Conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades, valor absoluto, desigualdades con valor absoluto.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Edo Lara
Integrante:
Yigneth Araujo
CI: 28.363.626
Sección (0102)
PNF en Administración
Barquisimeto, 07 de Febrero de 2021

2. CONJUNTOS
Un conjunto o colección lo forman unos
elementos de la misma naturaleza, es
decir, elementos diferenciados entre sí
pero que poseen en común ciertas
propiedades o características, y que
pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas
relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito
o infinito de elementos, en matemáticas
es común denotar a los elementos
mediante letras minúsculas y a los
conjuntos por letras mayúsculas, así por
ejemplo:
C = { a, b, c ,d, e, f, g, h }
En ocasiones un conjunto viene
expresado por la propiedad (o
propiedades) que cumplen sus
elementos, por ejemplo:
Es el conjunto de los números reales
comprendidos entre el 1 y el 2
(incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente
cuando constan de los mismos elementos.

3. Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también
conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los
conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las
siguientes: unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
Unión o reunión de conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o
más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá todos los elementos que
queremos unir sin que se repitan. Es decir
dado un conjunto A y un conjunto B, la
unión de los conjuntos A y B será otro
conjunto formado por los elementos de A,
con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el
siguiente :∪.
EJEMPLO
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y
B = {8, 9, 10, 11} la unión de estos conjuntos
será A∪B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

4. Intersección de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados con la operación. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará
formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los
elementos no comunes de A y B serán
excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el
siguiente: ⋂.
EJEMPLO
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} la intersección de
estos conjuntos será A⋂B = {4, 5}.
EJEMPLO
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} la diferencia de
estos conjuntos será A-B = {1, 2, 3}.
Diferencia de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que pertenecen al primero
pero no al segundo. Dados dos conjuntos A
y B, la diferencia de los conjuntos entre y
B, estará formado por todos los elementos
de A que no pertenezcan al B. El símbolo
que se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción, que
es el siguiente: -.

5. Diferencia simétrica de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos
que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formada por todos los elementos no
comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se
usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
EJEMPLO
Dados dos conjuntos A ={1, 2, 3, 4, 5} y
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}.
Complementos de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del conjunto
de referencia o universal, que no están en el
conjunto. Es decir dado un conjunto A que está
incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto
formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos
que pertenezcan al conjunto A. en esta
operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto que
se opera, algo como esto A' en donde el
conjunto A es el conjunto del cual se hace la
operación de complemento.
EJEMPLO
Dado el conjunto Universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9} y el conjunto A = {1, 2, 9} el conjunto
A' estará formado por los siguientes elementos
A' = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

6. Ejercicios de operaciones con conjuntos
1) (A∪B) ⋂C
Dados los conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5, 6},
B = {2, 4, 6, 8, 10} y C = {5, 6, 7, 8, 9}
la unión de estos conjuntos será A∪B =
{5, 6} y la intersección de los conjuntos
será (A∪B) ⋂C = {5, 6,7}.
2) (B⋂C) ∪ (A⋂B)
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5,
6}, B = {2, 4, 6, 8, 10} y C = {5, 6, 7, 8,
9} la intersección de los conjuntos será
B⋂C = {2, 4}, A⋂B = {6, 8} y la unión de
los conjuntos será (B⋂C) ∪ (A⋂B) = {2,
4, 6, 8}.
NÚMEROS REALES
Se llama real a un número que puede ser racional e irracional, por lo tanto este conjunto
de números es la unión del conjunto de los números racionales (fracciones) y el conjunto
de los números irracionales ( no puede expresarse como fracción). Los números reales
cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real, y se designan con el
símbolo R.

