MATEMATICA II SERIES Y SUCESIONES, TSU EN INFORMATICA.

1. Instituto Universitario de Tecnología
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
SERIES Y SUCECIONES
Fermin Rangel
Informática
ING. Naudy Albornoz
FEBRERO 2023

2. INTRODUCCION
Las series son las sucesiones formadas mediante la suma de más y más términos de una
sucesión. Un ejemplo común es el recorrido de un automovilista, cuando recorre varios
kilómetros en una pendiente la velocidad va aumentando constantemente, esto es que a medida
que aumenta la velocidad el motociclista desciende más rápido, por medio de este ejemplo
podemos citar la sucesión de suma a la cual se le denomina serie obtenida de la sucesión.
Las sucesiones numéricas y series pueden parecer conceptos idénticos, pero como objetos
matemáticos están definidas de distinta manera. Analicemos, entonces, sus características básicas
y sus definiciones para entender sus diferencias.
Una sucesión numérica puede ser descrita como una lista de números (conocidos como
términos) que siguen una regla. Las reglas que siguen conforman un patrón matemático. Una
serie es la suma de todos los términos (o solo de una parte de ellos) de una sucesión. Las
sucesiones y series se pueden encontrar en multitud de situaciones de la vida real, así como
también en algunos problemas que incluyan modelado matemático.

3. SUCECION NUMERICA
Una sucesión numérica puede ser descrita como una lista de números (conocidos como
términos) que siguen una regla. Las reglas que siguen conforman un patrón matemático.
Primero veamos algunos ejemplos de sucesiones y sus reglas explicadas:
Las sucesiones pueden ser finitas (como en los ejemplos anteriores) o infinitas, que
significa que no tienen un elemento final. Una sucesión numérica infinita generalmente se denota
con el símbolo de puntos suspensivos “...”.
Algunos ejemplos son:

4. Debido a que estas sucesiones son infinitas, es normal utilizar la expresión matemática
que las define para caracterizarlas y obtener sus propiedades y términos concretos. Trataremos
algunas de estas sucesiones infinitas más adelante en el artículo.
TIPOS DE SUCESIONES NUMERICAS
Hay dos tipos de sucesiones principales:
 Sucesiones aritméticas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o
disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta
cantidad se llama diferencia y se denota, habitualmente, por la letra d.
 Sucesiones geométricas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o
disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una
cantidad fija. Esta cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra r.
En matemática la palabra sucesión se emplea con igual sentido que en el lenguaje
cotidiano; es decir, se usa para representar a un conjunto ordenado de elementos. Así, en una
sucesión podremos identificar un primer elemento, un segundo, un tercero, etc. Una sucesión de
números reales es una función f: N → R, cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y
su co-dominio el de los números reales. La imagen o rango de La imagen o rango de la sucesión
{an} está formada por los números reales an, tales que n ∈ N. La sucesión suele abreviarse:
(an)=(a a a1, 2, 3,...,an,...)
Siendoa1 el primer término, a2 el segundo término, a3 el tercer término, etc. y los puntos
suspensivos finales indican que consideramos sucesiones de infinitos términos. Trabajaremos
con sucesiones de números reales, es decir, aquellas cuyo dominio está formado por números
naturales, y cuyo recorrido está formado por números reales. Consideremos la sucesión:
(an)=(a a a1, 2, 3,...,an,...)
Si tenemos en cuenta el concepto de función, a1 es la imagen del número natural 1 por medio de
la sucesión; a2 es la imagen del número natural 2 por medio dela sucesión y así en ese orden.

5. Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y
cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales. También: Una sucesión es una
función s:N → R / n N: s( n ) =an Es usual representar directamente sus términos sobre la recta
real de la siguiente manera:
Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro
conjunto numérico X, de manera:
Una sucesión siendo el conjunto X = N puede ser, por ejemplo, la sucesión de Fibonacci. Por
norma general, la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales
en los números reales. En cualquier caso, se denota simplemente como (an) n ∈ N o, si se da por
entendido que los subíndices son enteros, también se denota como (an) n >0.
o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como x/y, se puede
llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros,
algebraicos, trascendentes, …
FINITUD E INFINITUD
Una sucesión finita (an) (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se
define como una función:
y en este caso el elemento (an) corresponde a f (n). Por ejemplo, la finitud e infinitud, (de
longitud 4) de números primos menores que 10 (2,3,5,7) corresponde a la función F: (1,2,3,4) 
P (donde P es el conjunto de números primos) definida por:

6. Una sucesión infinita (ak) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una
función
en donde, de forma análoga (an) corresponde a f (n).
DETERMINACION DE UNA SUSECION
Por el termino general:
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números
primos:

7. SERIES
En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma, aplicada a los
infinitos términos de una sucesión (an) = (a1, a2, …), lo que suele escribirse con el símbolo de
sumatorio:
Donde an es el «término general» de la sucesión, que usualmente se expresa por medio de
una regla, o se obtiene a partir de un algoritmo. A diferencia de las sumas finitas, las series
requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y
manipuladas. El estudio de las series consiste en evaluar la suma de un número finito N de
términos sucesivos, y mediante un paso al límite, identificar el comportamiento de la serie a
medida que N crece indefinidamente.
Cuando este límite existe, lo cual no siempre ocurre, se dice que la serie es convergente.
Existe una gran cantidad de métodos para determinar la convergencia de las series, sin necesidad
de calcular explícitamente el valor de la serie. La noción de serie se puede generalizar a otros
objetos matemáticos para los cuales la operación suma esté definida, tal como los números, los
vectores, las matrices, las funciones... De particular interés en matemáticas son las series de
potencias.
CARÁCTER DE LAS SERIES
Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las
sumas parciales asociadas.
 SUMAS PARCIALES
Para cualquier sucesión (an) de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la
serie asociada se define como la suma formal ordenada:

8. La sucesión de sumas parciales (Sn) asociada a la sucesión (an) está definida para cada número
natural N como la suma de los N primeros términos de la sucesión (an) desde a1 hasta an, ambos
inclusive:
 CONVERGENCIA
converge al límite S si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada Sn converge a S. Esta
definición suele escribirse como:
En caso de que (Sn) sea convergente, y su límite sea S, se dice que S es la suma de la serie.
Puede ser que la sucesión de sumas parciales (Sn) sea divergente, es decir, que tienda a más o a
menos infinito. En tal caso se dice que la serie es divergente. También cabe la posibilidad de que no
se den ninguna de las dos circunstancias anteriores, por ejemplo, la sucesión:
 CONVERGENCIA ABSOLUTA:

9. se dice que es absolutamente convergente, o que su convergencia es absoluta, si es convergente
la serie en la que se suman los mismos términos, pero en valor absoluto:
Esta condición es más estricta que la anterior, es decir, si una serie es absolutamente convergente
entonces es convergente en el sentido ordinario. Lo contrario no es cierto: hay series
convergentes que no son absolutamente convergentes. Tales series se dice que son
condicionalmente convergentes. Bernhard Riemann probó un teorema que establece que, dada
una serie condicionalmente convergente, se pueden reordenar sus términos de forma que la serie
resultante converja (en sentido ordinario) a cualquier valor arbitrario o incluso que diverja.
EJEMPLOS DE SERIES
 Una serie geométrica es la serie de una sucesión geométrica: aquella en la que cada
término se obtiene multiplicando el anterior por una constante r , llamada razón de la
sucesión. Por ejemplo, para una razón r= ½:
 La serie armónica es la serie:
.

11. CONCLUSION
En nuestra vida cotidiana nos encontramos con ciertos obstáculos donde la mayoría de las
veces gracias a los cálculos matemáticos podemos afrontar a lo que nos enfrentamos, ¿Cómo
podríamos emplear las SERIES Y SUCECIONES en nuestra vida cotidiana? A veces sin darnos
cuenta Una sucesión: es un conjunto de números ordenados generalmente regidos por una norma.
Esta técnica o habilidad que nos brinda la matemática nos ayuda a calcular el futuro de ciertas
tomas de decisiones más exactas y precisas.
En general, las sucesiones se utilizan para representar listas ordenadas de elementos pero,
sobre todo, dentro de las matemáticas discretas son empleadas de otras diversas maneras como,
por ejemplo, dentro de las ciencias de la computación y en la teoría de juego. La mayoría de las
personas tienen clases de geometría en la preparatoria y aprenden acerca de triángulos y ángulos
verticales. Su aplicación en la vida real no siempre resulta evidente para los adolescentes, pero la
realidad es que la geometría está infiltrada en cada faceta de nuestra vida diaria.

12. BIBLIOGRAFIA
Serie (matemática) - Wikipedia, la enciclopedia libre
Secuencia - Wikipedia, la enciclopedia libre
Sucesiones | Álgebra 1 | Matemáticas | Khan Academy
Sucesiones y Series: Explicación con Ejemplos | StudySmarter