos son unidades gramaticales que limitan
el referente potencial del núcleo del sintagma nominal, bien de forma exacta o bien de
forma ambigua.
El sistema representa conjuntos de elementos creando modelos en la memoria de trabajo
en los cuales cada elemento es representado por un único símbolo mental. Aunque hasta el
momento no se tiene certeza sobre el nivel de diferenciación de estos símbolos lo que sí se
conoce es que no puede albergar más de tres elementos simultáneamente.

5. EL CONCEPTO DEL NÚMERO DESDE UNA PERSPECTIVA CONSTRUCTIVISTA
Desde Piaget, el pensamiento se considera un proceso mental que surge de la interacción
con los objetos y el aprendizaje como los cambios que se producen en la conducta por la
experiencia y la practica en la manipulación y observación del entorno.
El constructivismo: Ausubel
David Paul Ausubel Psicólogo y pedagogo Estadounidense, una de las personalidades más
importantes del constructivismo.
Ausubel se centra casi por completo en el aprendizaje de tipo significativo y distingue en
estos otros tres tipos:
• Aprendizaje significativo de representaciones: consiste en captar el significado de los
símbolos (los principales son las palabras, pero en aritmética usamos multitud de símbolos
matemáticos).
• Aprendizaje significativo de proposiciones: consiste en captar nuevas ideas expresadas en
forma de proposición. Por ejemplo: “dos más cinco son siete”. Esta proposición implica a
todas las representaciones que conlleven dicha situación sanativa.
• Aprendizaje de conceptos: es un tipo superior de aprendizaje a los anteriores. Decimos
que un alumno/a domina el concepto de suma si sabe enfrentarse con éxito a situaciones
que impliquen esta idea y aplican la operación o estrategia adecuada para resolverlas.
Periodopre operacional: llega hasta los 7 años. Está ligado a las percepciones sensoriales
(sobre todo auditivas y visuales). No hay una lógica operacional puesto que los niños no
tienen la capacidad de conservación de la cantidad, ni de inclusión de clases (no
distinguen correctamente las partes del todo).
Periodo deoperaciones concretas: va de los 7 a 11 años. En esta etapa ya existe una lógica
operacional y se desarrolla el concepto de número.
Son posibles la inclusión de clases y la conservación del número. Todas las operaciones están
ligadas a contextos concretos y no es todavía posible la abstracción.
Periodo deoperaciones formales: a partir de los 11 años. Empieza a ser posible la deducción
y por tanto la abstracción.
Piaget distingue varias etapas en la clasificación:
• Agrupar por parejas atendiendo a un sólo criterio.
• Agrupar más de dos objetos dejando al resto sin clasificar.
• Agrupar todos los objetos de una colección en base a un criterio.
• Agrupar todos los objetos en base a criterios más abstractos que los
puramente perceptivos.

6. POR QUÉ ENSEÑAR MATEMÁTICAS EN EL NIVEL INICIAL
MARÍA EMILIA QUARANTA
El nivel tiene diversas funciones entre ellas, la transmisión de conocimientos que retomen
amplíen y profundicen los aprendizajes de los niños hacer matemática, supone que los niños
resuelvan problemas
adelanten posibles soluciones
prueben, se equivoquen
corrijan intentos fallidos
comuniquen a sus pares modos de resolver
consideren las resoluciones o afirmaciones de otros
discutan, defiendan posiciones, intenten mostrar la incorrección de un procedimiento
o afirmación
establezcan algunos acuerdos.
Para poder dar cuenta del valor de enseñanza matemática en las instituciones escolares es
necesario precisar qué matemática y qué la enseñanza, independientemente del jardín los
niños construyen, en su actividad familiar o cotidiana, una diversidad de conocimientos
acerca de los números.
Esta diversidad de conocimientos se elabora a propósito de situaciones que enfrentan y
determinan espacios de la experiencia acerca de los cuales los niños se interrogan y
respecto de los cuales comienzan a formularse ideas originales la interacción de los niños
con los otros, pares y adultos, no son ajenas a este proceso de construcción.
Abrir las puertas a los conocimientos matemáticos es una condición necesaria para el
trabajo didáctico que se propone, limitarse a recuperar lo que los alumnos ya saben
implicaría negar la función del nivel inicial como transmitor de cultura.