7. Características de los números reales
• El conjunto de los números reales es el conjunto
de todos los números que corresponden a los
puntos de la recta.
• El conjunto de los números reales es el conjunto
de todos los números que pueden expresarse con
decimales infinitos o finitos periódicos o no
periódicos.
Los números irracionales se distinguen de
los racionales por poseer infinitas cifras
decimales que no se repiten nunca, es
decir, no periódicas. Por ello no pueden
ser expuestos en forma de fracción de dos
enteros. Algunos números irracionales se
distinguen de otros números mediante
símbolos.
EJEMPLO
℮ = 2,7182, π = 3,1415926535914039
En la recta real se simbolizan los números reales, a cada punto de la recta le compete
un número real y a cada número real le compete un punto de la recta, como
consecuencia no se puede hablar del siguiente en un número real como en el caso de
los números naturales. Los números racionales se sitúan en la recta numérica de tal
manera que en cada tramo, por pequeño que sea hay infinitos. Sin embargo aunque
parezca extraño, hay infinitos huecos que son ocupados por los números irracionales.
Por tanto entre dos números reales cualesquiera, X e Y existen infinitos racionales e
infinitos irracionales, entre todos llenan la recta.

8. DESIGUALDADES
Desigualdad matemática es una proposición de
relación de orden existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de los signos: desigual
que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que
≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una
expresión de esta índole, se emplea para denotar que
dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad
matemática es que aquellas que emplean:
• Mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido
la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, aquellas desigualdades
formuladas como:
• Mayor que >
• Menor que <
Son desigualdades conocidas como
“estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades
formuladas como:
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como
desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.

9. La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de
la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del
signo de igualdad.
EJEMPLO 3 x + 3˂ 9
Ejercicios de desigualdad
1) Verificar cual de los siguientes
elementos del conjunto (-2, -1, 2, 3).
Para x = -2
2 x + 3 ˂ 7
2 (-2) + 3 ˂
-4 + 3 ˂ 7
-1 ˂ 7 D.V
Para x = 2
2 x + 3 ˂ 7
2 (2) + 3 ˂ 7
4 + 3 ˂ 7
7 ˂ 7
7 = 7 no hay
desigualdad.
Para x = 1
2 x + 3 ˂ 7
2 (-1) + 3 ˂ 7
- 2 + 3 ˂ 7
1 ˂ 7 D.V
Para x = 3
2 x + 3 ˂ 7
2 (3) + 3 ˂ 7
6 + 3 ˂ 7
9 ˂ 7
9˃ 7 D.F
2) Verificar cual de los siguientes elementos
del conjunto (-3, -2, -1) son
desigualdades de (4 x + 2 ˂ 18).
Para x = -2
4 x + 2 ˂ 18
4 (-2) + 2 ˂ 18
-8 + 2 ˂ 18
-6 ˂ 18 D.V
Para x -3
4 x + 2 ˂ 18
4 (-3) + 2 ˂ 18
-12 + 2 ˂ 18
-10 ˂ 18 D.V
Para x = -1
4 x + 2 ˂ 18
4 (-1) + 2 ˂ 18
-4 + 2 ˂ 18
-2 ˂ 18 DV.

10. El valor absoluto de un número real |a|, se
define como:
|a|{a si a ≥0
{-a si a < 0
O sea el valor absoluto de un número si
éste es 0 ó positivo y es igual y la
negativa con - .
Considerando que 2 la raíz cuadrada
positiva de 2 , se tiene que:
2 = |a|
VALOR ABSOLUTO

11. Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es
una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable
adentro.
Desigualdades de valor absoluto (˂):
La desigualdad | x | < 4 significa que la
distancia entre x y 0 es menor que 4
Así, x ˃ -4 Y x ˂ 4. El conjunto solución es {x | - 4 ˂ x ˂ 4}.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si |a| ˂ b, entonces a ˂
b Y a ˃ -b.

12. Desigualdades de valor absoluto (˃):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4
Así, x ˂ o x ˃ 4. El conjunto es {x | x ˂ -4 o x ˃ 4}.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | ˃ b, entonces a ˃
b O a ˂ -b.

13. Ejercicios de desigualdades con valor absoluto
1) Resolver y graficar
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de
desigualdad, necesitamos
descomponerla en una
desigualdad compuesta.
x -7 ˂ 3 Y x -7 ˃ -3
-3 ˂ x -7 ˂ 3
Sume 7 en cada expresión
-3 +7˂ x -7 +7 ˂ 3 +7
4 ˂ x ˂ 10
La gráfica se vería así:
2) Resolver y graficar
| x +2 | ≥ 4
Separe en dos desigualdades.
x +2 ≥ 4 O x +2 ≤ -4
Reste dos de cada lado.
x ≥ 2 O x ≤ -6
La gráfica se vería así: